函數項級數一致收斂判別法的應用與推廣

【摘 要】作為數學分析中的重點，函數項級數一致收斂性問題的判別通常比較困難。因而，研究函數項級數一致收斂的判別方法及其應用推廣是非常必要的。本文介紹了函數項級數相關的部分和、余項、函數項級數一致收斂等定義，并給出一致收斂函數項級數的連續性、可微性、可積性。將數項級數的收斂判別法進一步推廣至函數項級數一致收斂判別法上，并且系統地總結了基于函數項級數一致收斂的多種判別法及其證明，同時也給出相關判別法的實際應用，并探討了一致收斂判定中的放大技巧以及各判別法的局限性。

【關鍵詞】函數項級數;一致收斂性;判別法;放大法

【中圖分類號】G712? 【文獻標識碼】A? 【文章編號】1671-8437（2021）34-0005-03

作為數學分析的難點和重要問題，函數項級數的一致收斂性的判定通常需要一定技巧，因此本文旨在全面歸納函數項級數一致收斂的判別方法。另外，函數項級數與數項級數之間有許多可以類比歸納的地方，因此一些數項級數收斂的判別法，如比式、根式、Raabe判別法等，也可以用于證明函數項級數是否一致收斂。由于在判別法中需要利用放大的技巧，因此本文總結了多種放大的方法，最后綜合各種判別法的優缺點，以更加熟練地應用判別法。

1? ?函數項級數一致收斂的定義及基本判定方法

1.1? 函數項級數一致收斂的定義

1.2? 柯西（Cauchy）判別法

1.3? 阿貝爾（Abel）判別法

1.4? 狄利克雷（Dirichlet）判別法

1.5? 魏爾斯特拉（M）判別法

2? ?對比數項級數，得到函數項級數一致收斂的判別法

2.1? 比式判別法

2.2? 根式判別法

2.3? 對數判別法

2.4? 高斯（Gauss）判別法

3? ?判別法中放大的技巧

通過上述對于一致收斂判別法的總結，會發現無論選擇哪一種判別法，都要對某一種形式的表達式有針對性地放大，下面通過例子來說明放大技巧[7]。

3.1? 利用已知不等式進行放大

3.1.1? 均值不等式

3.1.2? 柯西不等式

3.1.3? 鍥貝曉夫不等式

3.1.4? 明可夫斯基不等式

3.1.5? 貝努力不等式

3.1.6? 排序不等式

3.2? 利用Abel變換進行放大

綜上所述，柯西收斂法在運用上比定義法更為優越，但需要掌握一定技巧，其推論常用于判斷函數項級數非一致收斂;應用Abel判別法和Dirichlet判別法的關鍵在于將函數項寫成兩項相乘的形式，使其滿足判別法的條件;魏爾特斯拉（M）判別法較為方便的地方在于可以使用放大法將其轉化為正項級數的收斂問題，同樣需要一定的技巧，但是此法同樣具有不可避免的缺陷，即如果函數項級數并不是絕對收斂的，那么就不能使用;Dini判別法需要判斷求和函數是否連續，條件要求較高，不便于應用。根據數項級數的判別法推廣而來的方法擁有與之類似的適用條件，比式判別法多用于通項中含乘除、階乘的函數項級數;根式判別法多用于通項中n為冪的函數項級數;對數判別法多用于通項中n為底數的函數項級數;在判斷比等比級數收斂得慢的級數時，Raabe判別法比柯西判別法、阿貝爾判別法更有效;余項判別法的本質是用取極值的方法將其轉化為數列極限問題。

函數項級數一致收斂的判斷有許多種方法，但是每一種方法都有各自的優缺點，可能只適用于其中某一類函數項級數，只有對每種判斷方法的條件及函數項級數的性質做正確的分析，才能游刃有余地使用。

【參考文獻】

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[2]陳紀修，於崇華，金路.數學分析.下冊.第2版[M].北京：高等教育出版社，2004.

[3]華東師范大學數學系.數學分析-第3版[M].北京：高等教育出版社，2001.

[4]B.Ⅱ.吉米多維奇，吉多米維奇.數學分析習題集題解（四）[M].濟南：山東科學技術出版社，1981.

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[8]劉玉璉，傅沛仁.數學分析講義[M].北京：高等教育出版社，1992.

【作者簡介】

熊晗穎（1985～），男，漢族，江蘇常州人，本科，講師。研究方向：高職數學的信息化教學研究。

The Application and Extension of the Discriminant Method of Uniform Convergence on Function Series

Hanying Xiong

（Changzhou Railway Higher Vocational and Technical School， Changzhou， Jiangsu， 213011）

Abstract：As the focus of mathematical analysis， it is usually difficult to judge the uniform convergences on function series. Therefore， it is very necessary to study the discriminant method of uniform convergence of function series and its application. This paper introduces the definitions of the partial sum， the remainder and the uniform convergence on function series， and gives the continuity， differentiability and integrability of uniformly convergent function series. In the paper， the convergence discriminant method of several term series is further extended to the uniformly convergent discriminant method on function term series， and a variety of discriminant methods based on the uniform convergence of function series and their proofs are systematically summarized. At the same time， the practical application of relevant discriminant methods is also given， and the amplification skills in the uniformly convergent judgment and the limitations of each discriminant method are discussed.

Keywords：function term series; uniform convergence; discriminant method; amplification method