兩有趣數學問題的優解探析

江西省萍鄉中學 (337000) 賀 江

有這樣兩個有趣的數學問題：

問題1一個合唱團共有15人，暑假期間有一個緊急演出，老師需要盡快通知到每一個隊員.如果用打電話的方式，每分鐘通知1人，請幫助老師設計一個打電話的方案.

方案一：逐一通知，需要15分鐘才能通知到每一個隊員.

方案二：把學生分成兩組，一組8人，一組7人，兩分鐘后組長通知組員，最快8分鐘才能通知到每一名隊員.

方案三：把學生分成三組，一組6人，二組5人，三組4人，最快7分鐘才能通知到每一名隊員.

方案四：把學生分成四組，一組4人，二組4人，三組4人，四組3人，最快5分鐘才能通知到每一名隊員.

思考：是不是組分得越多，用的時間越少？(因為每組的組長也需要通知)怎么分組才能使得所需時間最少呢？

分析:在上面的方法中，存在老師或者學生在有空檔的時間里面沒有打電話給別人.最優方案是：所有得到通知的師生，在下一分鐘都通知給另外的不知情的學生，才能使總時間最短.此時，每一分鐘后知情的人數(包括老師)會增加一倍.

解析：老師第一分鐘打給任意一個學生，第二分鐘老師和學生打給另外的學生，此時有4人(包括老師)知道通知了，第三分鐘4人均打給不知情的4人，共有8人(含老師)得到通知了，第四分鐘8人均打電話給剩下不知情的8人，到4分鐘后15人全部通知到位.

老師把合唱團15名同學編號，第一分鐘老師通知1號；第二分鐘老師通知3號，1號通知2號；第三分鐘，老師通知7號，1號通知5號，2呈通知4號，3號通知6號；第4分鐘，4號通知8號，2號通知9號，5號通知10號，1號通知11號，6號通知12號，3號通知13號，7號通知14號，老師通知15號，全部通知完畢.

推廣1一個合唱團共有m人，暑假期間有一個緊急演出，老師需要盡快通知到每一個隊員，如果用打電話的方式，每分鐘通知1人，n分鐘至多可以通知2n-1個人.如下表：

需要通知的人數至少需要打電話的次數112～324～738～15416～315…………2n-1～2n-1n

變式1一個合唱團是50人，如果按問題1的通知方式，最少花多長時間就能通知到每個人？

解析：因25=32,26-1=63,32<50<63，所以最少花6分鐘就可以通知到每個人.

問題2.1有3瓶鈣片，其中1瓶少了粒，你能用天平把它找出來嗎？

分析:記3瓶鈣片為1，2，3，先選1，2稱，如果平衡，3是次品；如果不平衡，1，2中輕的是次品，所以3瓶鈣片只需一次就能把次品找出來.

問題2.28個零件里有1個是次品(次品重一些)，假如用天平稱，至少稱幾次能保證找出次品？

解析:用1，2，3，4，5，6，7，8表示零件.如果分成兩組，每組4個，一次后就能知道次品在哪4個零件里面，4個零件里面找次品，不管怎么稱，至少需要兩次，才能確保找到次品，即需要三次才能找出；如果分成三組，4，2，2，也需要3次才能找出 ；如果分成三組，分為(3，3，2)，則至少需要2次才能找出.所以本問題中我們發現如果3件產品(含1件次品)至少需要1次測出次品；9件產品(含一件次品)則分組成3組，記為(3，3，3)，只需2次可以找出次品；27件產品(含一件次品)，只需分組成(9，9，9)，只需3次可以找出次品……

推廣2有m件產品，里面有1件次品，用天平找次品，n次檢測，至多可以找出3n件產品中的次品，即3n-1+1≤m≤3n時，把m件產品分成3組(每組不超過3n-1件)，其中至少有兩組的產品數目一樣多，就可以至少需要n次找出次品.如下表：

要辨別的物品數目保證能找出次品至少需要的次數2～314～9210～27328～81482～2435…………3n-1+1～3nn

變式2有70個零件，其中有1個次品(質量輕一些)，則用天平進行稱量，至少稱多少次才能保證找出這個次品？

解析：因為33+1=28,34=81,28<70<81，所以至少稱4次就可以保證找出這個次品.

變式3把上述問題中70改成23，則至少需要n次才能保證找出這個次品，怎么分組？

解析：因為32+1=10,33+1=28,10<23<28，所以至少稱3次就可以保證找出這個次品.并且可用分組法分成(9，9，5)，(8，8，7)，(7，7，9)等方案.

推廣3有m個零件，其中有1個次品，若3n-1+1≤m≤3n，則至少需n次才能保證找出這個次品，且每一次分組應該保證：①分成三組，每組的數字不大于3n-1；②至少有兩組是相同的；③分組方法可能不唯一.