基于泊松分布的應用探討

呂希元

【摘要】泊松分布為一種統計和概率學科里比較容易見到的一種離散型的分布，是由法國的數學家泊松于1838年的時候發表，泊松分布主要適合于來描述單位時間里隨機事件的次數分布的概率論模型，本文的主要內容是講解泊松分布在平時的日常生活之中的簡單應用探討，及其作為近似計算來對二項分布進行簡化計算。

【關鍵詞】泊松分布? 二項分布? 離散型概率? 數學期望

【中圖分類號】G64 ? 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2021）41-0106-03

一、泊松分布的定義：

若隨機變量X的任意可能的取值分別為0，1，2，…，其對應的每一個取值的概率為：

且λ>0為常數，那么就稱X為服從參數是λ的泊松分布，并記為：X～P（λ）。

二、泊松分布的實際應用

（1）具統計分析表明，某個出版社出版的圖書里，在每一頁印刷的錯誤的個數是近似服從參數為λ=0.01的泊松分布，現計算在一頁的印刷紙里沒有錯誤的概率是多少？

解：本題可以利用泊松分布公式來進行計算，然后借助泊松分布表得到概率值;由于λ=0.01，且k=0代入泊松分布可得：

從本例的解析過程可以看出，該出版社所出版的圖書，其每一頁不出現錯誤的概率是相當大的，幾乎接近于必然事件，通過本例說明，出版社出現印刷錯誤的概率是非常小的，換句話說明，即使會有小的錯誤，但是對圖書的閱讀或學習的影響基本上是不存在的。

（2）通過對歷史的銷售紀錄的分析發現，某個專銷店其月銷售數量（單位：件）服從參數λ=8的泊松分布，計算如下問題，即在月初的進貨時，最少需要多少的庫存量，才會有90%及以上的把握達到顧客的購買需求？

解：本例是一道現實生活中的實際問題，和實際中的銷售密切相關的題目，對生產經營有一定的指導作用;本題可以利用泊松公式求解，由于參數λ=8，可設至少需要k件庫存量，才會有90%以上的把握滿足需求，從而代入泊松分布公式可得：

故解得：k≥12.因此至少需要12件庫存量，才能滿足要求，通過本例說明，泊松分布對倉庫商品的估計運算相當適用，從而就能更加有效地把握商品的備貨量，減少商品的庫存費用，也能解決存貨的嚴重不足，而導致供不應求的后果產生。

（3）已知某人一年內患感冒的平均次數服從參數為λ=5的泊松分布，現存在某個預防感冒的藥物能對75%的人群有效果，即能將泊松分布的近似參數銳減到λ=3的地步，但是對另外的25%的人群沒有效果;若一人服用此藥后，在一年內患了2次感冒，則該種藥物對此人有效果的概率為多少？

解：本問題可以借助泊松分布公式來求解，它是與藥物相關的實際問題，將λ=5代入到泊松分布的公式中，記X表示“某人在一年中患感冒的總次數”，再記M0={服用此藥無效果}，M1={服用此藥效果};然后利用條件概率的公式可以求得：P（M0）=0.25，P（M1）=0.75，同時P（x=k|M0）=，而P（x=k|M1）=

通過本題說明：某藥物若能對75%的人起作用，但是對另外的25%的人沒有效果，那么一個人服用此種藥物時，對其有效果的概率大概有0.8886.

三、利用泊松分布對二項分布作近似計算

定理：已知n在重伯努利試驗中，事件A在每一次實驗中發生概率均為p，其與試驗的次數有一定的關系，而且滿足n·p=λ>0，那么對于任意給定的發生的次數k，近似滿足如下等式：

通過該定理可知，如果二項分布B（n，p）中的參數n比較大的時侯，同時p很小時，如n>100，p<0.1時，而且np<10那么此時二項分布可近似用參數為λ=np的泊松分布來代替。

（1）若經過某個路口的每一輛汽車發生交通事故的概率近似為p=0.0001;如果在某個路段時間里，有1000輛汽車經過這個路口，試問：在這個時間間隔內，發生的交通事故次數X的概率分布及發生2次以上交通事故的概率為多少？

解：本題是一個實際問題，從現實生活考慮，在某個時段內發生交通事故，本身就是一件少見的事件，其可能性比較小，通過觀察道路的路口的1000輛汽車所發生的事故與否的情況，可以將其近似認為是一個n=1000的二項分布，由于出現事故的概率是p=0.0001，故記X為服從X～B（1000，0.0001）的二項分布。從而：

P（X≥2）=1- P（X=0）-P（X=1）=1-0.99991000-1000×0.0001×0.9999999

因為n=1000很小，但是p=0.0001均很小，則上面的計算量大，可以借助泊松分布近似來計算，λ=np=1000×0.0001=0.01;從而：

P（X≥2）=1-P（X<2）=1-P（X=0）-P（X=1）

通過本問題可得出，當二項分布的計算量比較大時，可以把二項分布轉化成泊松分布來近似計算其值，其精確度較高，而且可以查泊松分布表。

（2）計算機硬件公司生產某種微型芯片，其次品率為0.1%，每一件芯片是否為次品互不影響，計算在 1000? ? ?只產品中，最少有2只是次品的概率為多少？

解：泊松分布可以用于計算機芯片次品數的概率計算，本問仍然是二項分布的泊松近似，故由題意可得，泊松分布的參數λ=np=1000×0.001=1。

從而可以發現，利用泊松分布可以簡化二項分布的計算，同時該精確度是相當高的。

四、小結

作為一種非常常見的離散型隨機的變量型的分布，泊松分布越來越顯現出它的重要性，已成為概率論里幾個重要的分布之一;在我們的現實生活中，起到了非常重要的作用，例如：在數學建模，管理科學，運籌學及其自然科學等方面用處很廣;本文主要從經濟方面和科學方面對其進行了簡單的應用，并討論了它對二項分布的簡化的效果很明顯。

參考文獻：

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