對(duì)一道三角形面積問題的探究與拓展

安徽 劉海濤

1 試題呈現(xiàn)與分析

分析:這是一道解三角形問題,解法靈活、綜合性較強(qiáng)、難度略大,主要考查三角形內(nèi)切圓半徑與面積的關(guān)系,不等式求最值等知識(shí),考查了學(xué)生分析問題、解決問題的能力及化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想,體現(xiàn)了邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).本文嘗試對(duì)該題從不同的角度予以思考,給出不同的解法,并推廣到一般化情況.

2 解法探究

評(píng)注:在解法2的基礎(chǔ)上,發(fā)現(xiàn)三角形面積等于半周長,于是想到海倫公式,得到p=(p-a)(p-b)(p-c),結(jié)合三元基本不等式,得到半周長的最小值.

評(píng)注:在解法4的基礎(chǔ)上,巧妙利用余切函數(shù)的凹凸性,借助琴生不等式,求出最小值.

評(píng)注:解析幾何法相較于前幾種解法,雖然過程略顯煩瑣,但是借助坐標(biāo)系與向量解決幾何問題,是高中數(shù)學(xué)的一種重要思想方法.

3 問題的提出

數(shù)學(xué)家波利亞曾說:“解題就像采蘑菇一樣,當(dāng)我們發(fā)現(xiàn)一個(gè)蘑菇時(shí),它的周圍可能有一個(gè)蘑菇圈.”解答完本題后,筆者有如下思考:

問題1 若△ABC中∠A是定值,內(nèi)切圓半徑r也是定值,則△ABC面積的最小值是多少？

問題2 若半徑為r的圓內(nèi)切于△ABC,則△ABC的面積最小值是多少？

問題3 若半徑為r的圓外接于△ABC,則△ABC的面積最大值是多少？

4 問題的拓展

5 反思總結(jié)