例說發散思維在數學解題中的應用

姚志雄

(邵陽市第一中學 湖南邵陽 422000)

經常會聽到這樣的說法，數學本質上是一門思維學科，學習數學的目的就是用數學的觀點去分析思考問題。思維是什么？簡單說思維就是思考問題的方法。數學思維也就是人們通常所指的數學思維能力，即能夠用數學的觀點去思考問題和解決問題的能力。一個人的思維方式決定著其行為方式，若能對自己的思維方式進行一定的評估和分析，將自己思考的過程放大，就能看到很多曾經沒有發現的東西，從而在原有基礎上有所改變和提高。從數學思想方法層面看，數學思維包含抽象、推理、建模等方面。所謂抽象就是從眾多事物中抽取出共同的、本質的屬性而舍棄個別的、非本質屬性的思維過程。有時也指“抽象的產物（結果）”或“抽象的方法”。具備抽象思維，意味著具備提取主要因素與透過現象看本質的能力。所謂推理，就是指數學和其他理科不同，物理、化學、生物主要依賴實驗來進行驗證，只有數學可以僅依靠推理得到正確的結果。因此，推理能力意味著突破“眼見為實”的限制。而建模意味著將抽象的規律用數學的語言表示出來，從而可以用數學的方法處理問題。如何培養數學思維？學者們見仁見智，沒有一個統一的答案。但有一點可以肯定，就是認為發散思維在數學學習中有著極其重要的作用。發散思維是打破常規，尋求變異的思維，它不受傳統束縛，不受思維定勢，是創新思維的核心，與創造力有直接關系。

本文著重通過一道不等式問題，探討一下發散思維在數學學習中的應用。

有些數學問題，常規方法無法解決，這時通過構造輔助函數解題，就能化難為易，迎刃而解。構造輔助函數解題不僅能減少計算量，使原本復雜的問題變得簡單，而且對于培養學生分析問題、解決問題的思維能力很有幫助；難點在于它的靈活性及創造性，這也正是數學的魅力。構造函數解題，廣泛運用在不等式問題中，在數列、三角函數、方程根的存在性問題中也有涉及。文獻[1]總結了幾種常見的證明方法：特征分析構造法、和差構造法、積商構造法、局部構造法、變參分離構造法和換元構造法。文獻[2]提出了利用作差法、積商法等方法構造輔助函數，再運用其導數來解決數學問題中的不等式問題。文獻[3]認為可通過移項法，倒退法和微分方程法構造輔助函數求解不等式。還有很多數學愛好者對構造法進行了探索，他們得到了一些有趣的結論，對豐富不等式的解題方法有積極的推動作用。通過一個具體例子加以說明。

例：已知x2+y2=8，求證：x+y≤4

解法一分析。本題可看成是所求函數f(x，y)=x+y在約束條件x2+y2=8的極值問題，可利用拉格朗日乘數法求函數的極值。

證明：不妨設函數f(x，y)=x+y，構造輔助函數

解得可能極值點為(-2，-2)，(2，2)。

要求一個函數在某種限制條件下的極值的問題，一般可采用拉格朗日乘數法，通過構造輔助函數－拉格朗日函數，再求輔助函數關于各個變量的一階偏導數，然后令偏導數同時為零，找出可能的極值點，然后進一步計算二階偏導數在點的值，根據定理加以判斷。其實，這個題目有多種方法求解，不妨考慮數形結合的方法。數學是數與形結合的一門學科，借助圖形直觀分析，能夠化繁為簡，使題目變得簡單容易。

圖1 圓與直線相切

Dweck和她的助手曾經做過一項研究發現[4]，擁有成長型思維的學生在考試中取得前20%成績的可能性是其他人的3倍；而持有固定型思維模式的學習進入最后20%的可能性是其他學生的4倍。也就是說固定型思維模式的學生，基本都是在班級墊底。說明發散思維在學習過程中十分重要。對于這道題，除了上述兩種解法外，還有其他方法。

什么是真正的數學能力？掌握復雜抽象的邏輯推導鏈條，理解其核心思路的能力，并將其遷移運用至其他數學領域的能力；將不同領域的知識聯系、融會貫通的能力；乃至于創造一套理論體系，并運用其解決數學問題的能力等。學習數學不在乎刷題的數量，而在乎刷題的質量，主要是對數學思想方法的掌握。小題大做就是加深對數學思想和方法領悟的一個好方法。我們在遇到一些小題的時候也會有不一樣的靈感，感覺從不同途徑入手都能解決問題。這往往意味著問題背后有著豐富的背景，這個時候不要放過這靈感，要更加深入地去思考，進行一些探究式的學習。小題大做的目的就在于利用發散思維打通不同知識模塊之間的壁壘，又或者完成從特殊到一般的延展。這樣主動學習一個小時帶來的能力提升可能遠遠超過一個小時的機械刷題。

我們經常聽到，學數學一定要多練習，多訓練，達到熟能生巧的地步。但訓練也是有講究的，筆者認為，數學精深訓練有九個臺階。第一個臺階是能看懂，就是能夠懂得數學定義，定理，公式的來龍去脈。一看到這個定理、公式，腦子里面盤旋的一些問題，一一找到答案。要從內心去回答，找到的答案越多，做出來的問答越多，就懂得越多，這就是能看懂的含義。第二個臺階是能記住。第三個臺階是會解題。看懂是關鍵一步，做到這一點，馬上就邁上了第一個臺階，馬上就會跨過第二個、第三個臺階。第四個臺階是熟練解題，在解題過程中不斷進行這樣的有意識的思維操作的訓練，那么熟練解題也為之不遠了。第五個臺階是會梳理，每一章都在重復同樣的基本結構，把那些知識點都給匯總到這個知識結構里面，就是會梳理。包括每一章都在用什么樣的運算技巧，心里面有沒有數，這一章用到什么樣的運算技巧，能不能1、2、3……這么列出來，一是一、二是二地列出來，如果能這么做了，肯定是會梳理了。第六個臺階是融會貫通，比如函數，是從什么問題引入的，它的嚴格定義是什么，它對應的幾何直觀是什么，它具有哪些性質，它與方程、不等式有什么關系，與幾何有什么關系，幾何問題可否轉化成函數問題等，一步步這么做下來，就是融會貫通了。第七個臺階是把握數學思維，所謂數學思維，就是一個一個的基本的思維操作，像各種類型的加、減、乘、除法，像它的定義，為什么會有這樣的定義，它的問題是什么，這個定義能解決什么問題，當我們提這些問題，去找它的答案的時候，按照這樣的思維去訓練的時候，就把握數學思維了。第八個臺階是體驗學習的樂趣，雖然學習過程枯燥，費腦費神，但一旦學懂弄通、真正掌握，一股喜悅之情就會油然而生。第九個臺階是能夠投入，忘我的學習。達到第八個臺階就很容易到達第九個臺階了，就是樂此不疲，學習三個小時的數學，感覺時間才過了半個小時一樣。覺得數學學習不是負擔、痛苦、障礙，而是享受、歡樂、成就，解出難題會帶來愉悅、樂趣。

要培養學生的發散思維，除了一題多解、舉一反三，還要弱化思維定勢，進行積極的思維訓練、培養學生良好的思維品質。