以語言提升為載體，培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念
——《三角形的認(rèn)識》教學(xué)設(shè)計

文|方義倫

【教學(xué)內(nèi)容】

蘇教版四年級下冊第75、76 頁。

【教學(xué)目的】

1.在探索三角形特征的過程中，掌握三角形的特征，會畫三角形底邊上的高，并能運用所學(xué)知識解決有關(guān)實際問題。

2.在觀察、探索、交流等活動中，培養(yǎng)學(xué)生觀察、抽象、概括的能力，發(fā)展其數(shù)學(xué)思維。

3.感受數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，進一步激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

【教學(xué)重點】掌握三角形的特征，會畫指定邊上的高。

【教學(xué)難點】畫不同底邊上的高。

【教學(xué)過程】

一、在經(jīng)歷過程中理解三角形的概念

1.聯(lián)系生活，初步感知三角形。

師：新中國成立以來，發(fā)生了翻天覆地的變化，2018年10月24日正式通車的港珠澳大橋，連接香港、廣東珠海和澳門。它就是中國國家綜合國力體現(xiàn)的標(biāo)志性建筑。在這座大橋上就有我們今天要學(xué)習(xí)的老朋友——三角形。你能從圖中找出來嗎？指給你的同桌看一看。（出示圖片，教師指名學(xué)生上臺指一指）

師：生活中還有哪些地方見過三角形？（學(xué)生自由發(fā)言）

師：老師也找了一些生活中的三角形，一起來欣賞一下。為什么生活中有這么多三角形？看來這位老朋友身上有許多的奧秘需要我們一起去研究。從今天起，我們一起再次認(rèn)識這位老朋友。（板書課題）

【設(shè)計意圖：本課從欣賞港珠澳大橋開始，培養(yǎng)學(xué)生的民族自豪感。同時在這樣偉大的建筑中去發(fā)現(xiàn)三角形，體會三角形的重要性。學(xué)生指一指大橋中的三角形、說一說生活中的三角形以及教師給出補充的三角形素材，喚醒了學(xué)生內(nèi)心深處三角形的表象，為后面理解三角形的概念做好了認(rèn)知上的鋪墊。】

2.對比辨析，掌握三角形的內(nèi)涵。

師：同學(xué)們想一想三角形在你的心目中是什么樣子的？想好了在作業(yè)紙上畫一畫。

師：你們畫得非常好，老師也想畫一畫。誰來告訴我該怎么畫？

生：先畫三個點，再畫三條線。

師：是這樣嗎？（如圖1）

圖1

生：不對！三條線必須是直的。

師：直直的線。我們認(rèn)識了直線、射線和線段，你指的是什么？

生：三條線段。

師：大家同意嗎？老師把它記下來。（板書：三條線段）

師：是這樣嗎？（如圖2）

圖2

生：不對，應(yīng)該是連起來的。第三條線段必須和第一條線段連起來。

（教師指名學(xué)生上臺指一指）

生：線段有兩個端點，第一條線段的一個端點和第二條線段的一個端點相連，第二條線段的另一個端點和第三條線段的一個端點連起來，第三條線段的另一個端點和第一條的另一個端點連起來。

師：我明白你的意思了。你是說每條線段的兩個端點分別是首和尾，第一條線段的尾點與第二條線段的首點連在一起，第二條線段的尾點與第三條線段的首點連在一起，第三條線段的尾點必須與第一條線段的首點連在一起。三條線段就這樣圍起來，是嗎？（全班同意）數(shù)學(xué)上我們稱為“首尾相接”。（教師板書）

師：現(xiàn)在你能說一說什么樣的圖形才叫三角形嗎？

生：三條線段首尾相接圍成的圖形叫做三角形。

（教師根據(jù)學(xué)生的發(fā)言完成板書，并再次指名說一說和同桌互說）

師：這里有一些圖形，哪些是三角形？哪些不是？為什么？

【設(shè)計意圖：學(xué)生對于三角形的描述表達方式是多樣的，而每種不同的表達體現(xiàn)了學(xué)生的幾何思維水平。學(xué)生一開始能夠根據(jù)生活中的三角形的表象用圖形語言畫出一個三角形，說明學(xué)生的思維停留在直觀認(rèn)識階段，他們還無法真正理解三角形的內(nèi)涵。通過學(xué)生教老師畫三角形，用學(xué)生畫出的正例和教師“故意”畫出的反例，讓學(xué)生自主辨析，充分認(rèn)知三角形的兩個重要內(nèi)涵：三條線段和首尾相接，并且引導(dǎo)學(xué)生用精準(zhǔn)的文字語言進行表達，從而讓學(xué)生的幾何思維發(fā)展水平達到了描述、分析階段，最后讓學(xué)生用三角形的概念去進行判斷，用數(shù)學(xué)眼光進行分析，固化了學(xué)生描述、分析的思維發(fā)展水平。】

3.觀察總結(jié)，歸納三角形的特征。

師：認(rèn)識一個圖形，還得知道它各部分的名稱（指著圖形）：圍成三角形的三條線段稱為三角形的邊，線段的端點稱為三角形的頂點，一個頂點和兩條邊形成三角形的一個角（手勢遮擋）。現(xiàn)在請在你的三角形中標(biāo)出邊、頂點、角，并且說一說有多少邊、頂點和角。

（學(xué)生獨立完成后上臺指一指、說一說）

（教師板書：三角形有3 條邊、3 個角和3 個頂點）

師：每條線段有2 個端點，三條線段不是應(yīng)該有6 個頂點嗎？

生：應(yīng)該有6 個頂點，但是三條線段首尾相連，每2 個端點會重合在一起，所以只有3 個頂點。

師：三角形有3 個頂點，那么是不是任意3 個點都能畫出一個三角形？方格紙中有4 個點（分別標(biāo)上A、B、C、D），任選3 個作為頂點，都能畫一個三角形嗎？試一試，你有什么發(fā)現(xiàn)？

（學(xué)生根據(jù)自己的操作發(fā)現(xiàn)B、C、D 在一條直線上不能畫出一個三角形：其他不在一條直線上的任意三個點都能畫出三角形）【設(shè)計意圖：在初中數(shù)學(xué)教材中，三角形被定義為“不在同一條直線上的三條線段首尾順次聯(lián)結(jié)所組成的圖形”。這一定義比小學(xué)數(shù)學(xué)教材給出的定義更加嚴(yán)密，強調(diào)了“不在同一條直線上”這個前提條件。如何讓小學(xué)生也能夠意識到這點呢？學(xué)生通過親自動手操作實驗、畫一畫，能夠感受到并且將這種體會清楚地表達出來。這樣的認(rèn)識說明學(xué)生的思維稍微涉及到形成抽象的思維發(fā)展水平，即能夠用文字語言完整地區(qū)分概念的必要條件和前提條件。】

二、直觀抽象，理解三角形的底和高

1.從具體實物認(rèn)識生活中高的內(nèi)涵。

師：（出示人字梁的建筑物圖片，圖略）這是建筑物上經(jīng)常使用到的人字梁，它能夠承載更重的物體，保證屋頂?shù)陌踩倓倧娜俗至荷衔覀冋J(rèn)識了老朋友——三角形，工人師傅想知道圖中人字梁的高度。應(yīng)該量哪條線段呢？同桌互相在學(xué)習(xí)材料上指一指，說一說理由。

生：（上臺指一指）應(yīng)該是這條線段，因為這個點最高，所以從這里開始。

師：有道理。最高的這個點在三角形中就是頂點。（板書：一個頂點）

師：（指著斜邊）為什么這條線段不行？

生：這里不是90°，說明這條邊和下面的邊不是互相垂直。

師：人字梁的高度不僅需要從最高點出發(fā)，還得符合一個什么條件？

生：從最高點出發(fā)的線段和這條線段互相垂直，是90°才可以。

師：這條線段就是這個頂點的對邊。什么樣的線段才能表示人字梁的高度呢？

生：當(dāng)然是中間這條線段，因為它符合兩個條件，一個是從最高點出發(fā)，一個是對邊的垂直線段。

師：人字梁的高度就是從它最上面的頂點到對邊的垂直線段。那這條線段是不是垂直于這條邊，請同學(xué)們用三角尺驗證一下。

（通過三角尺比一比，發(fā)現(xiàn)是90°，說明這條線段完全符合兩個條件，就是人字梁的高度。通過測量得出是2 厘米）

（教師將人字梁外框中的三角形抽象出來）

2.在幾何圖形中表達數(shù)學(xué)意義上高的內(nèi)涵。

師：你能嘗試著畫出三角形的高嗎？

（學(xué)生畫完之后，教師在學(xué)生的“引導(dǎo)下”，先找到最高的頂點和對邊，再用三角板畫出經(jīng)過頂點的對邊的垂直線段，最后標(biāo)出垂直標(biāo)志）

師：（課件隱去三角形另外兩條邊）你們有沒有發(fā)現(xiàn)這條線段就是之前我們學(xué)過的什么內(nèi)容？

生：過直線外一點畫直線的垂直線段。

師：掌聲送給他。這位同學(xué)一下子明白了這里的高就是四年級上冊學(xué)過的過直線外一點畫直線的垂直線段。特別溫馨提醒：這條線段一定要用虛線。

師：同學(xué)們不要小瞧了這條線段，它是三角形中非常重要的一個知識點——三角形的高。你們說一說什么樣的線段才是三角形的高呢？

生：符合兩個條件：必須經(jīng)過頂點，必須是向?qū)叜嫵龅拇怪本€段。

師：說得真好，一下子抓住了三角形高的主要特點，掌聲送給你們。在數(shù)學(xué)上，三角形的高就是從三角形的一個頂點到對邊的垂直線段。這條對邊就是三角形的底。請同學(xué)們標(biāo)直角標(biāo)志的同時寫出高和底。

師：對照一下你們的高畫對了嗎？有沒有標(biāo)注清楚？自己訂正。同桌互相說一說什么是三角形的底和高。

【設(shè)計意圖：三角形高的認(rèn)知是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點，它和生活中的高既有聯(lián)系又有區(qū)別，學(xué)生在認(rèn)識上會產(chǎn)生矛盾和沖突。正如鄭毓信教授所說：學(xué)生關(guān)于同一數(shù)學(xué)概念，內(nèi)在表征中的各個成分往往沒有構(gòu)成一個整體，在這些不同成分之間還常常存在一定的矛盾，特別是以前已建立的樸素的認(rèn)識，往往與概念的嚴(yán)格定義直接相矛盾。為此應(yīng)該充分利用學(xué)生先前樸素的認(rèn)識——人字梁的高度，挖掘?qū)W生認(rèn)識中的閃光點和價值所在，即從最高的頂點出發(fā)以及必須和底邊垂直，將學(xué)生的認(rèn)識進行提煉概括，上升為抽象的認(rèn)識水平，從而培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光看問題。同時從人字梁中抽象出三角形，并將人字梁的高畫出來，在此基礎(chǔ)上教師提出高和底的概念，學(xué)生的思維水平就會從具體形象思維向抽象概括思維進行提升，從而產(chǎn)生了高和底的真正認(rèn)知，這樣的深度真實學(xué)習(xí)得出的理解是深入骨髓的。】

3.在動手操作中掌握畫高的方法。

師：老師昨天把畫高的過程拍成了微課，請同學(xué)們看一看老師畫高一共分為幾個步驟？

（教師根據(jù)學(xué)生的回答分別板書“找、畫、標(biāo)”三個字）

師：這里有三個三角形，畫出底邊上的高。不明白的同學(xué)舉手示意。（學(xué)生獨立畫高后全班交流）

師：這三個三角形在畫高時有什么不一樣？

（教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)三條高的不同，第一個三角形的高和人字梁的高是一樣的；第二個三角形的高由于頂點在下面，高就畫在底的下面；第三個三角形是直角三角形，因此兩條邊分別是三角形的底和高。教師要求學(xué)生同桌互相指一指一副三角板上的底和高分別在哪里）

4.在拓展延伸中領(lǐng)悟高的內(nèi)涵。

師：三角形能畫出幾條高呢？猜一猜。

生：無數(shù)條高。

生：應(yīng)該有三條高。三角形有三個頂點，每個頂點向?qū)叾寄墚嫵鲆粭l高，三個頂點就能畫出三條高。

師：我們畫一畫，驗證一下對不對。（課件展示畫三條高的過程）你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：三角形能畫出三條高，并且三條高還相交在一個點上。

生：三角形的三條高和三個底是對應(yīng)的，不能搞亂了。

師：后面兩個三角形的三條高在哪里呢？課后可以組建學(xué)習(xí)小組一起畫一畫，研究研究，相信你一定會有大收獲。

【設(shè)計意圖：認(rèn)識人字梁的高讓學(xué)生對三角形的高有了空間知覺，經(jīng)過動手操作畫圖和抽象概括，產(chǎn)生了高的空間表象，如何讓空間表象發(fā)展到空間想象，需要教師引導(dǎo)學(xué)生在變式中理解高的本質(zhì)。學(xué)生通過動手操作實驗（動作直觀）發(fā)現(xiàn)不論改變?nèi)切蔚男螤睢⒌椎奈恢茫€是畫出一個三角形所有底邊上的高等，高就是頂點到對邊的垂直線段，這樣從實物識別、圖形識別再到變式識別，學(xué)生經(jīng)歷空間知覺、空間表象再到空間想象，最終慢慢培養(yǎng)了空間思維能力。】

三、總結(jié)反思，梳理三角形的認(rèn)識體系

師：觀察老師的板書，你有什么收獲？關(guān)于三角形，你還想了解什么新知識？

師：這些新知識都是同學(xué)們自己通過觀察、畫圖、比較等方法總結(jié)出來的。真了不起，給自己一些掌聲。

四、作業(yè)設(shè)計，拓展數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的廣度

師：給自己的老朋友——三角形寫一封介紹信，可以將課上對他的了解和課后對他的研究全部寫進去，讓同學(xué)、家長對三角形有更多更深的了解。

【設(shè)計意圖：學(xué)生可以對三角形的認(rèn)識形成知識體系，課堂總結(jié)環(huán)節(jié)教師的引導(dǎo)作用非常重要。先通過板書的作用回顧課堂對三角形的收獲，再激發(fā)學(xué)生主動思考三角形還有哪些相關(guān)知識，為學(xué)生課后學(xué)習(xí)拓展提供了方向。最后寫介紹信的實踐作業(yè)就是將上課的知識點和課后延伸的知識點通過學(xué)生自己獨有的方式形成知識體系，就像是將珍珠串成項鏈的“線”，有了“線”學(xué)生的認(rèn)識就會聯(lián)結(jié)成一張網(wǎng)，讓學(xué)習(xí)變得更加有張力。】