在操作延展性練習中提升學生的學習力

顧麗英

[摘 要]在“數學現象—數學心象—數學抽象—操作階段”模式（簡稱為“三象一作”）的基礎上，著重討論了在操作階段的形象思維與邏輯思維交互作用的延展性練習教學，以提升學生的合情推理能力與邏輯推理能力交融的綜合思維能力，由此提升學生的學習力。

[關鍵詞]操作;延展性練習;學習力

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2021）11-0078-02

《論一種緣自認知心理學及教育學研究的數學認知過程》一文中提出了一種全新的教學認知過程：“三象一作”模式，即數學現象、數學心象、數學抽象、操作階段。這個模式指出：人們想獲得高度總結性的科學知識，一般來說總是要經歷數學現象→數學心象→數學抽象這樣的認知過程，但認知過程中還包含一個重要的階段，即操作階段。我借鑒延展性教學的有關理論與實踐，進行了操作延展性練習教學的研究活動，著重在“三象一作”的“一作”中展開，使形象思維與邏輯思維交互應用發展數學新知識。把語言傳遞、直接感知、實際訓練、引導探究、活動欣賞等幾種常用的教學方法融為一體，提升學生的學習力。

一、形象思維與邏輯思維交互作用發展數學新知識的延展性練習教學

所謂延展性數學教學，就是指在數學教學過程中進行延伸與拓展的教學。推廣、擴充或遷移數學知識，培養和發展學生的創造性思維，提升學生的學習力，讓學生獲得廣闊的思維空間，找到新的方法與觀點，更好地解決數學問題，發展數學新知識，提升學習力。

在操作階段中，聚焦學生在推理中發展新數學知識的抽象能力、內涵品質提升的延展性練習教學，其特點主要有三個：一是有基礎點;二是有觸發點;三是有延展點。這里所說的延展性練習是通過兩種推理互補應用的延展性練習教學。

二、教例及剖析

1.操作數軸的延展性練習，讓學生在兩種推理互補應用中獲得對小數概念的新認識，提升學習力。

在“認識小數”一課新授環節中，我將數軸作為教學小數的重要工具，數軸的出現不僅可以讓學生對小數意義的認識更加深刻，而且可以使學生逐步感悟小數的特征，從而領略小數知識的內涵與外延。教學時可以先讓學生運用已知的小數概念在數軸上細分，對具體的小數的形成深刻理解，再通過三個遞進層次的推理想象讓學生感受小數的無窮性，以及去體會最小或最大的小數漸變并接近某一個極限的知識。

首先選擇一個特定的區間，也是最簡單的一個區間[0，1]。學生對小數知識有了基礎認識，就可以根據小數的概念在數軸上把0和1之間的線段平均分成10份，找到0.1的位置;再把0和0.1之間的線段平均分成10份，找到0.01的位置。以此類推，通過不同小數位置的對比，讓學生清晰地看到0.1、0.01、0.001、0.0001中最接近0的小數是0.0001;如果把0與0.0001之間的線段再平均分成10份，還可以找出比0.0001更小的小數——0.00001;在0和0.00001之間，還有比0.00001更小的小數……每次找到的小數會更接近0。

之后是類比聯想，學生很容易就可以推想出既然在0與1之間可以按這樣的方法找到無數個小數，那么在1和2之間、2和3之間……也能找到無限個小數。這樣，通過觀察、想象和推理，學生可以知道在每兩個整數之間都存在著無數個小數，并且有“這些小數中越來越接近某一個數”的新發現。

再把知識向下一個層次發展。將數軸的箭頭向右繼續延伸，從0到1、到2、到3，進而自然地引出π的近似值：3.1，3.14， 3.141，3.1415……然后提問：“觀察這組小數，你發現這些數都在哪兩個小數之間？”由剛才的推想，學生非常順利地推出3.1415926后面還可以有無限多位小數，也就是說，在3.14和3.15之間也有無數個小數，而且這些漸漸變大的小數將比前一個數更接近3.15。這時，教師還可以引導學生繼續推想其他任意兩個小數之間也都會有無數個小數，也會接近某一個數。通過這一層次的推理、想象，學生對小數又有了新的認識。

進一步往深層次發展。數軸不斷向右延伸，學生在數軸上依次找到15.8，25.7，100.9，358.9，8844.47……在數軸向右無限延伸的動態過程中，學生不僅發現了小數變得非常非常大，從而明白小數其實并不小，而且再加上合理地推想，就可以感受到小數也具有無窮大的特征，這一新的發現就是對小數概念的延伸。

通過這樣逐步深入的延展性練習教學，讓學生在運用小數概念去理解具體的小數意義的基礎上，再為他們提供一連串的材料和情境，引導他們合情推理，感受無限、體會極限，并明白數軸上緊密排列著的每一個點都可以用不同形式的數來表示，這樣就能有效拓展小數的內涵與外延，為學生的后續學習奠定基礎。這就是“三象一作”概念中的“在對知識不斷運用和不斷認知中再提升”的階段，在這樣的過程很好地提升了學生的學習力。

2.操作跳格游戲的延展性練習，讓學生在兩種推理互補應用中加深對列舉法的認識，提升學習力。

在構造練習的延展性教學中，情境設計非常重要。寓知識發展于情境之中， 讓學生在情境中感悟數學知識萌芽、生長和變化的動態過程，有效構建知識體系， 提升數學能力。

例如，“列舉策略”的內容中，學生通過解決球賽中的場次等實際問題，建立了列舉策略的模型。為了讓學生對列舉策略有進一步的認識，教師可以設計這樣的延展性練習：小白兔玩跳格游戲，先從外面跳到第1格，然后每次可以向前跳1格或2格，那么從格子外跳到第3格有幾種方法？如果要跳到第4、10、20甚至100格呢？

從外面跳到1和2，只有1種方法;跳到3可以一格一格跳，還可以從1跳2格直接跳到3，因此有2種方法。上述列舉的結果是學生在合情推理的基礎上運用演繹推理的成果，繼續有序地往下邊想邊推，還可以找到格子數是5、6、7……的所有跳法。

那么，到底有沒有一個公式來計算有多少種方法呢？這個問題可以放到課后讓學生去探索與思考。通過這套延展性練習，有效提升了學生對列舉法的認識，提升了他們的學習力。

3.確定基本形的延展性練習，讓學生在兩種推理互補應用中實現5種直線圖形面積公式的綜合建構，提升學習力。

小學五年級的學生已經學習了長方形、正方形、平行四邊形、三角形、梯形等圖形的面積計算方法的推導及應用。在單元知識整理課上，教師設計了以基本形為基礎，溝通5種直線圖形面積公式內在聯系的延展性練習。

復習整理5種圖形面積公式推導過程是把分散在各節課中的相關直線平面圖形的面積知識按照一定的邏輯關系進行串聯。這里的單元格是基本形。

運用已有的知識經驗把平行四邊形作為基本形，從它出發，引導學生按一定的邏輯關系把5種直線圖形的面積公式進行溝通、構建體系。

很顯然，這是學生在掌握原有知識與方法的基礎上借助圖形變換來進行合情推理，此時他們已經獲得了溝通平面圖形面積之間聯系的一種新的結果。

教師再創設條件與情境，以梯形作為基本形，引導學生歸納平面圖形面積公式的共性。將一個梯形變成三角形，再變成平行四邊形。同樣地，再讓學生根據圖形的動態變化，將梯形演變成長方形和正方形，再用梯形面積公式推出長方形和正方形的面積公式。

在這樣的延展性練習教學中，教師通過演示，引導學生想象，不僅能讓學生發現5種直線平面圖形之間的聯系，而且可以讓學生發現平面圖形面積公式之間也有聯系，這里可用梯形面積公式來統整。這樣的操作把知識串線連片，結成了網絡，從而讓學生獲得平面圖形面積計算內在邏輯的全新知識，同時提升了學習力。

三、關于數學教學終極目標的一點思考

數學思維到了一定境界，解決問題往往不是用公式和數字來運算，而是用思想來運算。這就是所謂的“用數學的思維想問題”。正如劉萬海在《真正教學的意味——基于赫爾巴特“教育性教學”思想的延展性思考》中所指出的那樣，在赫爾巴特那里，教學總是使兩方面日臻完善：“人的智力與道德。”它是數學教學的終極目標。本質上，這樣的能力不是教師在短時間內教出來的，而是學生在長期積累經驗、在一系列的學習過程中慢慢形成的。教師備課不應局限于某一堂課，而應該把相對成邏輯體系的知識整合在一起，思考怎樣通過這些課程培養學生自如地運用合情推理與邏輯推理思考數學問題的能力，并落實到常態的教學中。只有這樣，讓學生養成了用數學的思維去想問題的習慣，才算是把開啟數學知識大門的鑰匙真正交給了學生。

[ 參 考 文 獻 ]

[1] 王名揚，徐瀝泉，徐利治.論一種緣自認知心理學及教育研究的數學認知過程[J].數學教育學報，Vol.22，No.1，2013，2.

[2] 章漢平.延展性數學情境設計與思考[J].好家長·新教育，2007-08.

[3] 劉萬海，真正教學的意味——基于赫爾巴特“教育性教學”思想的延展性思考，全球教育展望，Vol. 40，No. 9，2011.

（責編 黃 露）