淺談等價無窮小替換的教學

曾 勇

(重慶工商大學 重慶 400067)

高等數學（微積分）課程的核心包括微分學、積分學、級數等內容。這些內容都是在“極限”這一重要概念的基礎上建立起來的，所以“極限”在高等數學教學中起著至關重要的作用。本科階段高等數學極限部分的教學內容主要由極限的概念和極限的計算兩部分組成。在教學過程中，它們各有側重。結合教學經驗，本文主要探討極限計算中等價無窮小替換的教學。

一、等價無窮小的概念

二、常見的等價無窮小

為了更好地掌握等價無窮小的概念和應用，教學過程中應引導學生熟記常見的等價無窮小。例如，當時，我們有如下常見等價無窮小[1]：

三、等價無窮小的變式

上述等價無窮小是最基本的等價無窮小，在實際應用中，往往需要對上述等價無窮小作適當的變形。以x～sinx，x→0為例，粗糙地講，它是說一個無窮小x2和它本身的正弦sinx2等價。由此，我們可以得出：x→0時，無窮小x2和它的正弦sinx2等價；x→1時，無窮小x-1和它的正弦sin(x-1)等價。

四、等價無窮小替換定理

我們有如下等價無窮小替換定理：

解：注意到當x→1時，

lnx=ln(1+x-1)～x-1，arcsin(x-1)～x-1，

雖然一般而言，我們不能替換加減法中的某些因子，但對一些特殊情況，我們仍有如下結論：

五、結束語

等價無窮小替換是極限計算中的重要方法。通過具體例題的講解有助于學生厘清該方法應用中的各個要點，對正確使用該方法有重要作用。