混凝土分數階應力松弛J體流變模型研究

秦 毅

(遼東學院土木工程系，丹東 118003)

0 引 言

應力松弛[1]主要是指材料在恒定應變水平作用下，材料應力隨時間推移產生非線性變化的性質。該性質普遍存在于混凝土結構中，尤其在混凝土材料用于路基、邊坡工程防護以及巷道支護時，混凝土結構處于壓應力狀態，混凝土結構的變形和受力狀態會受時間、環境等因素影響[2-3]，進而產生應力松弛破壞而失穩，這給防護工程的安全性帶來了嚴重威脅。目前關于混凝土和巖石等材料的流變特性主要表現在蠕變和應力松弛兩個方面，以往流變研究成果主要集中在混凝土蠕變特性方面，對于混凝土應力松弛研究較少。由于試驗條件和試驗操作上難度較大，導致混凝土應力松弛特性研究以及理論模型不足[4]，現有應力松弛模型主要是經驗模型和基礎的元件模型，它們雖然可以描述混凝土的應力松弛特性，但是模型適用性和精度較差，且經驗模型參數沒有明確的物理意義，使得傳統的應力松弛模型無法真實反映實際工程中混凝土應力松弛特性的變化規律[5-7]。因此，需要對混凝土應力松弛模型進行深入研究，進而解決工程中混凝土結構長期穩定性問題。

近些年，學者們對于混凝土應力松弛特性做出了一些研究。孫鈞[8]對巖土類材料的流變特性進行了系統歸納總結，闡述了材料的流變試驗、理論模型構建，以及將數值計算與工程實際相結合等，為后續研究巖土類材料在不同條件耦合作用下流變特性奠定了基礎；田洪銘等[9]對巖石流變過程中能量耗散進行了分析，提出基于耗散能變化的應力松弛損傷系數，并將其引入到西原體模型中，進而構建了一種改進的損傷應力松弛模型；于懷昌等[10]通過將流變理論結合分數階理論，建立了分數階Poynting-Thomson模型，該模型可較好地描述巖石應力松弛特性；唐禮忠等[11]研究了峰值應力作用下巖石的松弛特性，發現巖石的應力松弛變化規律呈現出階梯式遞減趨勢；牛晟等[12]開展了峰前和峰后混凝土應力松弛特性試驗，并采用廣義 Kelvin模型對沙漠砂聚苯乙烯混凝土的應力松弛變化規律進行了描述。上述研究表明混凝土和巖石應力松弛特性與時間有關，但是現有應力松弛模型并未考慮到時間效應對混凝土應力松弛特性的影響，故構建一個考慮時間效應的應力松弛時效性模型就顯得十分有必要。

本文采用分數階理論將傳統整數階應力松弛模型進行分數階化，構建損傷變量、時間與模型參數之間的關系，并采用類比法構建分數階階數與損傷變量、時間的關系，進而建立一個合理的非定常分數階應力松弛模型，這對后續研究混凝土的長期穩定性具有指導意義。

1 非定常分數階應力松弛模型建立

1.1 非定常分數階黏壺建立

一般常用Riemann-Liouville微積分方法來定義分數階[13-14]。對于任意實數γ時，Riemann-Liouville分數階函數可表示為：

(1)

式中：γ為分數階階數；t為應力松弛時間；ξ為分數階函數變量。

Gamma函數Γ(γ)為：

(2)

對于傳統的彈簧元件和牛頓黏壺而言，流變方程可分別表示為：

σ(t)=Eε(t)

(3)

(4)

式中：σ為應力；ε為應變；E為彈性模量；η為黏滯性系數；t為流變時間。

基于上述分數階定義，將整數階黏壺轉化為分數階黏壺，則分數階黏壺的本構方程為[15]：

(5)

式中：ξ為類黏滯性系數；M為階數γ的分數階算子。

根據式(5)可知，當分數階階數γ=0時，令ξ=E，式(5)退化為式(3)，流變方程描述彈性體流變性質；當分數階階數γ=1時，令ξ=η，式(5)退化為式(4)，流變方程描述牛頓黏壺流變性質；當分數階階數0<γ<1時，分數階黏壺流變方程描述介于上述兩元件之間的非線性流變性質[16]。

在應力松弛試驗中混凝土應變ε(t)為恒定不變量，即ε(t)=constant，將式(5)進行Laplace正逆變換可得到分數階黏壺應力松弛表達式：

(6)

根據混凝土應力松弛模型參數劣化規律，定義在應力松弛試驗中混凝土分數階黏壺參數的損傷演化表達式為[17]：

D=1-exp(-αt)

(7)

式中：D為損傷變量；α為非定常系數。

聯立式(5)～式(7)得到非定常分數階黏壺表達式：

(8)

式中：α1為黏壺非定常系數。

1.2 一維非定常分數階模型建立

本文采用J體流變模型來分析混凝土應力松弛特性，其由彈性元件和開爾文體組成(如圖1所示)。

圖1 流變本構模型示意圖(E1為彈性體彈性模量；E2為黏彈性體彈性模量；η1為黏彈性體的黏滯性系數；η1γ為分數階黏壺黏滯性系數；σ為應力)

根據流變模型理論可知，J體模型的一維流變方程為：

(9)

經過Laplace正逆變換可得應力松弛方程：

(10)

式中：t為應力松弛時間。

將J體模型中牛頓黏壺換為分數階黏壺，得到流變方程：

(11)

對式(11)進行Laplace 變換可得:

(12)

式中：k為Laplace變換系數。

將式(7)和式(8)代入到式(12)中，得到:

(13)

式中：α0為彈性體的非定常系數；α1為黏彈性體黏壺的非定常系數；α2為黏彈性體彈簧元件的非定常系數。

2 應力松弛試驗結果分析與模型驗證

2.1 應力松弛試驗

圖2 應力松弛數據

本文采用普通硅酸鹽水泥，按照試驗標準將混凝土試樣制成φ50 mm×100 mm的標準圓柱試件，經過標準養護之后的混凝土試樣用于應力松弛特性試驗[18-19]。采用TAW-2000伺服試驗機對養護后的混凝土試樣進行應力松弛試驗，具體試驗步驟為：(1)采用分級加載方式，逐級施加軸向應變值；(2)每級應變加載完瞬間，讀取混凝土試樣所對應的軸向應力值，并記錄混凝土試樣的應力松弛變化曲線；(3)當混凝土的軸向應力在2 h內的變化幅值小于0.001 MPa時，停止當前應變等級作用下的應力松弛試驗，開始施加下一級軸向應變值；(4)當試驗全部結束后，將試驗數據導出后保存。

圖2為應力松弛試驗所得數據。由圖2可知，試驗一共分為6個等級，應變水平分別為0.30%、0.60%、0.90%、1.20%、1.50%和1.80%。在不同應變作用下，混凝土應力松弛曲線都呈現先減小后穩定的變化趨勢；隨著應變不斷增大，混凝土初始應力不斷增大，應力松弛量減小幅度也不斷增大。在應變作用下，混凝土所受應力具有一個較大初始值，隨著時間推移，應力不斷減小，最后趨于穩定值。

2.2 模型參數識別與驗證

采用Levenberg-Marquardt算法對J體模型和非定常分數階模型進行模型參數辨識，得到兩種模型參數數值，分別如表1和表2所示[20]。

表1 模型參數(J體模型)

表2 模型參數(非定常分數階模型)

根據上文所建立的非定常性應力松弛方程對各級應力松弛試驗曲線反演所獲得的參數，代入應力松弛方程(12)和(13)繪制J體模型和非定常分數階模型應力松弛與時間對比圖，如圖3所示。

由圖3可知，用該力非定常分數階模型來反映混凝土應力松弛全過程變形規律是合適可行的，它可以較好地描述應力松弛變化全過程，總體上該模型擬合度遠遠高于J體模型(后者在較大應變作用下，模型曲線與試驗曲線具有較大偏離度)，能對三軸應力松弛試驗數據進行良好的預測分析。

圖3 試驗數據與模型曲線對比

3 參數敏感性分析

本文以應變0.90%作用下應力松弛模型曲線為例，將E1=326.812 GPa，E2=119.715 GPa，η1=774.601 GPa·h，α0=0.897，α1=0.267，α2=0.449，γ=0.229代入非定常分數階模型應力松弛方程中，通過控制變量法分別分析非定常參數和分數階階數對應力松弛曲線變化規律的影響。首先，保持其他變量不變，改變分數階階數γ，其對應力松弛曲線的影響如圖4所示。

由圖4可知，在不同分數階階數下，混凝土應力松弛變化曲線都是呈現逐漸減小趨勢，但是不同分數階階數的應力松弛曲線大約在4.19 h左右出現了重合點。在重合點之前應力松弛曲線隨著分數階階數增大，應力減少相同幅度所用時間逐漸增大，但是在重合點之后應力松弛曲線隨著分數階階數增大，應力減少相同幅度所用時間卻逐漸減小，說明重合點處改變了應力松弛曲線變化速率，分數階階數控制了混凝土應力松弛速率。

保持其他變量不變，改變彈性體非定常系數α0，其對應力松弛曲線的影響如圖5所示。

圖4 分數階階數對應力松弛曲線的影響

圖5 非定常系數α0對應力松弛曲線的影響

由圖5可知，在不同非定常系數α0下，混凝土應力松弛曲線先急劇下降后趨于穩定值。隨著非定常系數α0增大，應力松弛曲線最終趨于穩定值越小，這說明非定常系數α0影響了混凝土應力松弛曲線應力最終值。

保持其他變量不變，改變黏彈性體黏壺的非定常系數α1，其對應力松弛曲線的影響如圖6所示。

由圖6可知，在不同非定常系數α1下，混凝土應力松弛曲線先急劇下降后趨于穩定值，但是前期應力松弛曲線基本重合，只是在應力接近穩定值時才有較大的偏離度。非定常系數α1對于混凝土應力松弛曲線影響作用不明顯。

圖6 非定常系數α1對應力松弛曲線的影響

圖7 非定常系數α2對應力松弛曲線的影響

保持其他變量不變，改變黏彈性體彈簧元件的非定常系數α2，其對應力松弛曲線的影響如圖7所示。

由圖7可知，在不同非定常系數α2下，混凝土應力松弛曲線先急劇下降后趨于穩定值，但是應力松弛曲線基本重合，只是在應力接近穩定值時才有較大的偏離度。非定常系數α2對于混凝土應力松弛曲線影響作用不明顯。

綜上所述，對于引入非定常系數和分數階階數敏感性做出了分析，發現參數α0主要影響應力松弛曲線應力最終值，使得應力松弛量隨著參數增大而增大，分數階階數γ控制混凝土應力松弛速率以及應力松弛量兩個指標，非定常系數α1和α2對于混凝土應力松弛曲線影響作用不明顯。

4 結 論

(1)基于混凝土應力松弛參數劣化性以及分數階階數受時間作用的影響，建立損傷積累條件下的非定常黏壺應力松弛模型；考慮應變水平對彈簧元件的影響，建立了一個非定常分數階應力松弛時效性模型。

(2)采用非定常分數階模型來描述混凝土應力松弛全過程變形規律是合適可行的，它可以較好地描述應力松弛變化全過程，總體上該模型擬合度遠遠高于J體模型(后者在較大應變作用下，模型曲線與試驗曲線具有較大偏離度)，可以對三軸應力松弛試驗數據進行良好的預測分析。

(3)參數α0主要影響應力松弛曲線應力最終值，使得應力松弛量隨著參數增大而增大，分數階階數γ控制混凝土應力松弛速率以及應力松弛量兩個指標,非定常系數α1和α2對于混凝土應力松弛曲線影響作用不明顯。