基于數值微分計算的SERF原子自旋慣性測量動態仿真

裴宏宇，楊功流，全 偉，段利紅，黃 炯

(1.北京航空航天大學儀器光電學院，北京 100191；2.北京航空航天大學前沿科學技術創新研究院，北京 100191；3.北京量子信息科學研究院，北京 100193)

0 引言

作為慣性導航系統的核心部件，新型陀螺儀成為現今儀器儀表的研究熱點[1]?；诙喾N物理原理，產生了許多新型陀螺儀，如基于光子或原子Sagnac效應的光纖陀螺與冷原子干涉陀螺[2]、基于原子自旋的無自旋交換弛豫(Spin Exchange Relaxa-tion Free，SERF) 陀螺儀[3]和核磁共振陀螺儀[4]。其中SERF陀螺儀體積小、對加速度不敏感且在理論上具有更高的慣性測量靈敏度，成為了下一代高精度陀螺儀的發展方向之一。

本文采用Bloch微分方程組對SERF原子陀螺的輸入輸出進行建模，搭建了Simulink仿真模型，對Bloch方程進行數值求解。測試了不同角速度和磁場輸入下的輸出動態響應曲線，并與理論計算進行對比。試驗結果表明，Bloch方程的數值求解結果與理論求解結果一致，且數值求解可用于復雜輸入下的輸出動態求解，較理論解析求解具有更強的適用性。

1 SERF原子自旋陀螺的動力學模型

SERF原子自旋陀螺儀的原理圖如圖1所示，樣機主要包括保證SERF態零磁場的磁屏蔽系統與磁場補償線圈；保證SERF態高原子密度的加熱系統；包含多種元素如鉀、銣、氖、氮氣的慣性敏感元件；發射處于電子躍遷頻率圓偏振激光的抽運系統；以及線偏振光光旋角檢測系統[10]。

圖1 SERF原子陀螺結構[19]Fig.1 Structure of SERF gyroscope [19]

SERF原子自旋陀螺儀工作在多物理場耦合的環境中，無法通過解析求解的方法進行計算。故通過對原子陀螺的動力學特性分析，建立了Bloch方程組描述電子極化率與核子極化率隨物理場的變化，并搭建Simulink仿真模型分析各物理場對輸出的影響。SERF陀螺的基本測量原理如下。

當物體繞慣性空間的某一軸線做角速度為Ω的轉動時，動量矩矢量H在載體空間與慣性空間的變化率有如下關系[11]

(1)

考慮如圖2所示的二能級系統，當一束與原子躍遷頻率相同的圓偏振光σ+沿z軸入射時，處于基態能級4S1/2,mJ=-1/2的電子能夠吸收一個光子并躍遷到激發態4P1/2,mJ=+1/2；但處于基態能級4S1/2,mJ=+1/2的電子由于角動量不能夠繼續增加，不能吸收σ+光子躍遷到高能態。躍遷到高能態的電子與淬滅氣體碰撞，等概率地落入4S1/2,mJ=-1/2和4S1/2,mJ=+1/2兩低能級且不釋放光子。在光泵浦的循環中，4S1/2,mJ=+1/2能級的光子逐漸多于4S1/2,mJ=-1/2能級的光子，此過程稱為激光泵浦原子極化過程。

圖2 堿金屬原子中電子的光抽運[12]Fig.2 Optical pumping of electrons in alkali metal atoms[12]

此外，4S1/2,mJ=+1/2能級的原子可以通過弛豫效應返回4S1/2,mJ=-1/2能級，且在低磁場高堿金屬密度的無自旋交換弛豫條件下，堿金屬電子自旋的橫向弛豫率與縱向弛豫率趨于一致，即[13]

(2)

SERF原子自旋陀螺儀的堿金屬電子與惰性氣體核子通過各自的磁矩互相耦合，堿金屬電子可以感受到惰性氣體核子產生的磁場λMnPn，惰性氣體核子會感受到電子自旋產生的磁場λMePe。普遍采用Bloch方程組描述SERF原子自旋陀螺的動力學特性[16]

(3)

(4)

式(3)右邊第一項表示電子極化率在外加磁場、核自旋產生磁場以及光頻移贗磁場的共同作用下進行拉莫爾進動(Larmor Precession)；第二項表示載體空間與慣性空間之間的轉換關系；第三項分別表示抽運光與檢測光對堿金屬的抽運效應、堿金屬電子與惰性氣體核子之間的自旋交換效應與堿金屬電子的弛豫效應，其中Rtot=Rp+Rrel。式(4)右邊第一項表示核子極化率在外加磁場和電子自旋產生磁場的共同作用下進行拉莫爾進動；第二項表示載體空間與慣性空間之間的轉換關系；第三項表示堿金屬電子通過自旋交換碰撞對惰性氣體核子進行超極化；最后一項表示核子的弛豫率。從Bloch方程組中可以看出，堿金屬電子與惰性氣體核子極化率通過彼此產生的磁場、核子與電子自旋交換碰撞相互耦合，彼此影響，Bloch方程組中各項符號的含義如表1所示。

表1 Bloch方程中符號的意義

SERF原子自旋陀螺儀的動力學方程屬于非線性微分方程組，較為復雜，無法求得解析解。且在輸入復雜多變的情況下，無法分析電子極化率和核子極化率的變化，也不易分析陀螺的瞬態響應。為解決此問題，基于Bloch方程組建立了原子自旋陀螺動力學模型，并采用Simulink進行數值求解和仿真。為驗證數值解的準確性，與理論推導所得結果進行對照。對式 (3)和式(4)描述的動力學微分方程組構建仿真系統如圖3所示。

圖3 SERF原子陀螺的Simulink仿真模型Fig.3 Simulink simulation model of SERF atomic gyroscope

2 SERF原子陀螺的數值仿真

(5)

(6)

(7)

進一步地，堿金屬電子與惰性氣體核子的極化過程可以描述為[18]

(8)

(9)

當輸入角速度或磁場時，可近似求得

(10)

(11)

(12)

光抽運電子極化與核子超極化的過程如圖4所示。由于電子的弛豫時間很短，在抽運激光的作用下，堿金屬電子的極化率在0.03s快速達到了穩態值0.5984；由于大的弛豫時間，核子的極化率在12h達到了穩態值0.01451。通過式(6)理論計算，電子的極化率為0.60，仿真與理論計算的相對誤差為0.13%；根據式(7)計算，核子的極化率為0.0146，仿真與理論計算的相對誤差為0.048%，且仿真結果均略小于近似理論計算結果。式(6)中的理論計算忽略了堿金屬電子與惰性氣體核子的自旋交換碰撞作用對電子極化率的影響，自旋交換碰撞會將電子的角動量傳遞到核子上，造成電子極化率的微弱降低。故可以認為仿真模型的結果可以準確描述光抽運原子極化與核子超極化過程，且較理論計算進行了修正。

(b)自旋交換核子超極化圖4 SERF原子陀螺光抽運電子極化過程與核子超極化過程Fig.4 Polarization process of optically pumped electrons in SERF atomic gyroscope and nucleon hyperpolarization process

(a)電子極化率x分量

(b)核子極化率x分量圖5 SERF原子陀螺在轉動輸入下的電子極化率響應與核子極化率響應Fig.5 Electron polarizability response and nucleon polarizability response of SERF atomic gyroscope under rotational input

為研究在磁場輸入下SERF原子自旋陀螺的穩態解與該系統對干擾靜磁場的補償能力，設定補償磁場Bz=256nT，當系統達到穩定的狀態即5s后，在y軸方向施加一個By=10nT的階躍磁場，系統響應如圖6所示。

(a)電子極化率x分量

(b)電子極化率y分量

(c)核子極化率y分量圖6 SERF原子陀螺在階躍磁場輸入下的響應Fig.6 Response of SERF atomic gyroscope under step magnetic field input

在實際使用中,追蹤的角速度信號是時變的，采用勻速轉動的方式雖能標定出陀螺儀隨轉動的穩態輸出，但不能得到陀螺儀跟蹤轉動過程的動態性能。此外,由于輸入信號復雜，不能通過理論計算得到解析輸出結果。為研究陀螺儀對時變信號的追蹤能力，對陀螺儀施加正弦角速度轉動信號，測試陀螺儀對信號的追蹤能力,并標定出本仿真參數下的陀螺儀帶寬。仿真結果如圖7所示。

為衡量SERF原子陀螺對輸出的跟蹤能力，采用角速度為sin(0.1t)rad/s、sin(0.3t)rad/s和sin(0.67t)rad/s的正弦信號進行激勵。在sin(0.1t)rad/s的角速度輸入下，陀螺儀的輸出幅度為0.07337，接近階躍角速度輸入的輸出響應值。隨著激勵信號角速度的增大，陀螺儀的輸出信號逐漸減小。當輸入角度的幅值不變，角速度達到sin(0.1t)rad/s時，輸出降低至階躍響應的70.7%即0.05367，故該仿真參數下陀螺儀的帶寬為0.67rad/s。

(a)角速度輸入sin(0.1t)rad/s

(b)輸入角速度sin(0.3t)rad/s

(c)輸入角速度sin(0.67t)rad/s圖7 SERF原子陀螺在正弦轉動信號輸入下的響應Fig.7 Response of SERF atomic gyroscope under sinusoidal rotation signal input

衡量在實際應用中陀螺儀的輸入輸出情況。在陀螺儀的帶寬范圍內，測試了陀螺儀輸出對輸入角速度的跟蹤情況，構造了復雜任意波輸入，計算并對比了陀螺儀輸出Ωy與輸入之間的關系，仿真結果如圖8所示。從仿真中可以得出結論，該陀螺儀在帶寬內對角速度的輸入有較高的跟蹤精度。

圖8 任意波形輸入下陀螺儀的輸入輸出關系Fig.8 Input output relationship of gyroscope under arbitrary waveform input

3 總結

本文從SERF原子自旋慣性裝置的角速度測量原理出發,建立了Bloch方程描述其輸入輸出關系。為解決理論計算僅能得到Bloch穩態解,且輸入磁場、角速度、光場時變時無法求解的局限性,建立了Simulink仿真模型,采用可變階數值微分算法對Bloch方程組求解。對比了數值求解與解析計算的結果，驗證了對Bloch方程進行數值計算的可行性與準確性,解決了復雜輸入下無法通過理論解析計算求解SERF原子自旋慣性裝置輸出的問題。

影響SERF原子自旋慣性裝置性能的因素有很多,如溫度的不均勻性、磁場的不均勻性、抽運光檢測光的偏振度等。本文驗證了對SERF陀螺進行建模及數值求解的可行性與準確性,未來可以對更多影響因素進行研究,為SERF陀螺的設計與測試提供參考。