搭支架 尋淵源 促理解
——工程問題錯例分析及教學改進實踐思考

盧夢鑫

(諸暨市實驗小學教育集團 浙江紹興 311800)

工程問題一直是學生學習分數解決問題中的一個難點，特別是當“具體量”和“分率”相遇時，學生表現得更加束手無策。以人教版教材六年級上冊《數學課堂作業本》第35頁的第9題為例：一段路，如果甲隊單獨修，需要10天；如果乙隊單獨修，平均每天可修240m。現在甲、乙兩隊合修，6天正好修完。這段路長多少米？以下筆者的實踐和思考[1]。

一、基礎鋪墊——以數量關系為“支架”

出示：一段路，甲隊單獨修15天完成，平均每天可修240米。這段路有多少米？

設計意圖：從前測情況看，部分學生對基本的數量關系理解和掌握存在一定的困難，因此，在教學時從最基本的題型出發，目的是復習和鞏固最簡單的數量關系：工作效率×工作時間=工作總量，工作總量÷工作效率=工作時間，工作總量÷工作時間=工作效率。這些關系是學生解決“工程問題”時的“支架”。其中，重點理解：工作效率×工作時間=工作總量，同時給思路混亂或毫無頭緒的學生打開一個窗口——原來復雜、困難的工程問題也可以從這樣一個簡單的數量關系入手，再在同桌相互說的過程中進一步鞏固。

課堂中學生的學習情況：

大部分學生能夠快速寫出算式：15×240，但當老師提問列出這個算式的依據時，只有少部分學生能說理由。因此，向學生解釋：240表示甲的工作效率，15天表示甲的工作時間，甲的工作總量就是所求的路長。同桌兩人在互說“工作效率×工作時間=工作總量，工作總量÷工作效率=工作時間，工作總量÷工作時間=工作效率”這個幾個數量關系式時，好多學生還要依靠板書，不能成為知識儲備。

二、意義的理解——簡單的量率相遇問題

第二種方法：引導學生試著畫一畫線段圖。然后試著說一說等量關系。

設計意圖：從前測情況看，只有平時數學學習情況良好，成績較為靠前的學生是采用第二種方法解題的。因此，面對這部分學生，第二種方法略講，但為了幫助其理解，必須用線段圖加以解釋和說明。

請學生說說兩種方法的解題思路，重點理解第1種方法。

課堂中學生的學習情況：

在分析第二種方法的時候，學生表現得較為木訥，因為他們不擅長畫圖，也不善于列等量關系。因此，在圖形結合的基礎上，學生也能試著找到等量關系，但還是表現得較為吃力。

三、比較第1、2題的相同點和不同點，得出一般化的思想——尋求淵源，促進理解

設計意圖：比較兩個題目的不同和相同點，其實是引導學生試著分析問題之間存在的關聯，理清數量之間關系的同時，找到同類信息的聯系或者不同信息之間的相同本質，能夠自主萌發解題思路和方法，試著去歸納：不管問題怎么變，當遇到這類問題時，最方便、直接且容易理解的方法就是找到工作效率、工作時間、工作總量這三者。當有一個條件成為隱性條件時，試著根據題目的意思去找到相應的量[2]。

課堂中學生的學習情況：

相同點：題目中都有240，也有部分學生能說出這240都表示的是甲的工作效率，問題都是求這段路有多少米。不同點是，第一題是直接告訴甲單獨完成要15天，第二題是甲每天完成這段路的。這些直接的關聯學生能夠找到。稍作停頓后，有學生也悟到了，兩個題目其實都是根據“工作時間×工作效率=工作總量”這個數量關系來解決的。當學生有了這樣的發現后，教師大力表揚。然后順著學生的回答進行小結：不管這類題目怎么變，我們都應該試著去尋找題目中不變的關系，把它們作為解題的金鑰匙。這樣一來，這組循序漸進的練習題也就起到了真正的效果。

四、總結提升——因為理解，再復雜也不怕

出示：一段路，甲隊單獨修10天，甲乙兩隊合修需6天，乙單獨修平均每天可修240米。這段路有多少米？（學生獨立完成）

設計意圖：本題是在第2題的基礎上的又一步提升，從原來的一個隊變成了兩個隊，數量關系也進一步復雜起來。從學生的前測情況看，已知兩個隊的工作效率和及其中一個隊的工作效率，求另一個隊的工作時間，學生也是存在困難的。因此，在這個環節，也需要放慢腳步，為學生搭好支架。剩下的學生能夠從第1、2題中獲得啟發，去思考不變的是工作效率、工作時間、工作總量這三者的關系，變的是求工作時間的辦法，因為已知條件變了，需要根據合作時間和甲隊的單修時間來求出乙隊的工作時間。

課堂中學生的學習情況：

剛開始出示的時候，發現沒有學生能很快找到解題思路，老師提醒，覺得關系復雜的時候，可以多讀幾遍題目，試著從已知的條件中去尋求隱藏的條件，再看看，能不能在前面的1、2題中獲得一些啟發。

有學生能夠想到去尋找甲的工作效率，但在這個問題中，這條路走不通，但能有這樣的想法，說明他們已經把數量關系儲備在知識體系中了。然后換成去找乙的工作時間，這又需要用工作效率和減去其中的一個工作效率。盡管本題更為復雜，但有了前兩題的引導和鋪墊，學生還是能夠用方法一解決這個問題。方法二基本沒有學生能想到。

由教材中一個簡單的工程問題發散出花樣繁多的類型，但不管題目怎么變化，都希望學生能夠根據題意搭建好“工作效率、工作時間、工作總量”這三個基本的數量作為解題的支架，然后根據它們之間的關系，進行正確解答。更本質的看，其實我們可以由工程問題及行程問題、比例問題，凡是涉及三個量之間相互關系的數學問題，都可以用這種基本的思路來解決。相信這種“變中尋不變”的數學思想會在學生心中落地生根，期待他們數學學習路上的繁花似錦[3]。