不等式恒成立問題中參數(shù)范圍的求解策略

新疆昌吉市第一中學(xué) (831100) 沙金城

關(guān)于不等式恒成立中參數(shù)范圍求解問題，是不等式問題中相對拔高的題型，解決它需要掌握不等式的性質(zhì)和常用處理方法，及熟練的解題技巧，本文以例題分析為手段，表述破解此類問題的常用策略，供讀者參考.

一、轉(zhuǎn)化求解

當(dāng)不等式解的范圍已給出時，若能進(jìn)一步分離出含參數(shù)的不等式，通過求出不等式的解集進(jìn)行處理.

二、等價變換

將所研究的問題轉(zhuǎn)化為與之等價的問題，從而陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的、精典的問題，便于找出問題解決方法.

三、整體構(gòu)造

將某些問題題設(shè)部分或結(jié)論部分視為一個整體，通過對整體結(jié)構(gòu)的調(diào)節(jié)和轉(zhuǎn)化，可以收到簡化運算，降低難度之功效.

例3 已知對于滿足等式x2+(y-1)2=1的一切實數(shù)x、y，不等式x+y+c≥0恒成立，求實數(shù)c的取值范圍.

四、分類討論

在解決與二次函數(shù)有關(guān)的不等式問題時，如果二次項系數(shù)或一次項系數(shù)不是常數(shù)時，需要先對參數(shù)分類討論，最后再綜合得到所求的解.

例4 已知x∈[-1,1]，若不等式x2+(a-2)x+a2-4a+1>0恒成立，求a的取值范圍.

五、參數(shù)分離

如果已知不等式中的參數(shù)可以分離出來，則題目可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，然后得到參數(shù)范圍.

例5 已知當(dāng)x∈[0,1]時，不等式x|x-a|<2恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

六、數(shù)形結(jié)合

對于一些無法用代數(shù)方法求解的不等式，有時，我們可利用不等式的幾何意義及已給的解的范圍，直接寫出含參數(shù)的不等式，即可求出參數(shù)范圍.

圖1

七、變換主元

若問題中有多個變元，在分析問題時需要對主元進(jìn)行選擇，適當(dāng)選取其他參數(shù)為主元，有時會有更好的收獲.

八、變量替換

對一些結(jié)構(gòu)復(fù)雜的式子采用變量替換的方法，可顯露問題的實質(zhì)，降低思維的難度，達(dá)到優(yōu)化解題的目的.

以上八類方法是解決不等式恒成立問題的常用方法，但需根據(jù)各類問題的特點適當(dāng)選用，有時同一個問題也可能有多種解題方案，而適合你本人使用的方法才是最好的方法.