淺談等價無窮小替換的教學

曾 勇

(重慶工商大學 重慶 400067)

高等數(shù)學（微積分）課程的核心包括微分學、積分學、級數(shù)等內容。這些內容都是在“極限”這一重要概念的基礎上建立起來的，所以“極限”在高等數(shù)學教學中起著至關重要的作用。本科階段高等數(shù)學極限部分的教學內容主要由極限的概念和極限的計算兩部分組成。在教學過程中，它們各有側重。結合教學經驗，本文主要探討極限計算中等價無窮小替換的教學。

一、等價無窮小的概念

二、常見的等價無窮小

為了更好地掌握等價無窮小的概念和應用，教學過程中應引導學生熟記常見的等價無窮小。例如，當時，我們有如下常見等價無窮小[1]：

三、等價無窮小的變式

上述等價無窮小是最基本的等價無窮小，在實際應用中，往往需要對上述等價無窮小作適當?shù)淖冃巍Ｒ詘～sinx，x→0為例，粗糙地講，它是說一個無窮小x2和它本身的正弦sinx2等價。由此，我們可以得出：x→0時，無窮小x2和它的正弦sinx2等價；x→1時，無窮小x-1和它的正弦sin(x-1)等價。

四、等價無窮小替換定理

我們有如下等價無窮小替換定理：

解：注意到當x→1時，

lnx=ln(1+x-1)～x-1，arcsin(x-1)～x-1，

雖然一般而言，我們不能替換加減法中的某些因子，但對一些特殊情況，我們仍有如下結論：

五、結束語

等價無窮小替換是極限計算中的重要方法。通過具體例題的講解有助于學生厘清該方法應用中的各個要點，對正確使用該方法有重要作用。