小學數學合情推理能力培養的實踐與思考

趙小進 蔡霞

【摘要】小學生的思維發展實際與數學學習能力水平決定了知識的習得應以合情推理為主。培養學生的合情推理能力，必須從合情推理本身的演進過程出發。即要求在教學中積極創設情境，給予學生思考交流時空，親歷歸納、類比，進行大膽猜想，經歷歸納、驗證的過程。因此，數學教學活動中，要將合情推理的思想方法有意識地滲透在每一個細小的教學環節中，讓學生經歷并體驗整個合情推理的過程，提升合情推理的能力。

【關鍵詞】猜想? 類比? 歸納? 合情推理

【中圖分類號】G623.5 ? 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2021）24-0132-03

合情推理能力不是與生俱來的，更多地依靠直觀形象與感性經驗。所以，合情推理必須從小開始培養。在實踐性的課堂教學過程中培養學生的合情推理能力，必須從合情推理本身的演進過程出發。筆者認為，數學教學過程中，教師要能夠挖掘整合教材中合適的素材，以知識的習得為明線，將合情推理的過程作為一條暗線，雙線并進，串聯起整個課堂。

下面就以《3的倍數的特征》為例，談談教學中如何雙線并舉，培養孩子的合情推理能力。

一、制造沖突，營造合情推理的情境

波利亞指出，數學家的創造性工作成果是論證推理，即證明;但是這個證明是通過合情推理，通過猜想而發現的。在教學中，我們要能巧妙地利用、整合教材所提供的認知素材，沿著學生的認知邏輯，鼓勵學生進行大膽的猜想。

教學“3的倍數的特征”時，先復習2、5的倍數特征，并引領學生小結：判斷一個數是否是2、5的倍數，只要看個位。而這一特征顯然是不符合2、5的倍數的特征的，但慣性思維會引領學生不自覺地進入“陷阱”，老師在此節點處，設計了順勢讓學生猜想3的倍數的特征的過程。

教學片段（一）：

師：猜想一下3的倍數可能有什么特征呢？

生：3的倍數的個位為3、6、9。

師：老師把你的猜想先記錄下來。你覺得呢？

生：3的倍數的個位還有可能是2、5、8;比如12、15、18

生：不對，21是3的倍數，2它的個位是1。

生：13的個位是3，但它不是3的倍數。

生：3的倍數的個位從0～9都有，但是這樣看的話，看不出一個數是不是3的倍數的。

[設計意圖]

目前，小學數學教學中的一部分合情推理水平是不高的，在較多的課堂中，表現出非邏輯的思維特點，表現出“想當然”。此時，老師的評價引領將顯得特別重要。我們同時應認識到“負遷移”會對學生學習產生自然障礙，而障礙的產生往往是新學習的開始。2、5的倍數的特征的復習是“挖了一個坑”，使學生的猜想“掉進了坑”“碰了壁”。

二、扶放有度，激發合情推理的生長

如何處理教與學的關系，一直是課堂教學活動中討論的熱點。在小學數學教學中，由于小學生年齡特征和知識經驗的限制，學生獨立展開合情推理的能力是有限的，簡單的放手是不會給學生的學習帶來更加科學的幫助，不能有效地促進“用數學的語言表達、用數學的眼光觀察、用數學的思維思考”這一數學核心素養的落地生根。教師應遵循教學規律，由“扶”到“放”、“扶放有度”地指導學生進行推理活動。

所以，筆者在“微專題研究”的實踐中進行一兩個層次的設計。設計研究專題：為什么聽到珠子個數就能知道是不是3的倍數？第一層次：學生撥出任意個數的珠子老師聽;老師猜結果;學生驗證是不是3的倍數;學生猜想老師猜對的原因是什么？第二層次：老師撥珠學生聽;猜想可能撥出什么數？

教學片段（二）：

撥珠聽數。

（1）（在計數器上撥一個數，撥珠的時候要一個一個地撥）

師：你得讓其他同學看清楚，我不看，只聽。

（學生撥珠）

師：我猜這個數不是3的倍數。對嗎？

（學生表示驚訝）

師：要不要再來一次。

（結果讓學生驚訝之余產生探求原因的欲望）

師：老師能聽出什么呢？

生：撥出珠子個數的和。

師：老師根據珠子個數的和，能判斷出這個數是不是3的倍數，說明什么？

（2）師撥珠，生聽數

師：大家想不想先試試聽數的感覺？

師：（師用3個珠子撥出1101）猜猜看老師撥的哪個數？

生1：3

師：有可能嗎？

生2：30，12，12……

師：仔細看看這些數（指著3，30，12，21），有3的倍數嗎？

師：看看老師撥的哪個數（出示計數器）

1101是不是3的倍數呢？（用計算器算一算，作出判斷。）

用3個珠子還能撥出其它數嗎？

它們是不是3的倍數呢？拿出計算器算算看。

師：是啊！用3個珠子撥出的數都是3的倍數。

（3）分組探究

師：你想讓老師用幾個珠子來撥數？你呢？（學生列舉，教師記錄）

師：那這樣吧，咱們全班來分組研究。

每個小組由組長確定一下你們小組用幾個珠子去撥數。

（如果出現大數據，不合理的數據，教師引導：知道選擇較小的數去研究會更方便，是否考慮調整一下。）

（課件出示活動要求）

活動要求：

（1）各小組成員根據珠子的個數輪流撥數，其他成員確認他所用珠子的個數和，組長負責記錄。

（2）組內成員共同判斷各數是否是3的倍數。（可以用計算器驗算）

（3）最后，組長將你們研究的數像老師這樣整理在黑板貼上。

師：咱們要比比哪一小組能又好又快地完成。

匯報交流：各小組依次呈現。

師：為了保證我們研究的準確性，先來檢查一下各小組撥出的數是否符合條件。

領著孩子看一組（如9個珠子的一行）。

提問：（指其中的一個數）它需要用幾個珠子？你是怎樣判斷的？

生：1+2+6=9，（師：你可以舉例說說）

師：你用算的方法來檢查的，這個算式什么意思？

揭示：珠子的個數和就是各位上數的和。（板書）

（分配任務：每一列的同學檢查一行。）

師：檢查好了嗎？那我們繼續。

師：為了方便觀察，老師想將它們的位置作個調整。

你覺得可以怎樣調整？

師：這里都是3的倍數，這里都不是3的倍數。

仔細觀察，你有什么發現，把你的發現先在小組里互相說一說。

[設計意圖]

學習過程中，學生“碰了壁”中常見的，正如一位教學名家所說，孩子的學習就是“錯著錯著就對了，說著說著就會了”。學生在“壁”面前，會覺得有時自己的學習經驗可能是不可靠的，一下子迷失了方向，這也思維將會產生跳躍的前期征兆。此時，教師應適時引導學生對研究方法進行冷靜的回顧，并引導學生嘗試換個角度研究問題。

在之后的學習時間里，老師提供了“百數表”。學生借助“百數表”，圈出3的倍數，觀察表中數據的特征，從直觀上會發現，之前2、5的倍數在百數表里是“一列一列”呈現出來的，而3的倍數在百數表里都在“斜行”里。

三、啟發質疑，驗證合情推理的結論

教師的追問是要讓學生明確僅僅憑著百數表里的3的倍數的特征就對所有的3的倍數的特征下結論是不科學，不嚴謹的。我們還需要進行舉例驗證。“你還想舉什么樣的例子呢？”教師以問題引領的方式，使孩子對方法進行探討交流并理解反復考察不同情況和特殊情況的必要性。

教學片段（三）

師：同學們通過觀察百數表里的3的倍數，歸納出3的倍數各數位上數的和是3的倍數。是不是就可以給3的倍數的特征下結論了呢？

生：不可以。

生：我們要再舉一些例子驗證看看。

師：了不起，你有科學家的嚴謹態度。

師：你想舉什么樣的例子呢？

生：找一些更大的3的倍數，看看它各數位上數的和是不是3的倍數。

生：找一些不是3的倍數的數，看看它各數位上數的和是不是3的倍數。

[設計意圖]

通過合情推理探索的數學結論具有或然性，小學階段一般不用演繹推理加以證實，但是可以借助學生已有經驗，利用幾何直觀幫助學生認識和理解。使學生知其然，更知其所以然。

四、引導反思，內化合情推理的方法

掌握3的倍數的特征是本節課的教學目標，而經歷和體驗合情推理的完整過程（提出猜想—推翻猜想—再次猜想—舉例驗證—獲得結論），學會合情推理的方法，感悟內在的數學思想更為重要。最后引導學生進行回顧和反思學習過程，梳理推理步驟，將其內化為能力，促進學生理解數學知識和方法，形成良好的數學思維習慣。

師：同學們，這節課我們研究了3的倍數的特征。3的倍數有什么特征？

回顧一下我們的研究過程，咱們先是作了猜想，有的猜想不正確，這時我們就換了思考角度，從聽數中找到了思路，順著這個思路我們進行深入研究，通過舉例，觀察，我們發現并歸納出了3的倍數的特征，后來我們對這一特征還進行了驗證。

師：你知道嗎？

我們發現的這個神奇的規律現象背后是有道理的，想不想知道？

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師：通過今天的學習，你有什么收獲？

師：大家的收獲真不少呢！

數學上充滿了神奇的規律，更蘊含了豐富的道理！希望同學們在以后的學習中也能用這樣的研究方法，研究態度，勤思多問，去發現數學世界中更多的奧秘！

[設計意圖]

反思是小學數學課堂教學中培養思維能力的重要途徑。在以知識為載體的課堂學習過程中，知識作為落腳點是顯性的，但學習過程形成的情感、態度、價值觀是隱性的，數學學科的育人應更多地指向于學生在數學學習過程是獲得數學方法與感受數學文化。

總之，小學數學教學過程中，從來就不缺少合情推理。教師應將合情推理的思想方法滲透在每一個細小的教學環節中，讓學生經歷并體驗整個合情推理的過程，提升合情推理的能力。學生在親歷合情推理過程的同時，通過不斷的反思，產生了學習需求的自覺意識。正是這一反思與思辯的過程，為培養合情推理能力提供了可能。

參考文獻：

[1]史寧中.數學中的歸納思想[M].長春：東北師范大學出版社，2015：7-8，25.

[2]波利亞.數學與猜想——數學中的歸納和類比[M].北京：科學出版社，2001.