一道模擬題引發(fā)的關(guān)于幾何作圖的思考

翟梅

摘要：數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)。發(fā)展學(xué)生的空間觀念和幾何直觀是數(shù)學(xué)課程的重要目標(biāo)。幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中發(fā)揮著重要的作用。因此，歷年全國(guó)各地的中考試題，都離不開對(duì)幾何作圖的考查。本文基于2019年各地中考對(duì)尺規(guī)作圖的考查研究，反思筆者自身的教學(xué)實(shí)踐，關(guān)于幾何作圖教學(xué)作出一些思考。

關(guān)鍵詞：幾何作圖? 尺規(guī)作圖中的數(shù)學(xué)思維? 無刻度直尺作圖? 中考

在我校九年級(jí)的一次模擬考試中有一道習(xí)題，評(píng)析完題目后我產(chǎn)生了一些思考，并記錄下來，以期與大家分享。模擬考試形式和往年安徽中考形式一致，此題是第14題，即填空題的壓軸題，這是一道常規(guī)的折疊后多情況分類討論題。

一、原題呈現(xiàn)

如圖1，在矩形ABCD中，AB=6，BC=4，點(diǎn)E是BC上一動(dòng)點(diǎn)，把△DCE沿DE折疊得到△DFE，射線DF交直線CB于點(diǎn)P，當(dāng)△AFD為等腰三角形時(shí)，DP的長(zhǎng)為??? 。

二、題目解析

由折疊可知DF=DC=AB=6，AD=4，所以AD≠DF，若△AFD是等腰三角形，則有AF=DF或者AF=AD.

情況一：當(dāng)AF=DF時(shí)，此時(shí)點(diǎn)F在線段AD的中垂線上，很容易畫出此時(shí)的圖形（如圖2），只要作出等腰△AFD底邊AD上的高FM，則可證△DMF∽△PCD，則有MDDF=PCDP，即DP=3PC，再由DP2=PC2+DC2，可得DP=922;

情況二：當(dāng)AF=AD時(shí)，此時(shí)F點(diǎn)在矩形ABCD外，如圖3所示，只要作出等腰△AFD底邊DF上的高AN，此時(shí)DN=12DF=3，又可證△DNA∽△PCD，則有DNDA=PCDP，即DP=43PC，再由DP2=PC2+DC2，可得DP=2477;

三、問題發(fā)現(xiàn)

這是一道綜合題，表面上看考查了折疊、相似、等腰三角形、勾股定理等知識(shí)，然而學(xué)生答題情況很不理想。筆者課后做了大量的調(diào)查發(fā)現(xiàn)，學(xué)生基本上都知道兩種情況，多數(shù)求出了情況一，但對(duì)情況二當(dāng)AF=AD時(shí)，感覺難度很大，普遍反映無法判斷F點(diǎn)是在矩形內(nèi)還是矩形外，因而畫不出正確的圖形，從而無法解答。

實(shí)際上，當(dāng)AF=AD時(shí)，△AFD的三邊分別為：AF=AD=4，DF=6。這是一個(gè)確定的三角形，完全可以獲得較為精確的圖像。在評(píng)講時(shí)，我請(qǐng)學(xué)生思考，不妨設(shè)本題長(zhǎng)度單位是厘米，那么可否作出較為精確的圖形呢？很快大家回憶起三邊長(zhǎng)確定的三角形的作圖方法，即以A為圓心，AD長(zhǎng)為半徑畫弧，再以D為圓心，DC長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交點(diǎn)即為F點(diǎn)，如圖4所示。

教師要認(rèn)識(shí)到學(xué)生的作圖能力才是關(guān)鍵，并且本題的這個(gè)作圖要求完全符合課程標(biāo)準(zhǔn)里對(duì)學(xué)生作圖能力的要求。

四、中考分析

安徽往年的中考作圖題一直比較青睞網(wǎng)格作圖，如圖形的平移、對(duì)稱、位似等，比較簡(jiǎn)單，其實(shí)并沒有最大限度地發(fā)揮網(wǎng)格的特點(diǎn)。應(yīng)該說網(wǎng)格作圖能夠保留圖形自身的幾何特性，網(wǎng)格自身的位置及數(shù)量的特殊性又賦予了圖形一些特殊關(guān)系，進(jìn)而使幾何圖形的性質(zhì)得以特殊化、數(shù)量化。在構(gòu)圖時(shí)網(wǎng)格中的格點(diǎn)，提高了解題的靈活性和創(chuàng)造性，給了學(xué)生多角度探究的空間。因此，網(wǎng)格作圖題目的設(shè)計(jì)還有很大的挖掘空間。而尺規(guī)作圖，安徽中考在2018年首次考查，可謂一石激起千層浪，終于使得尺規(guī)作圖進(jìn)入了一線教師們的視野。但是縱觀全國(guó)其他地區(qū)的中考，早已涉及無刻度直尺作圖。這些命題的變化透露出來的信息對(duì)于一線教學(xué)都具有一定的意義。

筆者梳理了2019年各地中考對(duì)幾何作圖的考查情況，有的簡(jiǎn)單直接，有的含蓄委婉，可謂是推陳出新、精彩紛呈。下面是筆者作的一些簡(jiǎn)單梳理。

（一）直接考查五種基本尺規(guī)作圖

記憶基本尺規(guī)作圖方法即可，一般要求學(xué)生保留作圖痕跡，不要求寫作法。典型試題有2019年江蘇泰州中考第20題、2019年江蘇鹽城中考第21題。

（二）無指定工具要求的作圖

一般為網(wǎng)格作圖，但不再停留在基本圖形變換上，需要學(xué)生借助于已有的知識(shí)進(jìn)行分析思考再加工。比如2019年安徽中考第16題、2019年浙江金華中考第20題。

（三）限制只能使用無刻度直尺作圖

要求僅用無刻度直尺作圖，每一步作圖都應(yīng)遵循“兩點(diǎn)確定一條直線”原理，是中考考查重點(diǎn)和熱點(diǎn)，涌現(xiàn)了許多新題型。比如2019年浙江嘉興、舟山中考第20題，2019年江蘇無錫中考第26題，2019年天津中考第18題，2019年湖北武漢中考第20題，2019年江西中考第15題。

（四）需要自己畫圖的幾何題

題目設(shè)計(jì)時(shí)不提供圖形，或者是圖形不確定、是變化的，則需要學(xué)生繪制直觀的圖形來尋找解題途徑。比如2019年四川綿陽中考第17、18題，2019年江蘇南京中考第16題等。

五、個(gè)人思考

2019年11月29日，教育部宣布取消初中學(xué)業(yè)水平考試大綱，安徽地區(qū)的師生們也將面臨無考綱備考的挑戰(zhàn)。那么，沒有考綱的我們?nèi)绾螒?yīng)對(duì)幾何作圖這部分的教學(xué)呢？

首先，回歸課標(biāo)。

在課程標(biāo)準(zhǔn)里并沒有詳細(xì)羅列如何進(jìn)行幾何作圖的教學(xué)，但是課程標(biāo)準(zhǔn)告訴我們數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)。總結(jié)課程標(biāo)準(zhǔn)中對(duì)尺規(guī)作圖的要求，那就是“會(huì)做”和“明理”。

要想“明理”，在教學(xué)中就不能把尺規(guī)作圖作為一種技能去教，學(xué)生不僅要理解凝結(jié)在作圖中的數(shù)學(xué)邏輯和思維脈絡(luò)，還要在此基礎(chǔ)上自主探究畫法。比如“角平分線的尺規(guī)作圖”，很多教師認(rèn)為這沒什么需要探究的，讓學(xué)生直接學(xué)習(xí)作法更高效，殊不知這種看似高效的做法恰恰跳過了最重要的思維提升良機(jī)。

筆者在教學(xué)時(shí)就通過一些問題引導(dǎo)學(xué)生開動(dòng)腦筋，讓學(xué)生自己思考解決問題的辦法，過程如下：

問題1：∠AOB的平分線是什么圖形？

問題2：怎么確定一條射線？

問題3：這條射線有什么特別的性質(zhì)？

問題4：根據(jù)我們的經(jīng)驗(yàn)，在怎樣的條件下會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)相等的角？

問題5：怎樣創(chuàng)造想要的條件？

學(xué)生通過合作交流，很容易想到以O(shè)為圓心、任意長(zhǎng)為半徑畫弧，從而構(gòu)造以∠AOB的頂點(diǎn)O為頂角頂點(diǎn)的等腰三角形OMN（如圖5），然后作MN的中點(diǎn)，就可以利用三線合一找到角的平分線。

問題6：怎樣用尺規(guī)作圖找到MN的中點(diǎn)？

學(xué)生很快想到作MN的中垂線即可（如圖6）。然后筆者和學(xué)生一起簡(jiǎn)化了過程，C、D兩點(diǎn)只需作出圖中交點(diǎn)C即可。

筆者認(rèn)為經(jīng)過這樣的思考，學(xué)生能夠深刻理解凝結(jié)在作圖中的數(shù)學(xué)邏輯和思維脈絡(luò)，可以“明理”。

其次，回歸課本。

滬科版的教材很重視幾何作圖的滲透。教師只要仔細(xì)研究，就會(huì)發(fā)現(xiàn)很多幾何作圖教學(xué)的好機(jī)會(huì)。

例如，在八年級(jí)上冊(cè)第14章《全等三角形》中，就經(jīng)常需要作圖。在探究三角形全等判定方法初始，教材里安排的“操作”，就是通過簡(jiǎn)單的工具作圖，明確“只給定三角形的一個(gè)或兩個(gè)元素不能完全確定一個(gè)三角形的形狀、大小”。而接下來所有判定方法的得出都是以尺規(guī)作圖“探究”引入的。筆者在進(jìn)行這部分內(nèi)容的教學(xué)時(shí)，并不急于告知學(xué)生判定方法，而是讓學(xué)生逐個(gè)作圖。這部分即課標(biāo)中的要求“用基本作圖完成已知三邊、兩邊及其夾角、兩角及其夾邊作三角形”。學(xué)生通過作圖也加深了對(duì)“邊邊角”不能證明全等的理解。因此，第14章《全等三角形》不單單是學(xué)習(xí)三角形的全等判定，更重要的是也完成了對(duì)尺規(guī)作圖基本方法的再次練習(xí)。再比如八年級(jí)下冊(cè)第19章《四邊形》中，平行四邊形的判定定理2、3也都是利用尺規(guī)作圖的方法獲得的。課后習(xí)題19.2也有諸多練習(xí)是需要作圖輔助解決的。教師一定要充分挖掘教材，將知識(shí)串聯(lián)起來，站在更高的高度教學(xué)。

最后，回歸課堂。

數(shù)學(xué)課堂一定是有思維深度的課堂。隨著教育教學(xué)改革的深入發(fā)展，以及核心素養(yǎng)理念的提出，對(duì)學(xué)生思維能力的培養(yǎng)愈發(fā)受到廣泛的關(guān)注。數(shù)學(xué)課堂更應(yīng)該關(guān)注思維教學(xué)，使學(xué)生的思維運(yùn)作方式產(chǎn)生結(jié)構(gòu)性變化，思維結(jié)構(gòu)得以優(yōu)化，從而形成良好的思維品質(zhì)。像文中提到的2019年各地中考考查的無刻度直尺作圖，它是不可能依靠大量的題海戰(zhàn)術(shù)解決的。教師只有立足關(guān)注思維的數(shù)學(xué)課堂，才能提高教學(xué)的效率，使學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光看世界，用數(shù)學(xué)的思考方法解決問題。

以上是筆者的一些粗淺之見，期待和大家交流。