HPM視角下的高中數(shù)學(xué)新授課教學(xué)設(shè)計(jì)與反思

毛永強(qiáng)

體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價(jià)值是我國(guó)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的基本理念之一，隨著新課程的全面實(shí)施，如何在教材中體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化，如何在課堂中滲透數(shù)學(xué)文化，如何在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)文化，受到我國(guó)中學(xué)數(shù)學(xué)教育界的普遍關(guān)注.筆者認(rèn)為將數(shù)學(xué)史引入課堂是體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化最有效的著力點(diǎn).

本文以“等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式”的教學(xué)為例，嘗試如何在新授課教學(xué)中體現(xiàn)數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)文化教育.

一、教學(xué)內(nèi)容分析

“等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式”是滬教版第7章“數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法”第二節(jié)的內(nèi)容，教材由高斯求和引入，得出等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，[JP2]用高斯求和法引入一般等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，為“倒序求和法”搭建了一個(gè)十分恰當(dāng)?shù)摹澳_手架”.[JP]

從數(shù)學(xué)歷史視角分析，等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式是這樣推導(dǎo)的嗎？要讓學(xué)生用好等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式就必須讓學(xué)生明白公式的由來以及公式背后所隱藏的數(shù)學(xué)思維過程以及數(shù)學(xué)思想方法.

基于這種想法，本案例在史料分析的基礎(chǔ)上，依據(jù)“最近發(fā)展區(qū)”原理，從學(xué)生初中已經(jīng)掌握的知識(shí)出發(fā)，探求等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式.

二、史料分析與選取

兩百多年前，德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯10歲的時(shí)候，有一次老師教完加法后提出了一個(gè)問題：1+2+3+…+100=？其他同學(xué)過了很長(zhǎng)時(shí)間才交卷，而且沒有一個(gè)算對(duì)的，高斯用首尾相加的辦法得出結(jié)果，這就是今天“倒序相加法”的雛形.其實(shí)，高斯并不是歷史上第一個(gè)使用該方法求等差數(shù)列和的數(shù)學(xué)家，追溯歷史，在高斯之前有許多智者已經(jīng)推導(dǎo)了等差數(shù)列的求和公式，分述如下.

（1）《九章算術(shù)》成書于公元一世紀(jì)，其中有個(gè)問題：“今有金箠，長(zhǎng)五尺，斬本一尺，重四斤，斬末一尺，重二斤，問次一尺各重幾何？”意思是：“現(xiàn)有一根金杖，長(zhǎng)5尺，在最粗的一端截下1尺，重4斤;在最細(xì)的一端截下1尺，重2斤，問依次每一尺各重多少斤？”.

（2）丟番圖撰寫的《論多邊形數(shù)》，時(shí)間大約在公元三世紀(jì)，書中用幾何方法證明了首項(xiàng)為a，末項(xiàng)為l，項(xiàng)數(shù)為n的等差數(shù)列之和為S=n（l+a）2.

（3）《張邱健算經(jīng)》成書于公元5世紀(jì)，其中有一題：“今有女不善織，日減功遲.初日織五尺，末日織一尺，今三十日織訖，問織幾何？”解曰：“并初、末日織尺數(shù)，半之，余以乘織訖日數(shù)，即得”.本題作為問題三.

（4）阿爾·卡克希撰寫的《代數(shù)之榮耀》，約公元973～1048年，書中記載：1+2+3+…+n=n（n+1）2，阿爾·卡克希用倒序相加法證明了上述命題，并且把這種方法用于一般的等差數(shù)列求和，本案例將其改編為求三角形圖案中寶石的個(gè)數(shù).

（5）宋代著名數(shù)學(xué)家楊輝在《續(xù)古摘奇算法卷上》（1275年與他人合編）有一個(gè)問題：“天數(shù)一三五七九，地?cái)?shù)二四六八十，積五十五”.求積法曰：“并上下數(shù)共一十一，以高數(shù)十乘之，得百一十，折半得五十五，為天地之?dāng)?shù)”.

這些古今中外的結(jié)論都要早于高斯對(duì)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的探究，當(dāng)然，說不定在《九章算術(shù)》之前，還有人給出了等差數(shù)列的求和公式，或者已經(jīng)在應(yīng)用等差數(shù)列求和公式的思想和方法解決問題，只是這些成果隕落在歷史的塵埃里了.

基于上述史料分析，結(jié)合本課教學(xué)目標(biāo)，設(shè)計(jì)下列教學(xué)過程.

三、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

1.情境引入

問題1.德國(guó)著名數(shù)學(xué)家高斯10歲的時(shí)候很快就解決了問題：1+2+3+…+100=？你知道高斯是怎樣算出來的嗎？

問題2.下圖是設(shè)計(jì)師設(shè)計(jì)的一個(gè)以寶石鑲嵌的三角形圖案，共有n層（見圖1），請(qǐng)你算一算這個(gè)圖案一共需要多少顆寶石？

生1：共有（1+2+3+…+n）個(gè).

師：你能把它加起來嗎？

生1：茫然……

師：我們回顧一下初中是怎樣求三角形面積的？

生2：將三角形旋轉(zhuǎn)倒置，與原三角形相接構(gòu)成一個(gè)平行四邊形，這樣每一個(gè)三角形的面積是四邊形面積的一半.

生2：也可以用這個(gè)方法求解前n個(gè)自然數(shù)的和.如圖2，在三角形旁邊倒立一個(gè)同樣的三角形構(gòu)成一個(gè)平行四邊形，求圖案中寶石的個(gè)數(shù).

設(shè)計(jì)意圖：把阿爾·卡克希記載的1+2+3+…+n=n（n+1）2的結(jié)論通過三角形圖案的寶石個(gè)數(shù)直觀表示出來，借用初中三角形面積的求解，既為學(xué)生搭建了合理的“學(xué)習(xí)支架”又滲透了數(shù)學(xué)歷史文化.

2.公式推導(dǎo)

定義：數(shù)列的前n項(xiàng)和是把數(shù)列的前n項(xiàng)加起來：Sn=a1+a2+…+an.

右圖“割”，即把梯形分割成一個(gè)平行四邊形和一個(gè)三角形，梯形面積即為平行四邊形面積與三角形面積之和.

設(shè)計(jì)意圖：以形助數(shù)，借助圖像加深公式記憶，給出公式的幾何解釋.

4.公式應(yīng)用（略）

小結(jié)：本節(jié)課掌握了那些知識(shí)？用到那些方法？（學(xué)生小結(jié)師補(bǔ)充）

四、基于數(shù)學(xué)文化的教學(xué)反思

本案例沒有照本宣科地完全按照課本內(nèi)容設(shè)計(jì)，而是先對(duì)本節(jié)課所涉及的數(shù)學(xué)史進(jìn)行深入研究，將其中適合本節(jié)課的內(nèi)容貫穿其中，讓學(xué)生既欣賞到“冰冷的美麗”又感受到“火熱的發(fā)現(xiàn)”，具體體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：

1.緊扣課標(biāo)準(zhǔn)確定位教學(xué)目標(biāo)，融入數(shù)學(xué)史激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》重視數(shù)學(xué)文化在教學(xué)中的滲透，強(qiáng)調(diào)把數(shù)學(xué)文化融入數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，筆者認(rèn)為把數(shù)學(xué)史融入教學(xué)是滲透數(shù)學(xué)文化的有效方法之一，通過數(shù)學(xué)史尋找數(shù)學(xué)概念的發(fā)展過程，在潛移默化中提高學(xué)生的思想文化修養(yǎng).基于此確定了本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，從兩個(gè)鮮活實(shí)例引入，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，如果抽去案例本身的背景，建構(gòu)數(shù)學(xué)模型后發(fā)現(xiàn)它們是同一個(gè)問題，即等差數(shù)列的求和問題，自然過渡到本節(jié)的主題.

2.精雕細(xì)琢，挖掘數(shù)學(xué)文化素材，開拓學(xué)生數(shù)學(xué)視野

能否在數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)歷史文化關(guān)鍵取決于教師的意識(shí)，落實(shí)在于教學(xué)素材的選取，素材選取一般是通過挖掘數(shù)學(xué)歷史名題，這些題目通過代代相傳又經(jīng)過琢磨提煉，經(jīng)受了歷史的檢驗(yàn)，最終成為數(shù)學(xué)百花園中的奇花異草，也是數(shù)學(xué)文化的重要載體，就本節(jié)課“等差數(shù)列前n項(xiàng)和”而言，《九章算術(shù)》中《盈不足》第19題、《衰分》第1題、《均輸》第17題、第18題都是很好的“學(xué)材”，《算法統(tǒng)宗》《張邱建算經(jīng)》《孫子算經(jīng)》《四元玉鑒》《洛書》都有大量關(guān)于等差數(shù)列前n項(xiàng)和的相關(guān)題目，本案例通過例題分析，讓學(xué)生穿越時(shí)空，開拓學(xué)生數(shù)學(xué)視野，充分感受數(shù)學(xué)文化的魅力.“千淘萬漉雖辛苦，吹盡狂沙始到金”，數(shù)學(xué)歷史文化與數(shù)學(xué)知識(shí)相輔相成，能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，有效落實(shí)學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)目標(biāo).

3.滲透數(shù)學(xué)文化，培養(yǎng)學(xué)生探究能力

本案例以高斯算法為例，具體求解自然數(shù)前100項(xiàng)的和，以寶石鑲嵌圖案為背景從具體數(shù)字出發(fā)過渡到自然數(shù)n，即第1層到第n層，依據(jù)初中知識(shí)構(gòu)建學(xué)習(xí)支架，即通過在三角形旁邊倒立一個(gè)同樣的三角形構(gòu)成一個(gè)平行四邊形，直觀形象的說明等差數(shù)列前n項(xiàng)和的本質(zhì).此時(shí)，等差數(shù)列求和方法“呼之欲出”，推導(dǎo)更一般的等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式“水到渠成”，從特殊到一般培養(yǎng)學(xué)生的探究能力.

HPM視角下高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，為師生了解數(shù)學(xué)發(fā)展歷程提供了新的思路，通過史料分析，名題呈現(xiàn)感受數(shù)學(xué)發(fā)展的心路歷程，體驗(yàn)數(shù)學(xué)歷史文化，有效傳承人類思維方式和探索本能的血脈.