“以某線段為直徑的圓過某點”的條件如何用？

江蘇省蘇州市吳中區長橋中學 (215128) 王建林

在許多解析幾何的綜合題中，常有條件“以某線段為直徑的圓過某點”，這實際上是告訴你兩個線段所在的直線互相垂直，可以用向量或斜率建立一個等式，為后續成功解題創造了有利的條件，下面舉例講述幾種應用，供參考.

一、確定參數的值

點評：本題中，是利用“以線段AB為直徑的圓恰好經過原點”的條件得到了一個m的方程，通過解方程得到m的值，這樣求直線方程問題就解決了.

二、利用圓恒過定點

(1)求拋物線E的方程； (2)設動直線l與拋物線E相切于點P，與直線y=-1相交于點Q，證明：以PQ為直徑的圓恒過y軸上某定點.

點評：本題中抓住“以PQ為直徑的圓恒過定點”，得到一個等式恒成立，這樣就求出了定點坐標，從而所給條件得到了充分的運用.

三、證明直線過定點

(1)求橢圓C的標準方程； (2)若直線l：y=kx+m與橢圓C相交于A，B兩點(A，B不是左，右頂點)，且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點.求證：直線l過定點.

點評：本題中也是抓住“以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點”建立了一個等式，再由根與系數的關系化簡等式，然后解得參數的值，為后續證明直線過定點鋪平的道路.

四、確定點的存在性

點評：點D(m,0)是否存在，就是能否求出實數m的值，這里抓住“以MN為直徑的圓恰好過”建立一個等式后，然后求出參數m，再利用其它條件(如判別式能否成立等)確定這個m符合題意，這樣存在性就得到了證明.