場效應放大樣品堆積行為仿真

龔晨， 梁斯佳， 周建光

(浙江大學 浙江大學智能系統與控制研究所， 浙江 杭州 310027)

將毛細管電泳小型化為平面微流控芯片具有分析時間短、樣品量減少和電導率提高等多種優勢，芯片上電泳的一個缺點是微通道的深度較小，約為10 μm，導致檢測路徑更短。與常規電泳相比，會降低片上電泳的檢測靈敏度。通過將電泳分離與在線樣品預富集方法[1]結合使用，可以大大提高檢測靈敏度，如場效應放大的樣品堆疊(FASS)[2-5]、離子濃度差極化(ICP)[6-9]和pH梯度聚焦[10]。在各種樣品預富集方法中，FASS由于其簡單性和易于實施性而最受歡迎。在FASS中，通過創建高濃度和低濃度電解質的相鄰區域來建立背景電解質的電導率梯度。首先將樣品分析物混入低電導率的背景電解質中。施加電場后，分析物會從低電導率區域遷移到高電導率區域，從而在整個電導率梯度上遷移。電導率梯度會在本地電場中建立一個梯度，與低電導率區域相比，這會導致分析物在高電導率區域(由于較低的局部電場)而緩慢遷移。電遷移速度的這種差異會導致分析物堆積在高電導率區域中。通常，在FASS中，堆積前后的分析物濃度明顯小于背景電解質種類的濃度，因此，分析物不會影響電導率梯度。因此，如果pH和離子強度[11]對電解液的電泳遷移率的影響是，理想的濃度增加等于高電導率電解質和低電導率樣品的電導率之比。實驗證明，FASS可使片上電泳的檢測靈敏度提高1 000倍[12]。在理論上，如果沒有分子擴散和不均勻的流體流動，則FASS中的樣品分析物遷移到高電導率區域后會立即達到其最大允許濃度。此后，堆積的分析物區的前導前沿進一步遷移到高電導率區，而初始電導率梯度保持穩定。實際上，FASS中的分析物需要有限的時間才能達到最大濃度。這是因為初始的電導率梯度和堆積的樣品區分別由于背景電解質種類和分析物的擴散而變寬，這限制了堆積的分析物達到其最大允許濃度的速率。本文基于理論比例分析，數值模擬了芯片上樣品堆疊實驗，闡明了FASS中的富集現象。根據軸向擴散還是對流擴散主導峰展寬，確定了2種不同的樣品疊加方案。首先在FASS中介紹相關的時長和時標，然后使用這些特征長度和時間標度以無量綱形式表示峰濃度和寬度的依賴性。接下來，在存在EOF的情況下，使用芯片上FASS的多維數值模擬驗證了理論富集分析。再Comsol中進行有限元求解，得到了芯片上的電流、電導率、富集倍數等結果并進行分析。

1 場放大樣品堆疊理論仿真

1.1 問題描述

考慮在濕法蝕刻的具有D形橫截面的玻璃微通道中的單個陰離子分析物的FASS。微通道的寬度和中心線深度分別為w和d，假設微通道較淺(d?w)。最初，在高電導率電解質區和低電導率樣品區之間建立了一個尖銳的不連續邊界，如圖1(a)所示。高、低電導率電解質由陰離子和陽離子背景電解質組成，即背景電解質是二元電解質。與低電導率電解質混合的陰離子分析物c0的初始濃度被認為明顯小于背景電解質種類的濃度，以使分析物的遷移不會影響局部電導率。在t=0時，施加了從高電導率電解質指向低電導率樣品區域的電場。這導致帶負電荷的分析物離子堆積在高電導率區和低電導率區之間的界面附近。外部電場還沿與分析物離子運動相反的方向驅動EOF，如圖1(b)所示。電導率的梯度導致局部電場和電滲滑移速度的梯度。EOF的這種不匹配會導致內部壓力梯度，從而驅動不均勻的壓力驅動流。高電導率區和低電導率區的速度分布圖如圖1(b)所示。如果EOF速度的幅度高于分析物的電遷移速度，則堆積的分析物將沿EOF方向向下游對流。分隔高電導率區域和低電導率區域的界面也與EOF一起對流。除非表面傳導占主導，否則二元電解質中的梯度不會電遷移[13-15]。在FASS中，分析物在高電導率區域和低電導率區域中的不同電遷移速度是造成堆積的原因。另一方面，分析物的分子擴散和對流擴散以及電導率場的作用是分散堆疊區域并降低預濃縮水平。如圖1所示，在這里考慮一個半無限樣品區，分析物隨時間不斷堆積，峰寬隨時間連續增加。堆積的區域達到其最大濃度，此后堆積的唯一效果是堆積分析物區域的寬度增加。

圖1 存在EOF時在單個通道中的FASSFig.1 Schematic showing FASS in a single channel in the presence of EOF

1.2 FASS中的時長和時標

從理論上描述FASS過程動力學的一種方法是使用3-D對流-電遷移-擴散方程式以及適當的初始條件和邊界條件。除了這些守恒定律外，還需要用酸堿平衡和離子強度校正方程來模擬pH和離子強度對離子種類的有效遷移率和擴散率的影響。為了專注于FASS的基本物理學，而不必深入研究電解質化學，在理論分析中，認為離子物種的遷移率和擴散率是恒定的。當物質被完全電離或電解質得到良好緩沖時，這是一個合理的假設。

首先，在FASS過程中查看相關的長度和時間尺度，如圖1所示。在當前問題中，通道寬度ω和深度d是2個明顯的長度尺度。因為假設深度明顯小于寬度，所以由于在短時間范圍d2/D內分子的快速擴散，沿深度的物種濃度的任何變化都會迅速減小，其中D表示分析物的擴散率。因此，深度d不會影響樣品堆積的動力學，此后在尺寸分析中就不會考慮深度。在當前問題中，軸向上沒有外部長度尺度，因為初始界面將高和低電導率的半無限區域分開很尖銳。但是，存在一個固有的軸向長度標度與樣品堆積現象有關，這是由于電遷移和擴散通量之間的平衡引起的：

(1)

式中：c表示分析物濃度；E是電場；x是軸向坐標；μ和D分別為去注意分析物的電泳遷移率和擴散率。由于分析物遷移高到電導率區域，等式(1)中電場的相關標度是高導電區，用EH表示。如果與高導電區的長度相比，低導電率的樣品區的長度是顯著變大，則在樣品區EL的電場幾乎等于在通道施加的平均電場，即ES≈E。在這種情況下，由于電流的連續性決定EH≈/γ，因此高導電區中的電場可以近似為σHEH=σLEL。σH和σL是高和低電導率區的電導率，γ=σH/σL。接下來，使用式(1)可以得到固有長度尺度δ：

(2)

式中：擴散率與能譜性的關系是通過能斯特-愛因斯坦方程D=μkT/(ze)建立，其中z是化合價數，kT/e=25.7 mV是溫度T=298 K時的熱電壓。因此，長度標尺δ可以替代地解釋為高導電區中熱電壓與局部電場的比值。樣品堆疊的固有時間標度τs可以用長度δ表示為：

(3)

該時間尺度可以解釋為分析物在長度δ上擴散的時間尺度。由于電遷移和擴散通量的平衡，τs也對應于在整個長度δ上進行電遷移所需的時間。分析物在通道寬度上擴散的時間標度為τd=ω2/D,通過電遷移使距離ω移動的時間為τem=μEOFE。除了τd，還有另一個擴散時間尺度τbg=ω2/Dσ,對應于電導率場的擴散。對于二元電解質，有效擴散系數為Dσ=D+D-(z+-z-)/(z+D+-z-D-)，其中z±和D±表示陰離子和陽離子的化合價和擴散率。通常分析物和背景電解質種類的擴散度處于相同的數量級，τd和τbg的也是如此。為了獲得對應于非均勻EOF的時間尺度，定義通道中的平均EOF速度為μEOFE，EOF是通道表面的電滲運動，E是平均電場。高電導率區域(μEOFE(γ-1))驅動強烈的壓力驅動流，從而導致樣品分散。因此，由于不均勻的EOF而導致對流擴散的時間尺度可作為τEOF=ωγ/E(γ-1)。可以注意到，電場和電導率梯度的耦合會導致電粘性流，這具有相關的電粘性時間標度。在這里忽略電粘性時間標度，基于各種長度和時間尺度，現在在2個極限中描述FASS的動力學：當軸向擴散主導對流擴散時和當對流擴散主導軸向擴散時。

1.3 擴散主導型

擴散和對流的相對重要性可以用Peclet數Pe來描述，其定義為擴散和對流時間尺度的比率Pe≡τd/τEOF=(γ-1)μEOFEω/(γD)。從泰勒色散分析中得知，對流擴散僅出現在10以上的Peclet數之上,因此在低Peclet數下，可以忽略EOF對峰濃度和峰寬的影響。在這種以擴散為主的體系中，EOF的唯一作用是對流下游的堆疊的分析物區域。當可以忽略對流擴散時，沿著通道軸線的堆疊過程可以被認為是基本上一維的。因此，FASS的動力學僅取決于固有長度尺度(由式(2)定義)，而不取決于通道寬度ω。類似地，依賴于ω的時間尺度在以擴散為主的體系中是不相關的，并且唯一相關的時間尺度是τs，峰值濃度用cmax和FWHM表示為：

(4)

式中：c0是初始分析物濃度。在這些無量綱關系中，通過選擇電解質化學性質和樣品分析物來固定參數Dσ/D。

無量綱峰濃度和寬度的確切函數依賴性只能通過數值模擬或實驗來確定。可以進一步簡化式(4)，對于給定的Dσ/D，峰值濃度和寬度的時間增長率主要由時間標度τs決定，電導率的唯一其他影響是γ，可以簡化式(4)中Dσ/D為固定的值：

(5)

在實際試驗中，由于有限的通道長度可用于在微流體裝置上進行預濃縮，因此重要的是要考慮峰濃度和峰寬作為堆積峰x軸向位置的函數。堆疊峰主要是由于EOFx≈μEOFEt遷移，即t/τs=xμ2E/(μEOFγ2D)。由于高遷移率區域中被分析物的電泳速度小，因此忽略了由于電遷移導致的峰最大值遷移。所以式(5)可以用峰位置x表示為：

(6)

由于f是單調遞增函數，因此該方程式表明，在給定的軸向峰值位置x處，較高電場下的預濃縮效率較高。另一方面，在給定位置x處的峰寬l對電場的依賴性很弱，如式(6)表明，在高E處函數g的較高值被1/E取反。因此，以擴散為主的狀態中增加電場會在固定的通道位置處產生更高的集中度，而峰寬沒有任何顯著變化。

1.4 對流主導型

在高電場下，不均勻的EOF導致堆疊峰的嚴重對流擴散。這種情況對應于的大Peclet數(γ-1)μEOFEω/(γD)?1。在短時間內(t?ω2/D)，對流擴散建立了很強的橫向濃度梯度。隨后，隨著時間尺度的變化，τd=ω2/D，由于沿通道寬度的分子擴散，橫向濃度梯度減小。在芯片上的FASS中，預濃縮時間通常很短，以至于永遠不會建立長期的泰勒色散狀態(t?ω2/D)。因此，這里僅關注以強橫向濃度梯度為特征的短時限。盡管堆積分析物的濃度在橫向方向上有顯著變化，但更關心面積平均濃度，這是因為電泳中的檢測方法(例如熒光、紫外線和電導率檢測)所提供的信號取決于檢測區域內的平均濃度。

在對流占優的情況下，由于強的橫向濃度梯度，相關的長度尺度為通道寬度ω。在這種情況下，重要的時間尺度是τEOF=ωγ/(μEOFE(γ-1))，對應于不均勻的EOF，這是導致堆積的分析物峰分散的原因。從維度分析中，可以表示成：

同時，《指導意見》提出要從10個方面強化各項到村到戶到人的精準幫扶舉措，包括：加大產業扶貧力度，全力推進就業扶貧，深入推動易地扶貧搬遷，加強生態扶貧，著力實施教育脫貧攻堅行動，深入實施健康扶貧工程，加快推進農村危房改造，強化綜合性保障扶貧，開展貧困殘疾人脫貧行動，開展扶貧扶志行動。

(7)

式中：cmax是堆積峰的最大面積平均濃度,面積平均濃度的FWHM可以用無量綱形式描述為：

(8)

同樣，在這些方程式中，Dσ/D由背景電解質和分析物的選擇決定。在實驗過程中，電泳遷移率與電滲遷移率的比率μ/μEOF不能改變，因為它取決于背景電解質和微通道底物的選擇。此外，可以忽略式(7)和(8)中Peclet數Pe的依賴性。在實際實驗情況下，Pe?1及其絕對值可能不會影響短時間內FASS的動電力學。最后，還排除了無因次濃度和峰寬對電導率γ的依賴性，因為它的影響已經在EOF中得到了考慮。由于分析物的堆積導致峰濃度和峰寬增大，因此cmaxl～μEc0t。在短時間內以對流為主的區域中，峰寬l由非均勻EOF引起的對流擴散控制，因此峰濃度也取決于非均勻EOF的時間尺度。除了產生不均勻的EOF以外，峰值濃度和寬度對電導率γ的也沒有影響。由于Dσ/D和μ/μEOF的固定值，可以簡化式(7)和(8)為：

(9)

2 數值設定與模型設定

2.1 數學模型

本節描述了用于模擬單個分析物在微通道高、低電導區界面處樣品堆積的控制方程。使用這些控制方程在COMSOL中進行數值模擬。帶電分析物的濃度c由平流電遷移擴散方程模擬：

(10)

式中:D表示擴散系數;電泳遷移率;E表示電場;u表示流體速度。電泳遷移率μ和擴散率D與能斯特-愛因斯坦方程D=μkT/ze有關，其中k是玻爾茲曼常數;z是離子價;e是質子電荷;T是溫度。背景電解液假定為二元電解液。在FASS中，分析物的濃度明顯小于背景電解質離子的濃度。因此，二元電解液的電導率可以模擬為：

(11)

式中：σ表示電解液的局部電導率。對于二元電解液，有效擴散系數由(Dσ=D+D-(z+-z-)/(z+D+-z-D-)來給出，其中z±和D±分別表示背景電解液的陰離子和陽離子的價和擴散系數。電場E是準靜態的，因此可以引入電勢φ:

E=-φ

(12)

根據歐姆定律，局部電場依賴于局部電導率σ:

·(σE)=0

(13)

·u=0

(14)

以及Navier-Stokes方程：

(15)

式中：ρ表示流體的密度；p表示壓力；η表示流體的動態粘度。

2.2 幾何模型

模擬區域是一個二維條形通道，如圖2所示，由5 mm長的左側通道和35 mm長的右側通道組成。通道的寬度為50 μm。最初，右側通道充滿低導電性電解液，右側通道充滿高導電性電解液。在接合處的高導電區和低導電區之間存在明顯的梯度，樣品分析物在低電導率電解質中混合。低電導區的分析物濃度為1 μM，在兩側施加電壓，將右通道出口電位設為零，施加電場。

圖2 幾何模型圖Fig.2 Geometric model diagram

3 仿真求解與結果

3.1 求解

使用商業模擬軟件包COMSOL Multiphysics(版本5.4)進行了二維數值模擬。使用COMSOL內置的電場、流體場、分析物濃度場和偏微分方程(PDE)構建的電導率場，在COMSOL中實現了耦合仿真。通過設定邊界條件，利用式(11)和“稀釋物種遷移”模塊對電導率場進行了建模。方程((13)連同方程(12))和方程(10)使用“系數形式PDE”模塊求解。模擬流體流動使用方程式。式(14)和(15)用COMSOL的“層流”模塊求解。采用多前額大規模并行稀疏直接解算器(MUMPS)，每個模擬有1 066 058個自由度。模擬時間為10 s，每0.5 s保存一次數據。為了處理樣品堆積過程中出現的濃度梯度，絕對公差降低到10-5，在樣本堆積區域使用高分辨率(Δx=Δy=0.002 mm)的Mapped(矩形)網格單元。

3.2 仿真結果

經Comsol軟件有限元求解后，得到下圖結果，可以看到在芯片上漸漸形成了一塊高濃度的樣品富集區域，隨著時間變化富集區域漸漸向右側推進，且富集帶逐漸變寬，富集的樣品逐漸增多。

圖3 仿真結果Fig.3 Simulation result

圖4 仿真過程中的動態截圖Fig.4 Dynamic screenshot during simulation

同時對應得到不同時刻芯片不同位置上樣品濃度隨時間變化的曲線，可以看到隨時間變化芯片上不同位置的樣品濃度(每時刻y=1上方的積分)逐漸增加，在10 s時達到最大。

圖5 樣品濃度在芯片不同位置的濃度變化Fig.5 Concentration change of sample concentration at different positions of the chip

得到芯片上電流分布圖，可以看到電流在片上某一段會有很大通量，這個結果可以很好地解釋實際試驗時通電時間長造成的芯片某段被灼燒的現象產生原因。

3.3 擴散與對流主導

在低Pe值情況下，控制其他條件不變，只改變施加在兩側的電壓強度，得到了圖7的結果。表明在擴散占主導地位的系統中，電場的增加產生會導致濃度增強。當不受抑制時，高、低電導率區的局部電致滑移速度的匹配導致不均勻流動，從而導致堆積分析物不必要的對流擴散。在預濃縮時間通常較短的芯片上FASS中，緩慢的分子擴散不能減小非均勻流動產生的橫向濃度梯度。對流占優的情況下，疊加的動力學完全由非均勻EOF的時間尺度控制τEOF=ωγ/(μEOFE(γ-1))。對于這種富集，即使更高的電場導致更快的堆疊，峰值濃度的固定軸向位置的堆積電場也是獨立。

圖6 芯片上電流分布圖Fig.6 Current distribution on the chip

圖7 不同電壓條件下的富集倍數曲線Fig.7 Curves of enrichment multiples under different voltage conditions

4 結論

1)自主構建了耦合多物理場(電勢場、電導率場、流體場、分析物濃度場)的FASS物理模型，并在COMSOL Multiphysics軟件上進行了仿真。

2)為了提高計算效率提出了跨數量級疏密空間與時間定標分析的仿真計算策略。

3)探索了FASS優化的條件，仿真結果表明可通過優化微納通道長度與富集時間，來控制分子擴散和對流擴散的影響，并獲得了較好分析物富集結果，富集倍比與電壓值呈正相關。

本研究可以為在微納通道中富集帶電分析物提供理論基礎。動電堆疊現象在實際的樣品預富集處理中往往應用于多孔纖維素膜中。受限于該材質中毛細通道的復雜性，在接下來的研究中可以進一步復雜化仿真模型，以求解更趨于應用中的富集現象。