數學史融入小學數學教材的研究分析及教學啟示

【摘 要】為研究數學史與數學教育的關系，本文從教材角度出發，統計對比了人教版、北師大版數學教材中的數學史內容的分布情況，著眼于學生的個體認知和實際發展情況，以期幫助數學教師透徹了解教材，充分發揮數學史的德育價值，優化教學設計。

【關鍵詞】數學史;小學數學教材;課程思政;對比研究

【中圖分類號】G623.5? 【文獻標識碼】A? 【文章編號】1671-8437（2021）34-0248-04

數學史既屬于史學領域，又屬于數學科學領域，因此數學史研究既要遵循史學規律，又要遵循數學的規律。根據這一特點，可以將數理分析作為數學史研究的特殊的輔助手段，站在現代數學的高度對古代數學內容與方法進行分析。HPM（即數學史與數學教育）研究者認為，數學教育取向的數學史研究目的之一是為數學課堂教學提供材料，另一目的是獲取相關知識點（概念、公式、定理等）的教學啟示。將數學史知識與數學教學結合，一直是HPM學者的研究目標之一，而教材又是教學的藍本，因此對數學史融入教材的研究分析實際上是數學史與數學教育的一座橋梁[1]。

本文通過對小學數學教材進行整理和比較，分析數學史內容在小學教材中的分布特點，一方面能夠為數學史和數學教育的研究提供思路，另一方面可以提高小學數學教師對數學史的重視程度并為其數學教學工作提供參考。

1? ?研究設計

1.1? 研究問題

基于數學史的價值與教育現狀的分析，此項研究主要聚焦于以下兩個問題：

（1）中國小學數學教材中數學史內容的分布有什么特點？

（2）對教師運用教材、進行教學設計、開展課程思政有什么啟示？

1.2? 研究對象與方法

本研究選取影響力較廣的人民教育出版社發行的《義務教育教科書 數學》（以下簡稱“人教版”）小學教科書共12冊以及北京師范大學出版社發行的《義務教育教科書 數學》（以下簡稱“北師大版”）小學教科書共12冊作為研究對象。研究上述教科書中數學史內容的分布特點和數量，基于兩條標準進行選擇，一是能追溯數學內容、思想和方法的演變、發展過程，二是與數學史上公認的經典問題、重要事件有關。

該研究采用內容分析法，統計分析教科書中的數學史內容，參考已有研究，分析各數據的特點，以數據來描述對象所含數學文化的特征，獲得規律與啟示[2]。

1.3? 教材中數學史內容的分析及對比

1.3.1? 總體特征及年級占比

統計發現，人教版12冊教材共出現數學史內容54次，平均每本教材出現4.5次;北師大版12冊教材共出現數學史內容36次，平均每本教材出現3次。其中一、二年級教材中的數學史內容較少，人教版教科書一、二年級共出現數學史內容6次，北師大版教科書一、二年級共出現數學史內容10次。具體情況如表1所示。

1.3.2? 維度分析

（1）內容分類

數學史素材豐富多彩，包括數學人物、數學故事、數學問題、數學思想方法等。本文將教材中的數學史內容分為：數學家及其故事，歷史名題猜想，數學的演變、發展，數學的應用[3]。其中，涉及兩個及兩個以上方面的，則取決于其主要內容及篇幅。

如人教版教材四年級下冊劉徽關于小數的萌芽，朱世杰“小數”概念的提出，同時涉及數學家和數學的演變發展兩個方面，但整段文字的介紹強調的是小數的萌芽產生與確定，所以將其歸類為數學的演變、發展。數學史內容分類的具體情況如表2所示。

在數學的應用方面，人教版和北師大版各占31%和22%。數學應用中蘊含著深厚的數學思想，在數學應用中滲透數學史可以幫助學生在實踐活動中掌握數學方法，體驗數學的應用價值、文化價值和審美價值，進而使學生加深對數學知識本質的理解。

數學的演變發展方面，人教版占比46%，北師大版占比53%。數學家及其故事方面，人教版占比6%，北師大版占比17%。二者都是數學的演變發展相關內容多于數學家及其故事相關內容，這意味著兩種教材都更關注數學的形成與發展，數學家的故事相對淺顯易懂，數學的演變發展更能讓學生體會知識的產生、發展的過程，感受數學的魅力，激發學生的學習動力，也能增強學生對數學文化的認同感[4]。

（2）內容所屬領域

研究數學史融入數學教材的情況，不僅要關注數學史內容本身和分類情況，也需要考察其在教材中的所屬領域，以便進一步了解數學史的融入情況，為教師合理利用數學史開展教學活動做準備[5]。為方便統計，本文將內容所屬領域分為：引入、習題、拓展延伸三個方面。具體分析如圖1所示。

（3）呈現方式

分析教材中數學史的呈現方式，可以幫助教師尋找更為合適的方法帶領學生感受數學文化和數學魅力。本文依據小學數學教材中的呈現樣式，將數學史的呈現大致分為三種：文字、文字為主、圖片為主。具體呈現情況如表3所示。

2? ?結論思考

對人教版教材和北師大教材的對比研究，可以發現人教版教材和北師大版教材都注重數學史與數學教育之間的聯系，數學史內容較為豐富多彩，運用數學史的方式也各有特色，具體表現如下：

2.1? 內容選材

兩個版本的教材都涉及數學家及其故事、歷史名題猜想、數學的演變發展和數學的應用四個類型的數學史內容。教材從數學史出發，并不局限于介紹數學史，給抽象枯燥的數學學習融入一份樂趣，能夠激發學生的學習興趣，促使學生主動探究數學問題。此外，各個類型的分配占比也比較合理。橫向對比來看，人教版教材更注重歷史名題猜想、數學的演變發展和數學應用，北師大版教材更注重數學家及其故事、數學的演變發展和數學的應用。這表明兩個版本教材在選取數學史內容時都考慮到了自身的整體結構與整體風格，而不是一味地追求數學史內容的數量。

2.2? 內容所屬領域

兩個版本的教材都做到了數學史與教材的合理融合，幾乎在每個板塊都能看到數學史的影子，但是由于小學生認知能力的局限，數學史在拓展延伸中出現頻率最高。相較而言，人教版教材更注重三個板塊的均衡分布，有15%的數學史內容出現在習題中，將歷史名題以符合時代的方式呈現出來。數學學科具有延續性，如古代文明中形成的十進制、數字表示方法、四則運算法則等至今仍在使用，但數學的發展進步就是古為今用，推陳出新的過程，因此，從歷史素材中汲取養分是十分必要的。

2.3? 呈現方式

人教版和北師大版教材中均采用多種呈現方式，整體富有趣味性，擺脫了數學學科的枯燥抽象。相較而言，人教版教材多采用圖片為主的方式來呈現數學史內容，北師大版則多采用文字。兩個版本在年級分類上都呈現遞增趨勢，年級越高所涉及的數學史內容也越多，相應的，呈現方式也由圖片為主逐步轉變為以文字為主或全部由文字敘述。兩個版本都注意到了不同年齡段認知水平的差異，著眼于學生的個體認知特點和未來發展需求。在數學史材料的數量上，人教版教材要比北師大版教材更為豐富;呈現方式上，人教版要比北師大版更為形象生動;從整體來看，北師大版教材更注重整體的均衡性和呈現的完整性。

3? ?教學啟示

在一般人看來，數學是一門比較枯燥無味的學科，因而很多人視其為畏途，從某種程度上來說，這是長期以來數學教育僵化不變的結果。如果教師能夠在數學教學中滲透數學史內容，讓數學變得生動起來，便可以激發學生的學習興趣，也有助于加深學生對數學概念、方法和原理的理解[6]。

數學的文化價值與審美價值的不斷提升，使得數學課堂教學越發關注數學文化的滲透水平與質量。本文基于教材特點，著眼于學生的個體認知和實際發展，關于數學史融入小學數學教材得到以下啟示。

3.1? 深入挖掘教材：拓展數學史的閱讀，加深對數學本質的理解

小學階段正值學生思維的批判性、發散性、深刻性高速發展的關鍵時期，因此在這個階段拓展數學史的內容，既能幫助學生了解數學問題解法的多樣性，引導學生在解決問題中感受數學知識亙古不變的傳承魅力，也能使其學會用數學的眼光去評判解法的優劣，加深理解，拓展思維。

因此筆者建議小學數學教師深入挖掘教材中已有的數學史內容，對課本中出現的數學史內容進行補充說明，幫助學生深入認識、理解有關數學概念、方法和原理。

以人教版五年級上冊數學教材為例，教材中出現了“數字黑洞”“方程的發展”“劉徽出入相補原理”等數學史材料。關于“方程的發展”，教材表述簡潔，闡述了早在三千六百多年前埃及人使用方程解決實際問題，我國古代兩千年前成書的《九章算術》記載了方程解決問題的案例，三百多年前笛卡兒第一個提倡用x，y，z等字母表示未知數。但是讀完之后學生不免會有一些疑問：埃及人以及古代中國人為什么會用方程解決問題，解決的是什么問題？笛卡兒是誰？為什么要用x，y，z來表示未知數而不是a，b，c或者其他的字母？其實每一個問題都需要教師提前準備，其背后都是對方程的深入探索。在教學過程中，教師往往會遇到部分學生有這樣的觀點：“為什么這道題也要求用方程解決啊？方程好難啊，還不如不用方程呢。”“含有x的等式才叫方程，這個3a+6=9不是方程。”這其實就是學生不理解方程的概念，或者是對方程解題方法的認識不到位。深入挖掘方程背后的數學史材料，既豐富了數學課堂，又能幫助學生理解有關概念、方法和思想。

3.2? 課程思政：感受數學的傳承魅力，增強民族文化認同感

課程思政是教育回歸育人本質的關鍵途徑，教師肩負傳道授業解惑的重要使命。中國有著悠久的歷史，14世紀以前一直是世界上數學最為發達的國家，出現過許多杰出數學家，取得了很多輝煌成就，在小學教材中所出現的算盤、算籌計數、司南、指南針、《九章算術》、《周髀算經》等都是我國璀璨數學文化的代表[7]。對數學史的學習，可以使學生了解中國古代數學的輝煌成就，能夠增強學生的文化自信和對數學文化的認同感，了解中國近代數學落后的原因、中國現代數學研究的現狀以及與發達國家數學的差距，以激發學生的愛國熱情，激發學生的學習動力。

結合HPM視角下的數學教學，本文基于數學史的德育價值將小學數學教材中數學史的部分思政元素做了總結，具體如表4所示。

因此，在數學課堂中，教師要利用已有的課程資源，充分發揮數學史所蘊含的數學思想方法以及數學文化價值，合理地在課堂中發揮數學史的積極作用，為學生搭建一座橋梁，實現古為今用，推陳出新，激勵學生不斷探索，促進民族科學的發展。

3.3? 教學設計：優化課堂呈現方式，充分發揮數學史所蘊含的數學思想方法、數學文化價值

隨著HPM研究的深入開展，關于數學史融入數學教學的具體方法的探討也越來越重要。面對同樣的數學史材料，不同的教師會有不同的呈現方式，這往往會帶來不一樣的影響。有些教師對數學史不夠重視，看到數學史有關的內容往往一帶而過甚至視而不見，這對于處在模仿期的學生的發展來講是不利的。

有些教師對于歷史名題的處理是值得學習的，他們會提前布置預習作業，讓學生提前閱讀相關數學史內容，分組闡述心得，共同探討歷史名題的不同解法，從數學角度比較解法的優劣。這樣的學習環節，不但豐富了學生的見識，鍛煉學生的口頭表達能力，還能幫助學生了解數學問題解法的多樣性，加深對知識的理解。如賁友林老師對于“雞兔同籠”問題的講授。大約1500年前，“雞兔同籠”這一趣味數學問題就記載于《孫子算經》中，《義務教育數學課程標準（2011年版）》中將其作為課程內容的一項實例進行分析，賁友林老師執教的“雞兔同籠”這一節課，以中國古代數學經典傳統文化為載體，由課內延伸至課外，從表象看本質，既注重弘揚中華優秀傳統文化，又體現了數學課堂教學的特色與創新[8]。

教師應深入探索數學史背后的價值，積極對數學課堂教學進行創新，使得整個課堂成為一個師生交流互動的有機整體。中國學生在某種程度上是優秀的“考試者”，而不是“學習者”“創新者”。在日常教學設計中，教師應當充分發揮學生的主體作用，發揮教師的主導作用，依據數學史中實際問題的表面特征，引導學生的思考從“一”走向“多”，再從“多”走向“一”，深入理解數學的本質屬性，并與已有認知形成聯系，幫助學生形成自主學習的能力。

【參考文獻】

[1]汪曉勤，張小明.HPM研究的內容與方法[J].數學教育學報，2006（1）.

[2]唐海軍，高晶.初中數學教科書中歷史名題分布特征及啟示[J].數學教育學報，2020（5）.

[3]閔穎，胡典順.數學史融入數學教材的編寫研究——以2019年鄂教版普通高中數學教科書為例[J].中國數學教育，2020（8）.

[4]楊豫暉，魏佳，宋乃慶.小學數學教材中數學史的內容及呈現方式探析[J].數學教育學報，2007（4）.

[5]汪曉勤.HPM的若干研究與展望[J].中學數學月刊，2012（2）.

[6]史紅燕.高中數學教材中數學史料呈現與融入模式——以人教版高中數學必修教材為例[J].隴東學院學報，2017（1）.

[7]王靜，胡典順.數學史融入高中數學教材的分析與思考——以人教A版必修教材為例[A].全國數學教育研究會.全國數學教育研究會2016年國際學術年會論文集[C].全國數學教育研究會：中國高教學會高等師范教育研究會數學教育會，2016.

[8]曹一鳴.堅守與創新：數學課堂教學中的中國傳統文化——評賁友林老師《“雞兔同籠”問題》一課[J].教育視界，2020（23）.

【作者簡介】

唐瑜璐（1996～），女，漢族，河南商丘人，喀什大學數學與統計學院學科教學（數學）專業2020級在讀碩士研究生。研究方向：學科教學（數學）。