初高中數學函數的教學銜接研究

劉常鎮

函數，與我們的生活息息相關，也是初高中數學中的重要內容，甚至其蘊涵的思想方法貫穿整個高中數學的始終，是高中數學的一條主線。但是，由于初高中數學教材存在許多“脫節”的知識，而且初高中學生存在一定程度的認知差異，造成許多高一學生在學習函數時，導致不理想的學習效果。因此，本文擬從初高中函數教學的區別與聯系進行探討，從而更好地實現初高中函數教學的有效銜接.

一、初高中函數的教學現狀

1.課程目標的區別

初中函數的內容主要在人教版《義務教育數學課程標準（2011版）》中的八年級下冊第十九章《一次函數》、九年級上冊第二十二章《二次函數》以及九年級下冊第二十六章《反比例函數》。高中函數的內容主要在人教版《普通高中課程標準實驗教科書A版》必修一中的第一章《集合與函數概念》、第二章《基本初等函數》、第三章《函數的應用》以及必修四中的第一章《三角函數》。高中函數是對初中函數更深層次的學習，初高中函數在概念、性質、圖像、應用及思維等方面都有很大差異。

初中函數的教學目標是“通過分析實際問題中的變量關系，得到相應的一次函數。”“函數是描述變化的一種數學工具，學習二次函數和反比例函數的圖像和性質，利用它們來表示某些問題中的數量關系，解決一些實際問題，進一步提高對函數的認識和應用能力?！备咧泻瘮档慕虒W目標是“函數是描述現實世界中變化規律的數學模型，運用集合與對應的語言，在初中學習的基礎上，進一步刻畫函數的概念;通過觀察、分析、概括，從不同的角度學習函數的基本性質;在解決問題的過程中感受函數的思想方法和廣泛應用?！薄巴ㄟ^具體實例學習三種基本而又重要的函數：指數函數、對數函數和冪函數，了解這三種函數的特征與性質，并利用它們解決身邊以及其他學科中的相關問題?！背醺咧泻瘮档慕虒W目標重點都是突出概念，由概念的引入，進而探究其性質、特征以及蘊含的思想方法。顯然，高中函數教學目標是建立在對初中函數具有基本認知的基礎之上，對高中生的要求更高。

2.課程內容的區別

初中函數只涉及到三種最簡單的函數：一次函數、二次函數和反比例函數。知識點比較單一，而且中考考查函數的難度逐年減弱，因而教學強度也相應減弱，只要求學生能夠運用上述函數解決一些簡單的實際問題。高中函數涉及到的內容比較廣泛，主要有：集合觀點下的函數“對應說”定義、分段函數、函數的多種性質、指數函數、對數函數、冪函數、三角函數，以及和上述函數有密切聯系的其它知識，比如數列、函數與方程。下面從定義、符號、性質和數學思想四個方面進行闡述初高中函數內容的區別。

初中教材給出函數的描述性定義，即“變化過程中的兩個變量之間的依賴關系”，即“變量說”。該定義強調的是一個變量隨著另一個變量的變化而變化，當一個變量確定時，另一個變量也隨之確定。例如，白菜價格2元/斤，那么顧客購買1斤需付2元，購買2斤需付4元，這是明顯的單值對應關系，相對形象，易理解。在普通高中課程標準實驗教科書中，有關函數的內容是先從更精準的抽象性定義開始的，即“對應說”，它是建立在集合論的基礎上，強調的是兩個非空數集之間的對應關系，比初中函數定義更進了一步，重點突出抽象思維，也為以后學習映射的概念作準備。定義的深化，體現的也是數學發展運動的思想。

數學有別于其它學科，它需要一套獨特的語言系統，因此會產生相應的數學符號，比如關于函數的符號，初中階段只用x表示自變量，y表示因變量，從而建立自變量x與因變量之間的對應關系。而高中階段用y=f（x）表示函數，大部分高一學生對這個高度抽象的函數符號的內涵理解不夠深刻到位，導致往后的學習出現障礙。筆者在所教的兩個班級中采取口頭調查，結果如下：能夠準確說出字母f是“對應法則”的含義，約占40%;能夠說出f（x）與f（2）之間的區別，約占60%;能夠說出f（x）的表示方式可用解析式、圖象、表格等，約占55%;能夠準確說出初中函數定義和高中函數定義，約占50%。由此表明，高一學生對函數符號f（x）的理解普遍不到位。因此，函數符號f（x）的教學，教師必須首先站在學生已有的認知基礎上，再利用直觀的例子，讓學生觀察、感受、比較，進而理解它的內在含義。

高中函數的性質，是教學的重難點內容，也是高考考查的重點內容。比如，函數的單調性、奇偶性、極值、最值、零點等，在實際中有著比較廣泛的應用。事實上，初中函數所講授的性質，較為單一，主要著重于函數的單調性，并且采用“非符號化的描述”語言，很直觀：在某個定義域D內，從左往右，圖象“上升”或“下降”，即y隨著x的增大而增大或減小。高中函數的單調性，從“非符號化的描述”轉變為“符號化的描述”，即對任意的x1f（x2），則f（x）在定義域D內單調遞增或遞減。在這里，很明顯將初中的“看圖說話”轉變成“符號表述”，是形象思維到抽象思維的過渡。在高中函數單調性的教學過程中，可以采用“數形結合”的方法，使學生從中發現不同之處，掌握變化規律，從而提升抽象思維能力。再比如，函數的奇偶性，初中函數尚未涉及，但已學習過軸對稱和中心對稱的知識，因此，也可以采用“數形結合”的方法，初步讓學生體驗“奇偶函數”的概念，進而揭示“符號化”的定義：對任意x∈D，D關于原點對稱，若f（-x）=f（x），則稱f（x）為偶函數;對任意x∈D，D關于原點對稱，若f（-x）=-f（x），則稱f（x）為奇函數.符號化表述，十分抽象，因此采用“數形結合”過渡的方式，顯得尤為重要。在學習高中函數的其它性質時，也需要注重初高中函數內在區別與聯系，找出它們的異同點，從而順利實現初高中教學銜接。

著名數學家菲利克斯·克萊因在《高觀點下的初等數學》中指出，觀點越高，事物越簡單。數學思想往往蘊含在數學知識和方法中，但又高于數學知識和方法，是更高層次的抽象和概括。在高中數學教學中，不僅要注重數學知識和方法的傳授，而且也要注重數學思想的貫穿與滲透，讓學生感悟數學思想的魅力。初中函數比較注重“數形結合”的思想，比如在學習二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）時，當a>0時，函數開口向上;a<0時，函數開口向下，學生已經掌握了這個知識點，但是，函數開口的大小與二次項系數a存在怎樣的關系？可以進一步利用兩個圖象進行比較分析.在講授指數函數、對數函數和冪函數時，也可以利用數形結合的思想，讓學生在“數”與“形”之間切換。那么，高中數學還有三大思想，分別是函數與方程思想、分類討論思想和轉化及化歸思想。在教學過程中，應當特別注意初高中的銜接與切換，注意數學思想在概念的建構、在知識的結構、在階段目標的達成中，充分讓學生親身體驗數學思想的運用.