結合坐標變換的GM(1，1)模型及其變形預測應用

邱 利 軍，張 波，周 占 學，張 京 奎

(1.河北建筑工程學院，河北 張家口 075000； 2.河北省土木工程診斷、改造與抗災重點實驗室，河北 張家口 075000； 3.中國電子科技集團公司第54 研究所，河北 石家莊 0500813)

建筑物在施工建設過程中需要進行變形監測以觀測其變形狀態，同時確保其建設期間的安全，該項工作一般會延續至運營期間。在獲得變形數據后，變形分析則顯得尤為重要，而變形預測是變形分析的一項重要內容。精確的變形預測能夠對后期變形量有準確的判斷，并對可能發生的危險情況提前制定應對策略，以避免危險發生，從而達到降低損失的目的。常用的變形預測方法有回歸分析法、時間序列分析法、灰色系統分析模型、神經網絡模型等[1]。由我國鄧聚龍教授所提出的GM(1，1)模型是灰色系統理論的基本模型[2]，其“小樣本、貧信息”的建模特點能夠做到建模預測的及時性。GM(1，1)模型在變形數據預測領域的應用研究與實踐已經展開，并取得了諸多成果。其中，王艷艷[3]等、王朝陽[4]等結合工程實踐分別針對傳統均值GM(1，1)模型和新陳代謝GM(1，1)模型進行了應用研究。而由于模型建模存在優勢建模維數，因此選取合適的等維或非等維優勢建模維數對GM(1，1)模型進行改進能夠提高建模預測的精度[5-7]；同時，由于傳統GM(1，1)模型在建模機理上存在固有缺陷，因此，從初始值選取[8-9]、背景值重構[10-11]、光滑比優化等[12-14]一個或多個方面對其進行改進，能夠提高預測精度。文建華[15]等采用函數對原始數據進行數據重構以剔除原數據中干擾因子；蔡小輝[16]等通過分解原始序列以提取單調序列，從而建立GM(1，1)模型進行變形預測；高寧[17]等引入半參數理論構建滑坡半參數GM(1，1)模型；胡華[18]等則以摩擦學理論為基礎推導出邊坡演化的非線性動力學模型，結合灰色系統理論構建了以速率為參量的GM(1，1)模型并應用于滑坡時間預測。而針對數據序列波動頻繁等復雜數據預測問題，許多學者采用人工神經網絡模型、灰色馬爾科夫模型、自回歸模型、Kalman濾波等與GM(1，1)模型組合進行組合預測研究，取得了較好的效果[19-20]。

但是在傳統GM(1，1)模型、原始數據變換改進的GM(1，1)模型[21-23]以及基于建模機理缺陷改進的GM(1，1)模型中，其本質依然是指數函數預測，無論擬合精度多高，建模序列的一次累加序列和擬合函數序列在后期依然出現相近、相交或相離的趨勢，并不重合[24-26]。基于這種情況，提出采用平面坐標變換的方法對模型進行了改進，并以實測變形數據進行預測驗證。

1 結合坐標變換的GM(1，1)模型

設原始數據序列為非負離散序列X(0)=(x(0)(1)，x(0)(2)，…，x(0)(n))，X(1)=(x(1)(1)，x(1)(2)，…，x(1)(n))是X(0)的1-AGO序列，那么X(1)的緊鄰均值生成序列是Z(1)=(z(1)(2)，z(1)(3)，…，z(1)(n))。則GM(1，1)模型為

x(0)(k)+az(1)(k)=b

(1)

(2)

式(2) 稱為式(1) 的白化方程。

用最小二乘法可求解得：

(3)

(4)

式(4) 即為X(1)序列預測公式；若k+1≤n，即為擬合值；若k+1>n，即為預測值。

(5)

若Δ>0，公式(4) 的計算值則下移，反之，則上移。平移后公式為

(6)

arctan[x(1)(n)-x(1)(n-1)]

(7)

若θ>0，則平移后進行順時針旋轉；若θ<0，則在平移后進行逆時針旋轉。

(3) 計算旋轉后坐標。坐標系中任一點(x，y)可繞點(x0，y0)旋轉θ角，得到新的坐標點(x′，y′)，其對應轉換公式為

(8)

(9)

注意，若n+i>xn+m，則以對應的xn+m-1和xn+m兩點連線延長線上的值為預測值。

對得到的預測序列累減還原，即可得到建模序列X(0)的m期預測序列。若序列建模前進行了預處理，則需要進行反向還原處理。

模型原理如圖1所示，建模序列與擬合序列對應的第n個值以及第n-1個值所構成折線段趨勢可能是相近(圖1中n=5，n-1=4)、相交(圖1中n=6，n-1=5)、相離(圖1中n=7，n-1=6)的趨勢，平移使得第n個值重合(圖中采用n=6示意)，計算夾角并進行繞點旋轉的坐標變換，然后取橫軸為定值時旋轉后折線上對應的縱坐標值作為一次累加序列預測值(圖1中虛線與旋轉后折線交點)。由圖1可知，旋轉變換會導致擬合序列部分數據誤差較大，但由于建模序列為已知序列，僅考慮預測階段序列，則改進方法達到了提高預測序列精度的目的。需要說明的是：繞點旋轉不改變旋轉點至基準點(已知一次累加序列最后一項)的長度，圖中長度不等是由于縱橫坐標軸比例尺不同所致。

圖1 模型原理示意Fig.1 Schematic diagram of model principle

2 工程實例

采用大壩沉降觀測數據和基坑沉降觀測數據進行算法驗證，算法采用C#編程實現，中間變量均采用雙精度(double)型數據，最后數據四舍五入取至小數點后兩位。并采用4種不同模型對原始數據序列進行建模預測，以進行比較分析。所采用的模型如下：模型1，均值GM(1，1)模型；模型2，結合坐標變換的均值GM(1，1)模型；模型3，ln(x+c)預處理后均值GM(1，1)模型；模型4，ln(x+c)預處理后再結合坐標變換的GM(1，1)模型。

實例1：取陸渾水庫大壩壩頂P29測點11期沉降變形觀測數據[5-6]，采用上述4種模型，以前9期數據作為原始序列進行建模，預測第10期和第11期數據。前9期實測建模數據序列如表1所列，后兩期的預測數據與實測值及原文獻方法的預測值如表2所列；后兩期預測數據與原文獻方法預測值的相對誤差如表3所列。

表1 實測建模數據序列值Tab.1 Sequence value of measured modeling data mm

表2 不同模型的預測值Tab.2 The predicted values by different models mm

由表2和表3可知：模型4的預測結果最好，其相對誤差最小，僅為0.11%；模型2的預測精度次之，相對誤差最大為0.16%；將模型1和模型2～4分別比較，可知坐標變換對模型預測精度有明顯提高。4種模型自第9～11期的預測(第9期已知)與實測曲線如圖2所示。

表3 不同模型預測值的相對誤差Tab.3 The relative error of models’ predicted values %

圖2 不同模型建模預測曲線Fig.2 The predicted curves by different models

由圖2可知，坐標變換過程是對模型1以及模型3預測值沿縱向向實測值的趨近和校正。

實例2：采用某基坑監測單個沉降觀測點10期實測累計沉降數據[10]，利用上述4種模型，以前7期數據作為原始序列進行建模，預測第8～10期數據。前7期實測建模數據序列如表4所列，后3期預測數據與實測值如表5所示；后3期預測數據的相對誤差如表6所示。

表4 某基坑實測建模數據序列值Tab.4 Sequence value of measured modeling data of a pit mm

表5 算例2不同模型的預測值Tab.5 The predicted values of case 2 by different models mm

分析表5和表6可知：模型4的預測結果最好，其相對誤差均在0.4%以下；模型3的預測精度次之，其相對誤差在0.5%～3.5%之間；分別比較模型1和模型2～4，可知坐標變換對模型預測精度提高明顯。4種模型自第7期至第10期預測(第7期為已知值)結果與實測曲線對比見圖3。

由圖3可明顯發現：坐標變換過程雖然是對模型1及模型3預測值沿縱向向實測值的趨近和校正，但是可能出現圖3中模型1與模型2的情況，即變換前后兩條預測曲線分別位于實測曲線上方和下方，其原因在于以前期實測值與擬合值之間的夾角代替后期待測值與預測值之間的夾角誤差較大，導致校正過大。

表6 不同模型預測值的相對誤差Tab.6 The relative error of models’ predicted values %

圖3 算例2不同模型建模預測曲線Fig.3 The predicted curve of case 2 by different models

綜合實例1及實例2可知，坐標變換后模型能夠提高原模型精度，其與ln(x+c)變換提高精度的原理不同，兩者對精度提高的大小取決于原始已知序列，并不能單獨認為某項改進較另一改進預測精度高，同時采用ln(x+c)變換和坐標變換的方法，會得到比單一改進方法更高的預測精度。而ln(x+c)變換與坐標變換組合改進模型的最終精度取決于變量c能否取到較佳的估值。上述實例1所取c為40，而實例2所取c值為5.7。

3 結 論

本文針對傳統GM(1，1)模型的一次累加序列預測函數與實測累加序列存在趨勢偏差這一情況，提出采用平面坐標變換的方式對模型進行改進，以此來提高預測精度。同時以實測變形監測數據來驗證改進模型的精度，并對多種不同模型預測結果進行對比分析，得到以下結論：① 坐標變換的改進模型精度較高，適用于短期變形預測，具有一定的工程實踐應用價值；② 該方法對本質為指數函數擬合預測的GM(1，1)系列模型具有適用性；③ 該方法依然需要滿足GM(1，1)模型建模序列要求，即序列近似指數增長，存在適用條件限制，對不滿足建模條件的序列需要對原始序列進行預處理；④ 由于本質為指數函數預測，因此在處理頻繁波動等復雜數據情況下難以獨自進行，需要與其它模型進行組合處理；⑤ 坐標旋轉變換的方法也可以向其它單一趨勢外推預測模型推廣。