矩陣分解思想解題意義探究

陳建華　衛(wèi)聞逸　蘇韻

【摘 要】矩陣作為大學(xué)數(shù)學(xué)的重要工具，其意義不言而喻。從知識層面而言，矩陣是研究線性方程組、二次型、歐氏空間等的基石;從解題角度來說，借助矩陣解題也是常用的解題手段。在大學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，許多學(xué)生對解題的理解大多停留在套路和題型上，由于邏輯思維能力的欠缺而缺乏自主分析解題思路與方法的能力，導(dǎo)致解題過程比較僵化。本文結(jié)合“波利亞—如何解題”思想，借助分解思想對矩陣的解題展開討論，從高次冪矩陣、行列式、正定矩陣三個方面探究矩陣分解在解題中的應(yīng)用。

【關(guān)鍵詞】矩陣分解思想;解題意義;高次冪;行列式

【中圖分類號】G642? 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A? 【文章編號】1671-8437（2021）34-0001-02

數(shù)學(xué)解題先驅(qū)喬治·波利亞的《怎樣解題》一書中的“怎樣解題表”將數(shù)學(xué)解題分為四個階段：理解題目、擬定計劃、實施計劃、驗算結(jié)果。而分解思想能把復(fù)雜問題分解成若干簡單子結(jié)構(gòu)以簡化解題過程。矩陣運算在高等代數(shù)中至關(guān)重要。本文從高次冪、行列式、正定矩陣三方面說明矩陣分解思想的解題意義[1]。

1? ?矩陣高次冪求解問題剖析

矩陣冪計算是典型的高等代數(shù)問題。低次冪矩陣可直接用矩陣乘法定義運算，高次冪矩陣可用特征多項式、二項式展開、數(shù)學(xué)歸納等方法求解，但這些方法較復(fù)雜，而約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型定理的誕生為矩陣分解求高次冪奠定了基礎(chǔ)。求高次冪的關(guān)鍵是將復(fù)雜矩陣分解為簡單矩陣：矩陣乘法結(jié)合律可解秩為1的矩陣高次冪問題，相似對角化定理和約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型定理可分別解可對角化和不可對角化的矩陣高次冪問題[2-4]。

1.1? 秩為1的矩陣高次冪問題

1.2? 可對角化的矩陣高次冪問題

1.3? 不可對角化的矩陣高次冪問題

2? ?行列式計算問題探究

3? ?正定矩陣的判定

分解思想在高等代數(shù)的解題中具有非常重要的作用。教師在教學(xué)中要融入數(shù)學(xué)思想，以問題為出發(fā)點，以數(shù)學(xué)思想方法為主線，以解決問題為目的展開探究，讓學(xué)生發(fā)揮積極性與主動性，使高等代數(shù)教學(xué)成為一個發(fā)展與培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的過程。

【參考文獻(xiàn)】

[1]楊子胥.高等代數(shù)精選題解[M].北京：高等代數(shù)出版社，2008.

[2]閆樹熙.方陣高次冪求解研究[D].榆林：榆林學(xué)院，2012.

[3]邵逸民.秩為1矩陣的性質(zhì)及應(yīng)用[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2010（5）.

[4]李根深.波利亞教我們怎樣啟發(fā)學(xué)生思考[J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2004（3）.

【作者簡介】

陳建華（1963～），男，漢族，江蘇南通人，碩士，副教授。研究方向：數(shù)學(xué)教育與代數(shù)環(huán)論。

蘇韻（2000～），女，漢族，江蘇泰州人，本科，揚州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)（師范）專業(yè)2018級在讀本科生。研究方向：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)。

【通訊作者】

衛(wèi)聞逸（2000～），女，漢族，江蘇省蘇州市，本科，揚州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)（師范）專業(yè)2018級在讀本科生。研究方向：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)。