圓錐曲線的焦半徑公式的簡(jiǎn)單運(yùn)用

摘 要：本文舉例說明了橢圓和雙曲線焦半徑公式的簡(jiǎn)單運(yùn)用.

關(guān)鍵詞：橢圓;雙曲線;焦半徑;運(yùn)用;探究

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2021）34-0013-02

收稿日期：2021-09-05

作者簡(jiǎn)介：武增明（1965.5-），男，云南省易門人，本科，中學(xué)高級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.[FQ）]

在圓錐曲線問題中若涉及焦半徑，如果想到應(yīng)用焦半徑公式來求解，有時(shí)會(huì)使求解過程十分簡(jiǎn)捷.下面舉例說明，供大家參考.

下面我們先看橢圓和雙曲線的第二定義.

橢圓的第二定義 若動(dòng)點(diǎn)M（x，y）與定點(diǎn)F（c，0）（F（-c，0）或F（0，c）或F（0，-c））和它到定直線l：x=a2c（x=-a2c或y=a2c或y=-a2c）的距離的比是常數(shù)e=ca（a>c>0），則這個(gè)動(dòng)點(diǎn)M（x，y）的軌跡是橢圓.定點(diǎn)是橢圓的焦點(diǎn)，定直線叫做橢圓的準(zhǔn)線，常數(shù)e是橢圓的離心率.

雙曲線的第二定義 若動(dòng)點(diǎn)M（x，y）與定點(diǎn)F（c，0）（F（-c，0）或F（0，c）或F（0，-c））和它到定直線l：x=a2c（x=-a2c或y=a2c或y=-a2c）的距離的比是常數(shù)e=ca（c>a>0），則這個(gè)動(dòng)點(diǎn)M（x，y）的軌跡是雙曲線.定點(diǎn)是雙曲線的焦點(diǎn)，定直線叫做雙曲線的準(zhǔn)線，常數(shù)e是雙曲線的離心率.圓錐曲線上任意一點(diǎn)M與其一個(gè)焦點(diǎn)F的距離|MF|叫做圓錐曲線的焦半徑.

為了便于理解，快速推導(dǎo)出橢圓和雙曲線的焦半徑公式，下面以表格的形式給出橢圓和雙曲線的主要性質(zhì).

橢圓和雙曲線的焦半徑公式?jīng)]有必要刻意記憶，根據(jù)解題需要，由橢圓和雙曲線的第二定義可快速推導(dǎo)出來.

例1 （2019年高考全國(guó)Ⅲ卷文T15，理T15題）設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓C：x236+y220=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，M為C上一點(diǎn)且在第一象限.若△MF1F2為等腰三角形，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為.

解析 不妨設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓C的左、右焦點(diǎn)，由點(diǎn)M在第一象限，△MF1F2為等腰三角形，知|F1M|=|F1F2|=8.設(shè)M（x0，y0），則由橢圓的焦半徑公式，得|F1M|=a+ex0.所以|F1M|=6+23x0.于是6+23x0=8，解得x0=3.又x2036+y2020=1，y0>0，所以y0=15.從而M（3，15）.

評(píng)注 此題解法較多，筆者認(rèn)為，應(yīng)用橢圓的焦半徑公式來求解速度較快.

例2 （2019年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽貴州賽區(qū)預(yù)賽試題第11題）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左焦點(diǎn)為F.過橢圓C上一點(diǎn)A作橢圓的切線，與y軸交于點(diǎn)Q，O為坐標(biāo)原點(diǎn).若∠QFO=45°，∠QFA=30°，則橢圓的離心率為.

解析 設(shè)A（x0，y0），則過點(diǎn)A的切線方程為x0xa2+y0yb2=1，從而Q（0，b2y0）.由橢圓的焦半徑公式，得|FA|=a+ex0.

又FQ·FO=（c，b2y0）·（c，0）=c2，F(xiàn)Q·FA=（c，b2y0）·（x0+c，y0）=cx0+a2，所以由向量的數(shù)量積公式，得cos∠QFOcos∠QFA=FQ·FOFQ·FA·|FQ||FA||FQ||FO|=c2cx0+a2·ex0+ac=ca·ex0+aex0+a=e.

故橢圓的離心率為e=cos∠QFOcos∠QFA=cos45°cos30°=63 .

評(píng)注 此題具有一般性結(jié)論：設(shè)F為橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的一個(gè)焦點(diǎn).過橢圓C上的一點(diǎn)A（A不是橢圓的頂點(diǎn)）作橢圓的切線交y軸于點(diǎn)Q，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，該橢圓的離心率為e.若∠QFO=α，∠QFA=β，則e=cosαcosβ.

例3 （2019年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽重慶賽區(qū)預(yù)賽試題第9題）已知過點(diǎn)P（3，0），斜率為k的直線l與雙曲線C：x2-y23=1的右支交于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)為雙曲線C的右焦點(diǎn)，且|AF|+|BF|=16，求k的值.

解法1 （應(yīng)用兩點(diǎn)間的距離公式） 設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），直線l的方程為y=k（x-3），則x21-y213=1，x22-y223=1.

因?yàn)镕（2，0），所以由兩點(diǎn)間的距離公式，得|AF|=（x1-2）2+y21=x21-4x1+4+3x21-3=（2x1-1）2=2x1-1.同理，可得|BF|=2x2-1.

所以由|AF|+|BF|=16，得2（x1+x2）=18.

由y=k（x-3），x2-y23=1，得（k2-3）x2-6k2x+9k2+3=0，所以x1+x2=6k2k2-3 .

依題意，得Δ>0，x1+x2>0，x1x2>0，

即36k4-4（k2-3）（9k2+3）>0，6k2k2-3>0，9k2+3k2-3>0， 解得k2>3.

故2·6k2k2-3=18，由此得k=±3，且滿足k2>3，于是k=±3.

解法2 （應(yīng)用雙曲線的焦半徑公式） 設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），直線l的方程為y=k（x-3），則由雙曲線的焦半徑公式，得|AF|=2x1-1，|BF|=2x2-1.以下同解法1.

評(píng)注 從上述解法2我們可以看出，直接應(yīng)用雙曲線的焦半徑公式求解，思路清晰，過程簡(jiǎn)捷，求解速度快.

通過上述幾例的解答，我們發(fā)現(xiàn)，焦半徑公式充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的化歸思想，通過它可將二個(gè)變量x，y問題化歸為一個(gè)變量x或y來處理，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的消元思想，減少了運(yùn)算量，優(yōu)化了解題過程.所以我們?cè)谄綍r(shí)的教學(xué)中，值得重視圓錐曲線的焦半徑公式的運(yùn)用.

參考文獻(xiàn)：

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[2]人民教育出版社，課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書（選修）數(shù)學(xué)2-1（A版）[M].北京：人民教育出版社，2007.

[3]劉剛.一道2018年高考橢圓試題的探究[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)，2018（08）：9-11.

[4]周春霞.焦半徑與2000年高考解幾試題[J].中學(xué)教研（數(shù)學(xué)），2000（10）：26-27.

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