基于數學史的“拋物線”教學

【摘 要】針對拋物線教學中的實際問題，從數學史實中尋找教學啟示，給出使焦點、準線自然地出現的教學策略，在計算演繹的過程中推理證明二次函數的圖象與標準方程下的拋物線同質，促進了學生理性思維的發展。

【關鍵詞】拋物線的數學史;二次函數圖象;拋物線教學

【中圖分類號】G633.6? 【文獻標志碼】A? 【文章編號】1005-6009（2021）11-0013-04

【作者簡介】李昌，南京師范大學灌云附屬中學（江蘇灌云，222200）教師，高級教師。

拋物線是中學數學的教學內容，其教學安排在初高中兩個學段，高中學段的教學又分布于函數、幾何與代數兩條主線中，這種分散性使得一些學生認為作為二次函數圖象的拋物線與解析幾何標準方程的拋物線，二者名字雖相同但并非是相同的曲線。那么，高中階段如何教學才能避免這種錯誤的認識？如何讓拋物線解析定義中的焦點、準線自然呈現并與二次函數相關聯？教學取向的數學史研究表明，教學中的這些問題都可以從數學史中找到答案或者啟示。因此，教師要了解相關數學史料，選擇合適方式融入教學;合理創設問題情境，通過計算演繹來推理證明二次函數圖象是拋物線，促進學生形成正確的認知。以下是筆者的做法和思考，同大家交流。

一、拋物線數學史實簡述

拋物線起源于圓錐截線，歷史上的名稱為“直角圓錐截線”“齊曲線”。柏拉圖學派的梅奈克繆斯（Menaechmus）按圓錐頂角的大小將圓錐分為銳角、直角和鈍角三類，用垂直于母線的平面截這些圓錐就得到“梅氏三線”，拋物線是其中的“直角圓錐截線”。阿波羅尼奧斯（Apollonius）發現在同一圓錐面中通過改變截面位置也能得到“梅氏三線”，其巨著《圓錐曲線論》代表了古希臘演繹幾何的最高成就。他還將希臘幾何學中的“應用”和歐幾里得（Euclid）的“比例”相結合，通過推理得出橢圓、雙曲線和拋物線的方程。

拋物線的焦點源于其光學性質，拋物面反射鏡能將平行于軸的光線聚集到一點，“焦點”的概念由數學家狄俄克利斯（Diocles）在《取火鏡》中提出，拋物線的幾何性質以及軌跡定義是由古希臘幾何學家喜帕普斯（Hipparchus）在《數學匯編》中給出。17世紀解析幾何誕生，數學家用代數的方法重新研究圓錐曲線，法國數學家洛必達（lH?pital）推導了拋物線的標準方程。

數學家對拋物體運動軌跡的研究充滿數學思維理性，經歷了觀察猜想、實驗驗證和理論推理的過程。14世紀，因對火炮射程的判斷和控制需要研究斜拋運動的軌跡，起初人們認為軌跡由斜向上的直線段、圓弧、豎直向下的直線段組成。直到17世紀中期，伽利略（ Galilei）用實驗的方法確定了平拋運動的軌跡不是直線而是類似于拋物線或雙曲線抑或是懸鏈線，而后通過實際測量得出：在相等的時間間隔內，水平位移相等，而豎直位移與時間的平方成正比。從而通過實驗得出平拋運動的軌跡就是阿波羅尼奧斯的齊曲線，理論上的證明則由數學家卡瓦列里（Cavalieri）完成。

依據認知發展的“歷史相似性原理”可以預見，從拋物線的截線定義到解析定義是學生認知的難點;可以斷定，初中教學時僅憑模糊的視覺認知來確認二次函數的圖象是拋物線的做法符合認知發展規律，但不能滿足高中階段學生的思維發展需要，不能作為推理的起點。因此，高中階段的教學應該思考如何揭示拋物線的焦點性質，如何才能使焦點準線自然呈現，怎樣融合兩種背景下拋物線數學本質的一致性，使學生形成正確的認知等問題，筆者的教學實踐如下。

二、關于焦點、準線的教學

教科書和許多教師在建構拋物線解析定義時，采用了開門見山直接了當的做法，用信息技術畫出平面上到定點與到定直線距離相等的點的軌跡，然后建立標準方程，這種辦法雖能使學生印象深刻，但焦點、準線空降式地出現顯得突兀，不能與拋物線的截線定義融合。

筆者曾設想在丹德林（Dandelin）模型中進行幾何論證。在丹德林模型中，拋物線的焦點是圓錐截面與球的切點，準線是母線在球面上的切點形成的平面與圓錐截面的交線。這種做法雖能實現從截線定義到解析定義的自然過渡，也切合知識的邏輯順序，但沒兼顧到知識發展的歷史順序，而且對教師運用信息技術（幾何畫板、Geogebra）能力、對學生空間想象能力和推理能力的要求都很高，實踐中有一定難度。

實際教學時，筆者利用了拋物線的光學性質來揭示焦點準線和建構解析定義。因為光學性質的運用如太陽灶、汽車車燈等是學生熟悉的生活情境，光的反射定律也為學生熟知。教學中，先讓學生思考拋物線型太陽灶的工作原理：把平行于對稱軸的太陽光經反射后匯聚于一點，此點即為拋物線的焦點。由光路可逆性，在焦點F處放置點光源，其發出的光線經反射后成為平行光，此為汽車車燈的工作原理。如下頁圖1，現設想一條光線射到拋物線鏡上的點P1，經反射后進入人眼，那么“看到”的發光點在F1處，根據反射定律可知F1是F的虛像，它們關于反射面對稱，反射點P1到F和F1的距離相等。若眼睛向下移動，如下頁圖2，人眼通過另一條反射光線“看到”F2處的虛像，這樣，眼睛在移動過程中看到的虛像就排列在一條直線l上，該直線就是拋物線的準線。若把眼睛的上下移動與入射點P的運動對應，則動點P到定點F的距離與到定直線l的距離相等，其中F ? l。拋物線解析定義就在對自身視覺的抽象中得以建構，焦點準線和拋物線也自然融為一體，而且還兼顧了知識的歷史順序和學生的學習心理。

三、關于二次函數圖象與拋物線統一性的教學

在初中教授二次函數時，教師以生活實例如拱橋、噴泉等外形特征來描繪圖象形狀，這是必要的也與學生認知契合。但若以此作為推理的起點則是不妥的，因為學生并未明白二次函數圖象是拋物線的理論依據，獲得的結論也沒有建立在邏輯推理基礎之上。所以，在高中教授拋物線標準方程時，有必要創設問題情境來激發探究實現演繹證明，筆者的教學過程如下。

片段1：“拋物線標準方程”的問題情境。

教師要求學生寫出一個二次函數的解析式、畫出圖象、說明形狀。學生展示后師生對話：“如何知道圖象形狀是拋物線的？”“之前老師告知的。”“能從二次函數呈現的信息（比如解析式和圖象）找出其滿足拋物線定義嗎？”學生思索后表示不能，教師追問“如果知道了拋物線哪方面的特征，就能判斷二次函數的圖象是拋物線呢？”學生討論后得出“需要知道拋物線焦點和準線間的代數關系，才能驗證二次函數滿足這種代數關系”。教師提出課題：拋物線的標準方程——焦點與準線的代數關系。

【設計意圖】以學生寫、畫、說等動作喚醒其關于二次函數的記憶;通過師生對話引發認知沖突，明確建立拋物線標準方程的現實意義。從圓錐曲線的單元教學上看，建立拋物線的標準方程雖為教學重點但不是認知難點，因為可以借鑒和參考建立橢圓和雙曲線標準方程的過程和方法。所以，從知識體系發現問題并用解析幾何思想方法解決問題、發展和完善學生的認知結構才是拋物線標準方程的教學價值。

片段2：問題探究：證明二次函數y =? [14]? x2 的圖象是拋物線。

學生將二次函數的解析式變形為拋物線的標準方程x2? =? 4y，進而求出焦點坐標和準線方程，再依據定義驗證。教師肯定其合理性，并指出這種從形式到形式的變形掩藏了推理過程中的邏輯鏈接，因此要求學生“在代數變形的過程中顯示拋物線的焦點坐標和準線方程”。

學生無從下手，教師引導：根據拋物線定義，說明函數解析式中隱含了解析定義中的兩個“距離”。因此，代數變形的方向應該與距離公式[（x-m）2+（y-n）2]靠近，注意到與之接近的是（x-m）2+（y-n）2這種形式（記為*），函數解析式中有這樣的結構嗎？如何變形為這種結構？

生1：由y =? [14]? x2 變形為4y =? x2，出現（x-0）2的形式，是（*）的局部，接下來設法將4y變成平方的形式，下面的變形還沒有想好。

生2：將4y變形為（y+2）2-（y-2）2，得到（y+2）2-（y-2）2 =? x2，移項即得（y+2）2 = x2 + （y-2）2，再開平方即為[x2+（y-2）2] =│y+2│，滿足定義。

師：很好！將二次項系數一般化，函數y =? ax2的（a≠0）圖象是拋物線嗎？

生3：由y =? ax2變形為x2 =? [1a]? ?y =? [4y4a] =（ y +? [14a] ）2 -（ y -? [14a]? ）2，即有[x2+（y-14a）2] =│y+[14a]│，焦點為（0，[14a]），準線方程為 y =-? [14a]? 。

師：很好！一般形式y =? ax2 +bx+c的拋物線，能找出焦點坐標和準線方程嗎？

學生4用配方的方法，但兩分鐘仍未得出結果，筆者示意觀察配方得出的y -? [4ac-b24a]? = a（ x +? [b2a] ）2 與y =? ax2 形式上的差異性，他豁然明白“整體代換”，令x'= x +? [b2a] ，y '= y -? [4ac-b24a] 即有y' =? ax'2 ，所以焦點為（-? [b2a] ，? [4ac-b2+14a] ），準線為y =? [4ac-b2-14a]。

【設計意圖】學生先將解析式轉化為標準方程得出焦點和準線再驗證，這是代數形式的等價變形，在邏輯上成立，但在思維上有“投機取巧”之嫌。布爾巴基學派早就指出，每個數學工作者都知道，單是驗證了一個數學證明的逐步邏輯推導，卻沒有試圖洞察獲取這一連串推導的背后意念，并不算理解了那個數學證明。所以，教學中有必要要求學生在代數變形的過程中顯示拋物線的焦點與準線，這實際上指出了變形的路徑：尋找符合幾何關系的代數結構，是一種深層次的數形結合。

需要特別指出，探究活動的順利進行與課堂上推導拋物線標準方程時沿用了法國數學家洛必達《圓錐曲線分析》中“和差術”的示范鋪墊密切相關。有研究者對比古今中外21套教材，發現其中10套采用“和差術”，其步驟如下：

建立如圖3所示的坐標系 ，設動點P（x，y）到定點F（[P2]，0）與定直線l∶x =-? [P2]的距離相等（其中P是大于0的常數），過點P分別向x軸、定直線l作垂線，垂足分別為R，Q，直線l與x軸的垂足為S。由拋物線定義得PQ=PF，在Rt△PRF中有PF2=PR2 +RF2，所以有PQ2=PR2 +RF2，由PR=y，RF=x -? [P2]，PQ=x +? [P2]得（x +? [P2]）2=? y2 +（x -? [P2]）2，化簡即得 y2 =2px。

筆者以為，洛必達的“和差術”是數形結合的典范，將線段PF視為Rt△PRF的斜邊，雖然喪失了動點的完備性，但卻直觀地表達了距離的數學本質;線段PR和PQ長度的對偶表示，賦予了代數結構的對稱美，對提升學生興趣、改變“解析幾何就是死算”的偏見具有積極意義。

四、總結

數學知識往往以學術形態呈現在教材中，教學時需將其轉化為教育形態才能激發學生火熱的思考，而將數學史融入教學是實現轉化的重要途徑。筆者通過梳理“拋物線”的研究脈絡，結合學生的數學基礎和認知特點，將數學史資源剪接整合，融入問題情境，以提升學生興趣和促進學生學科核心素養的發展。當然，如何理解和證明拋物線圖形的相似性，如何引入距離的運算促進圓錐曲線統一定義的形成，如何在拋物線教學中深化變量幾何的思想方法等問題，還有待于進一步的研究與實踐。

【參考文獻】

[1]李大永.基于數學思想方法的理解，整體設計解析幾何的教學[J].數學通報，2016（11）：13-18.

[2]史寧中.數形結合與數學模型[M].北京：高等教育出版社，2018.

[3]徐章韜，陳林.數學命題的認識及其課堂教學設計[J].課程·教材·教法，2014，34（11）：81-85.

[4]汪曉勤，沈中宇.數學史與高中數學教學——理論、實踐與案例[M].上海：華東師范大學出版社，2020.

[5]陸琳琰.拋物線的發生教學研究[D].上海：華東師范大學，2013.

[6]阿波羅尼奧斯.圓錐曲線論：卷I-IV[M].朱恩寬，等，譯.西安：陜西科技出版社，2007.

（注：本文系第32屆江蘇省“教海探航”征文獲獎文章，有刪改）