一道數(shù)學(xué)競賽試題的解法探究與背景溯源

甘肅省蘭州市第七十一中學(xué) (730000) 尚世亮 龐耀輝

一、真題再現(xiàn)

本題考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)、直線與雙曲線的位置關(guān)系以及定點(diǎn)、定直線問題，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力與轉(zhuǎn)化、化歸問題的能力.考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算.試題解法多樣，內(nèi)涵豐富，精彩紛呈，是一道具有研究性學(xué)習(xí)價(jià)值的好題.

二、解法探究

圖1

下面的解法同解法1.

點(diǎn)評(píng)：方法1和方法2雖然在運(yùn)算上有些繁，但在思維與化簡能力上的要求并不高.究其原因，是因?yàn)橹本€AD(或直線BE)與雙曲線的兩個(gè)交點(diǎn)，都有一個(gè)點(diǎn)A(或B)的坐標(biāo)是已知的，如果需要求另一個(gè)交點(diǎn)D(或E)的坐標(biāo)，即轉(zhuǎn)化為解方程問題.接下來，解題線索會(huì)很快理清，只需尋找k1和k2的關(guān)系(C、D、E三點(diǎn)共線)，然后將其代入點(diǎn)P的坐標(biāo)，問題迎刃而解.

當(dāng)直線DE的斜率為0時(shí)，不合題意.

點(diǎn)評(píng)：方法3是將直線DE的位置特殊化(比如垂直于x軸)，猜出結(jié)論，再進(jìn)行證明.

三、試題推廣

通過不同角度、不同層次的探索、聯(lián)想、類比發(fā)現(xiàn)新問題，充分挖掘解析幾何試題，才能揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)，進(jìn)一步培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，提升解析幾何的魅力.

結(jié)論1,2證明可仿照該題的證法證明，結(jié)論4的證明可仿照結(jié)論3的證法證明，此處不贅述.

四、背景溯源

1.鏈接高考

(Ⅰ)求E的方程;

(Ⅱ)證明：直線CD過定點(diǎn).

圖2

(Ⅰ)求橢圓C的方程;

(Ⅱ)設(shè)橢圓C的左右頂點(diǎn)分別為A、B，點(diǎn)M是橢圓C上異于點(diǎn)A、B的任意點(diǎn)，直線MF交橢圓C于另一點(diǎn)N，直線MB交直線x=4于點(diǎn)Q，求證：A,N,Q三點(diǎn)共線.

數(shù)學(xué)競賽題、高考真題、高考模擬題是復(fù)習(xí)備考的重要素材，每年的高考試題都能看到以往高考題、競賽題的背影.因此，在高三的復(fù)習(xí)教學(xué)中，要充分挖掘真題的價(jià)值.

2.背景鏈接