編制高中數學多項選擇題的思考

江蘇 嚴 鵬 尤 裕

《普通高中數學課程標準(2017年版2020年修訂)》在課程性質與基本理念一節的闡述中，提到：把握數學本質，啟發思考，改進教學.在課程目標中說學生要必須獲得進一步學習及發展的“四基”，提高從數學角度發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力(“四能”).

江蘇省作為新高考實施的省份，數學試卷的命制有了新的調整，加入了多項選擇題這個試題類型.多項選擇題，又稱多選題，新高考中數學的多選題是一種正確選項數目多于1個少于4個的選擇題題型，多選題典型的分值為5分.考生選出一個或幾個正確答案，但沒有選出全部的，得3分；選錯一個得0分；全部選對得5分.

多選題是選擇題的一種，所以解題時要認真審題，忌諱題目沒有讀清楚，就開始埋頭苦算，結果不但浪費了大量的時間，還會選擇選項中的干擾項導致做錯，結果事倍功半.故解題前一定要把題目讀透，通過題目的條件迅速聯想到涉及的概念、公式、定理以及常見的思想方法.發現題目中的隱含條件，理解題目的真正含義.

另外，做選擇題特別要注意解題方法.選擇題和填空題、解答題不一樣，正確選項一定在給出的選項中，所以做題時除了按照解答題的思路直接來求解以外，也可以使用一些其他的方法，比如特殊值檢驗、選項代入法、排除法、數形結合法等等.

多項選擇題有效地考查了學生的“四能”.筆者認為，教師可以從以下幾個方面去考慮多選題的編制過程，進一步改進教學，進而促進學生“四能”的提高.

1.將單選題中選擇正確的選項，變成選錯誤的選項

這樣的編制題目是比較容易操作的，但是對學生的能力訓練不能達到預期目標.這類多選題本質上來說還是單選題.學生不能感受到該種題目作為多選、單選、填空題之間的差異.

例1.原題：(2019·全國卷Ⅰ理·9)記Sn為等差數列{an}的前n項和.已知S4=0，a5=5，則

( )

A.an=2n-5 B.an=3n-10

學生不難發現，答案應該選擇A.本題容易改編為下題：

改編：記Sn為等差數列{an}的前n項和.已知S4=0，a5=5，則下列選項中不成立的是

( )

A.an=2n-5 B.an=3n-10

這類問題的解題策略，可以用直接求解法求解.

2.將求范圍的題目，改成求具體值的多項選擇題

例2.原題：(2017·全國卷Ⅰ理·5)函數f(x)在(-∞,+∞)單調遞減，且為奇函數.若f(1)=-1，則滿足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范圍是

( )

A.[-2,2] B.[-1,1]

C.[0,4] D.[1,3]

本題中學生常用的解題方法是直接法，利用函數的單調性得到不等式-1≤x-2≤1，然后解出相應的x的取值范圍.直接法比較有效，不過本題用驗證法會更快，由題干f(1)=-1知，f(x-2)中令x=3，得到f(3-2)=f(1)=-1∈[-1,1]成立，驗證出x=3應該在要求的取值范圍內，故排除A，B.再令x=4，f(4-2)=f(2)

改編：函數f(x)在(-∞,+∞)單調遞減，且為奇函數.若f(1)=-1，則滿足-1≤f(x-2)≤1的x的取值可能是

( )

A.0 B.1

C.2 D.3

原題是給出函數性質，通過不等式的計算得到變量的范圍.改編后變成滿足的變量值有哪些.這類問題的解題策略，可以使用直觀分析法中的估值法來求解.

3.解題策略問題條件的選擇

本類題目的設置一般是立足于開放性條件的變化，一個問題給出不同的條件會有多種解法.例如解三角形中的問題.

題目出處：2012年6月第4版蘇教版必修五：P14例題1(2)；P15例題4；P18例題1；P20練習4.賦予背景后，將這四個選項整合得到改編題目如下：

例3.改編：(2020·崇實女中高一期中考試·10)學校的校園是非常美麗的.校園內，百年古樹相交映，草色遙看近卻無.走在學校的林蔭大道上，享受“沾衣欲濕杏花雨，吹面不寒楊柳風”的感覺.可是，細心的同學會發現，林蔭大道不是直線構成的，是由兩個路寬一樣的道路拼接而成，有一個拐角.其中，第一段路面是和校門口所在直線垂直的.如圖1所示，抽象出數學模型如圖2所示，其中O，E為校門口左右兩點，A，C為道路銜接處兩點.

圖1

圖2

怎樣計算這個拐角OAB的角度或它的某個三角函數值呢？測量小組甲、乙、丙、丁四位同學給出了不同的測量方法，請問哪些同學給出的策略是能完成目標的？

( )

A.甲同學的策略是：在第二段林蔭大道路邊任取一定點B，沿校門口O點出發，勻速走完路程OA,AB,BO，分別記錄走完OA,AB,BO所用的時間為t1，t2，t3.經過計算，就可以算出這個拐角OAB的余弦值.

B.乙同學的策略是：用尺量出林蔭大道的路寬和拐角處的兩個點AC的距離.經過計算，就可以算出這個拐角OAB的余弦值.

C.丙同學的策略是：用尺量出校門寬度，在校門E處測量出觀察點O和點B的視角OEB.經過計算，就可以算出這個拐角OAB的余弦值.

D.丁同學的策略是：在第二段林蔭大道路邊任取一定點B.自己眼睛到地面的距離為1.6 m，站在校門口O處，測量出看點A的俯視角和看點B的俯視角.在門口點E處，再測量出看點A的俯視角和看點B的俯視角.量出校門的寬度.經過計算，就可以算出這個拐角OAB的余弦值.

選項A改編于P14例題1(2)，通過時間來求出三邊的長度，利用余弦定理計算得到拐角OAB的余弦值.選項B改編于P15例題4，如果過點C作對面路的垂線，垂足可能在OA上，也可能在AB上，也可能正好落在A處，所以分三種情況討論.由于AC已知，故可以計算得到拐角OAB的余弦值.選項C改編于P18例題1，由于缺少一個角度或者長度，所以無法算出拐角OAB的余弦值.選項D改編于P20練習4和P18例題1,將原題中的山高變成了眼睛到地面的距離，利用俯視角得到邊長，可以算出這個拐角OAB的余弦值.

這類問題的解題策略，可以使用推理分析法中的邏輯分析法和特征分析法.

4.開放性問題的研究

一般傳統數學題目，它的答案唯一.而開放性數學由于題目中的條件不夠完備，需要自己設定分類討論從而解出不止一解的答案.這類題目往往可以根據一個恒等式來隱藏部分條件進行編制.

A.10° B.190°

C.280° D.350°

這類問題的解題策略，可以使用間接法中的逆推驗證法.

5.題目本身就是多解

實際上，很多數學知識的產生都源于問題.有的題目本身就是有多個解答結果，如求極值點問題.

例5.函數f(x)=3x5-5x3+1的極值點有

( )

A.-1 B.0

C.1 D.2

這類問題的解題策略，可以使用直接法中的直接求解法.

6.概念的掌握和理解

學生對數學概念的掌握，還需要通過運用，才能加深理解，真正成為自己的經驗.學生要識別應該用什么概念，區別相似而又不相同的概念.因此，運用數學概念解答問題,可以鞏固和加深對概念的理解，豐富對概念的本質特征的認識，培養學生對數學概念的選擇、判斷和聯系的能力.

例6.下列求導運算正確的是

( )

A.(ln2)′=0 B.(cosx)′=sinx

這類問題的解題策略，可以使用直觀分析法或者間接法中的排除法.

7.原題有多個結論

該類題型可以將結論修改成多項選擇題的選項.

例7.原題：(2019·全國卷Ⅰ理·11)關于函數f(x)=sin|x|+|sinx|有下述四個結論：

其中所有正確結論的編號是

( )

A.①②④ B.②④

C.①④ D.①③

改編：關于函數f(x)=sin|x|+|sinx|，下列結論正確的是

( )

A.f(x)是偶函數

C.f(x)在[-π,π]有4個零點

D.f(x)的最大值為2

這類問題的解題策略，可以使用直接法中的圖象法或者推理分析法中的邏輯分析法.

在編制的過程中，選項的設置要精心編寫.如下題：

例8.原題：(2020·新高考Ⅰ卷(供山東省使用)·10)如圖是函數y=sin(ωx+φ)的部分圖像，則sin(ωx+φ)=

( )