一道模擬題引發的關于幾何作圖的思考

翟梅

摘要：數學是研究數量關系和空間形式的科學。發展學生的空間觀念和幾何直觀是數學課程的重要目標。幾何直觀可以幫助學生直觀地理解數學，在整個數學學習過程中發揮著重要的作用。因此，歷年全國各地的中考試題，都離不開對幾何作圖的考查。本文基于2019年各地中考對尺規作圖的考查研究，反思筆者自身的教學實踐，關于幾何作圖教學作出一些思考。

關鍵詞：幾何作圖? 尺規作圖中的數學思維? 無刻度直尺作圖? 中考

在我校九年級的一次模擬考試中有一道習題，評析完題目后我產生了一些思考，并記錄下來，以期與大家分享。模擬考試形式和往年安徽中考形式一致，此題是第14題，即填空題的壓軸題，這是一道常規的折疊后多情況分類討論題。

一、原題呈現

如圖1，在矩形ABCD中，AB=6，BC=4，點E是BC上一動點，把△DCE沿DE折疊得到△DFE，射線DF交直線CB于點P，當△AFD為等腰三角形時，DP的長為??? 。

二、題目解析

由折疊可知DF=DC=AB=6，AD=4，所以AD≠DF，若△AFD是等腰三角形，則有AF=DF或者AF=AD.

情況一：當AF=DF時，此時點F在線段AD的中垂線上，很容易畫出此時的圖形（如圖2），只要作出等腰△AFD底邊AD上的高FM，則可證△DMF∽△PCD，則有MDDF=PCDP，即DP=3PC，再由DP2=PC2+DC2，可得DP=922;

情況二：當AF=AD時，此時F點在矩形ABCD外，如圖3所示，只要作出等腰△AFD底邊DF上的高AN，此時DN=12DF=3，又可證△DNA∽△PCD，則有DNDA=PCDP，即DP=43PC，再由DP2=PC2+DC2，可得DP=2477;

三、問題發現

這是一道綜合題，表面上看考查了折疊、相似、等腰三角形、勾股定理等知識，然而學生答題情況很不理想。筆者課后做了大量的調查發現，學生基本上都知道兩種情況，多數求出了情況一，但對情況二當AF=AD時，感覺難度很大，普遍反映無法判斷F點是在矩形內還是矩形外，因而畫不出正確的圖形，從而無法解答。

實際上，當AF=AD時，△AFD的三邊分別為：AF=AD=4，DF=6。這是一個確定的三角形，完全可以獲得較為精確的圖像。在評講時，我請學生思考，不妨設本題長度單位是厘米，那么可否作出較為精確的圖形呢？很快大家回憶起三邊長確定的三角形的作圖方法，即以A為圓心，AD長為半徑畫弧，再以D為圓心，DC長為半徑畫弧，兩弧交點即為F點，如圖4所示。

教師要認識到學生的作圖能力才是關鍵，并且本題的這個作圖要求完全符合課程標準里對學生作圖能力的要求。

四、中考分析

安徽往年的中考作圖題一直比較青睞網格作圖，如圖形的平移、對稱、位似等，比較簡單，其實并沒有最大限度地發揮網格的特點。應該說網格作圖能夠保留圖形自身的幾何特性，網格自身的位置及數量的特殊性又賦予了圖形一些特殊關系，進而使幾何圖形的性質得以特殊化、數量化。在構圖時網格中的格點，提高了解題的靈活性和創造性，給了學生多角度探究的空間。因此，網格作圖題目的設計還有很大的挖掘空間。而尺規作圖，安徽中考在2018年首次考查，可謂一石激起千層浪，終于使得尺規作圖進入了一線教師們的視野。但是縱觀全國其他地區的中考，早已涉及無刻度直尺作圖。這些命題的變化透露出來的信息對于一線教學都具有一定的意義。

筆者梳理了2019年各地中考對幾何作圖的考查情況，有的簡單直接，有的含蓄委婉，可謂是推陳出新、精彩紛呈。下面是筆者作的一些簡單梳理。

（一）直接考查五種基本尺規作圖

記憶基本尺規作圖方法即可，一般要求學生保留作圖痕跡，不要求寫作法。典型試題有2019年江蘇泰州中考第20題、2019年江蘇鹽城中考第21題。

（二）無指定工具要求的作圖

一般為網格作圖，但不再停留在基本圖形變換上，需要學生借助于已有的知識進行分析思考再加工。比如2019年安徽中考第16題、2019年浙江金華中考第20題。

（三）限制只能使用無刻度直尺作圖

要求僅用無刻度直尺作圖，每一步作圖都應遵循“兩點確定一條直線”原理，是中考考查重點和熱點，涌現了許多新題型。比如2019年浙江嘉興、舟山中考第20題，2019年江蘇無錫中考第26題，2019年天津中考第18題，2019年湖北武漢中考第20題，2019年江西中考第15題。

（四）需要自己畫圖的幾何題

題目設計時不提供圖形，或者是圖形不確定、是變化的，則需要學生繪制直觀的圖形來尋找解題途徑。比如2019年四川綿陽中考第17、18題，2019年江蘇南京中考第16題等。

五、個人思考

2019年11月29日，教育部宣布取消初中學業水平考試大綱，安徽地區的師生們也將面臨無考綱備考的挑戰。那么，沒有考綱的我們如何應對幾何作圖這部分的教學呢？

首先，回歸課標。

在課程標準里并沒有詳細羅列如何進行幾何作圖的教學，但是課程標準告訴我們數學是研究數量關系和空間形式的科學。總結課程標準中對尺規作圖的要求，那就是“會做”和“明理”。

要想“明理”，在教學中就不能把尺規作圖作為一種技能去教，學生不僅要理解凝結在作圖中的數學邏輯和思維脈絡，還要在此基礎上自主探究畫法。比如“角平分線的尺規作圖”，很多教師認為這沒什么需要探究的，讓學生直接學習作法更高效，殊不知這種看似高效的做法恰恰跳過了最重要的思維提升良機。

筆者在教學時就通過一些問題引導學生開動腦筋，讓學生自己思考解決問題的辦法，過程如下：

問題1：∠AOB的平分線是什么圖形？

問題2：怎么確定一條射線？

問題3：這條射線有什么特別的性質？

問題4：根據我們的經驗，在怎樣的條件下會出現兩個相等的角？

問題5：怎樣創造想要的條件？

學生通過合作交流，很容易想到以O為圓心、任意長為半徑畫弧，從而構造以∠AOB的頂點O為頂角頂點的等腰三角形OMN（如圖5），然后作MN的中點，就可以利用三線合一找到角的平分線。

問題6：怎樣用尺規作圖找到MN的中點？

學生很快想到作MN的中垂線即可（如圖6）。然后筆者和學生一起簡化了過程，C、D兩點只需作出圖中交點C即可。

筆者認為經過這樣的思考，學生能夠深刻理解凝結在作圖中的數學邏輯和思維脈絡，可以“明理”。

其次，回歸課本。

滬科版的教材很重視幾何作圖的滲透。教師只要仔細研究，就會發現很多幾何作圖教學的好機會。

例如，在八年級上冊第14章《全等三角形》中，就經常需要作圖。在探究三角形全等判定方法初始，教材里安排的“操作”，就是通過簡單的工具作圖，明確“只給定三角形的一個或兩個元素不能完全確定一個三角形的形狀、大小”。而接下來所有判定方法的得出都是以尺規作圖“探究”引入的。筆者在進行這部分內容的教學時，并不急于告知學生判定方法，而是讓學生逐個作圖。這部分即課標中的要求“用基本作圖完成已知三邊、兩邊及其夾角、兩角及其夾邊作三角形”。學生通過作圖也加深了對“邊邊角”不能證明全等的理解。因此，第14章《全等三角形》不單單是學習三角形的全等判定，更重要的是也完成了對尺規作圖基本方法的再次練習。再比如八年級下冊第19章《四邊形》中，平行四邊形的判定定理2、3也都是利用尺規作圖的方法獲得的。課后習題19.2也有諸多練習是需要作圖輔助解決的。教師一定要充分挖掘教材，將知識串聯起來，站在更高的高度教學。

最后，回歸課堂。

數學課堂一定是有思維深度的課堂。隨著教育教學改革的深入發展，以及核心素養理念的提出，對學生思維能力的培養愈發受到廣泛的關注。數學課堂更應該關注思維教學，使學生的思維運作方式產生結構性變化，思維結構得以優化，從而形成良好的思維品質。像文中提到的2019年各地中考考查的無刻度直尺作圖，它是不可能依靠大量的題海戰術解決的。教師只有立足關注思維的數學課堂，才能提高教學的效率，使學生學會用數學的眼光看世界，用數學的思考方法解決問題。

以上是筆者的一些粗淺之見，期待和大家交流。