巧用阿氏圓 妙解一類題

摘 要：本文給出了阿波羅尼斯圓（以下簡(jiǎn)稱阿氏圓）的一個(gè)幾何性質(zhì)，并通過(guò)列舉其在解三角形、平面向量和解析幾何等有關(guān)問(wèn)題中與常規(guī)解法的不同，讓大家感受到這一幾何性質(zhì)在解題中的妙用.

關(guān)鍵詞：阿氏圓;反演點(diǎn);妙解;應(yīng)用

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2021）34-0015-02

收稿日期：2021-09-05

作者簡(jiǎn)介：魏東升，男，本科，中學(xué)高級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.[FQ）]

有時(shí)我們會(huì)有這樣的感慨，有些我們一直以為很熟悉的事物，隨著對(duì)其了解的深入，卻發(fā)現(xiàn)它們已經(jīng)越來(lái)越陌生了.比如從小到大陪伴著我們成長(zhǎng)的圓，可謂是我們接觸的最多的圖形之一了.但隨著學(xué)習(xí)的深入，當(dāng)其以阿氏圓、蒙日?qǐng)A等隱形圓的身份出現(xiàn)在試題中時(shí)，不少人卻陌生了.本文通過(guò)運(yùn)用阿氏圓的一個(gè)幾何性質(zhì)解題的幾個(gè)視角，讓大家感受到阿氏圓解題的美妙.

定理 如圖1，已知點(diǎn)M是以PQ為直徑的圓D上的任意一點(diǎn)，則直線PQ上兩點(diǎn)A，B滿足ADCD=CDBD=λ（λ≠1）的充要條件為：圓D是以A，B為兩定點(diǎn)，CACB為定值λ（λ≠1）的阿波羅尼斯圓.

證明 先證明必要性，因?yàn)锳DCD=CDBD=λ（λ≠1），所以△ACD～△BCD，所以CACB=λ，從而根據(jù)定義可知圓D是阿波羅尼斯圓.

再證明充分性，因?yàn)镃ACB=PAPB=AD-PDPD-BD=AD-CDCD-BD=λ（λ≠1），①

同理可得AD+CDCD+BD=λ，②

由①②式可得CD2=AD·BD，結(jié)合②式可得ADCD=CDBD=λ（λ≠1）.

以下例舉該結(jié)論妙解相關(guān)問(wèn)題的三個(gè)視角：

例1 （2019年全國(guó)Ⅱ卷理科第15題改編）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若b=2，a=2c ，則S△ABC的最大值為.

通解 在△ABC中，由余弦定理，得22=（2c）2+c2-2·c·2ccosB，所以cosB=5c2-44c2，從而S△ABC=12·c·2csinB=c21-cos2B=c21-（5c2-44c2）2=14-9c4+40c2-16≤43，當(dāng)且僅當(dāng)c=253時(shí)等號(hào)成立，所以S△ABC的最大值為43.

妙解 因?yàn)閎=2，a=2c ，可知點(diǎn)B的軌跡是一個(gè)阿波羅尼斯圓. 假設(shè)該圓的圓心為D，根據(jù)結(jié)論可知CDBD=BDAD=2=AC+ADBD，解得BD=43，即圓D的半徑為43.假設(shè)AC邊上的高為？，所以S△ABC=12·b·？≤12·b·BD=43，即S△ABC的最大值為43.

評(píng)析 本題的通法是運(yùn)用解三角形的相關(guān)知識(shí)建立關(guān)于面積的函數(shù)解析式，其解題思路看似不遜色于妙解，但卻是建立在較大的數(shù)學(xué)運(yùn)算量這一基礎(chǔ)上的.

例2 （2015年湖北卷理科第14題）如圖2，圓C與x軸相切于點(diǎn)T（1，0），與y軸正半軸交于兩點(diǎn)A，B（點(diǎn)B在點(diǎn)A的上方）， 且AB=2.

（1）圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為;

（2）過(guò)點(diǎn)A任作一條直線與圓O：x2+y2=1相交于M，N兩點(diǎn)，下列三個(gè)結(jié)論：

①NANB=MAMB;

②NBNA-MAMB=2;

③NBNA+MAMB=22.

其中正確結(jié)論的序號(hào)是. （寫(xiě)出所有正確結(jié)論的序號(hào)）

通解 （1）圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-1）2+（y-2）2=2.

（2）由（1）可得A（0，2-1），B（0，2+1）， 設(shè)直線lMN的方程為y=kx+2-1，

聯(lián)立方程組y=kx+2-1，（x-1）2+（y-2）2=2，解得1+k2x2+2k2-1x+2-22=0…①，假設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），且設(shè)x2>0，所以kNA=2-1-y2-x2=k，kNB=2-1-y2+2-x2=k-2x2，所以|NA||NB|=1+k2NBx2-01+k2NAx2-0=1+（k-2x2）21+k2=1+k2x22-4kx2+41+k2x22…②，由①結(jié)合求根公式知kx2=22-2-1+k2x2222-2，將其代入②化簡(jiǎn)可得NANB=2+1.同理可得|MA||MB|=2-1，由此可驗(yàn)證①②③皆為正確結(jié)論.

妙解 （1） 圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-1）2+（y-2）2=2.

（2）由（1）可得A（0，2-1），B（0，2+1），所以BONO=NOAO=2+1，由結(jié)論易知圓O是以A，B為兩定點(diǎn)，以NANB=2+1為定值的阿波羅尼斯圓，由此很快可驗(yàn)證①②③皆為正確結(jié)論.

評(píng)析 此題的妙解可謂是把阿氏圓解題的優(yōu)勢(shì)體現(xiàn)地淋漓盡致！通法實(shí)際上是在不知道阿氏圓這一幾何背景下的純代數(shù)運(yùn)算，屬于典型的“小題大做”，這樣處理實(shí)在是有點(diǎn)得不償失，雖然是一道填空題的壓軸題！

例3 （江西省贛州市2021年期中聯(lián)考理科第15題）已知a，b，c是平面內(nèi)三個(gè)單位向量，a·b=0，則a+2c+2a+b-c的最小值為.

通解 假設(shè)c=（x，y），a=（1，0），b=（0，1），則x2+y2=2，a+2c=（1+2x，2y），2a+b-c=（2-x，1-y），從而a+2c+2a+b-c=（1+2x）2+（2y）2+（2-x）2+（1-y）2=3x2+y2+x2+y2+4x+1+（2-x）2+（1-y）2=（2+x）2+y2+（2-x）2+（1-y）2≥（2+2）2+（1-0）2=17.

妙解1 如圖3，因?yàn)閍·b=0，記OA=-12a，OB=2a+b，OC=c，可知點(diǎn)C的軌跡是個(gè)圓，根據(jù)結(jié)論可知在OA方向上存在點(diǎn)D（也稱反演點(diǎn)）使得DOCO=COAO=2，此時(shí)DO=2，所以CD=2CA，從而a+2c+2a+b-c=2c-（-12a）+c-（2a+b）=2CA+CB=CD+CB≥BD=17.

妙解2 注意到a+2c=a+2c，所以利用向量的三角不等式可得a+2c+2a+b-c=2a+c+2a+b-c≥4a+b=17.

評(píng)析 通解的思路是向量問(wèn)題代數(shù)化，很好地體現(xiàn)了“向量數(shù)與形融為一體”這一顯著特點(diǎn)，但較之基于阿氏圓背景的妙解1運(yùn)算量偏大.妙解2很好地運(yùn)用了向量的幾何性質(zhì)，其解法可謂“大道至簡(jiǎn)”，是神來(lái)之筆！

本文主要探究了阿氏圓中的一個(gè)幾何性質(zhì)在不同數(shù)學(xué)知識(shí)板塊中的應(yīng)用，給我們?cè)诮鉀Q這類問(wèn)題帶來(lái)了啟發(fā).像這樣利用蒙日?qǐng)A和阿氏圓等知識(shí)進(jìn)行專題教學(xué)，對(duì)同學(xué)們解題素養(yǎng)的提升是很有幫助的.需要指出的是，在專題學(xué)習(xí)時(shí)同學(xué)們不可陷入解題的思維定式，應(yīng)該讓新方法完善和充實(shí)我們的解題系統(tǒng).如在學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)阿氏圓好用便只從阿氏圓的角度思考和解決問(wèn)題，掉入用“新知識(shí)”覆蓋“舊知識(shí)”的陷阱，以致“邯鄲學(xué)步”，其實(shí)很多在我們看來(lái)不起眼的“舊知識(shí)”往往能給我們帶來(lái)驚喜，這一點(diǎn)例3的妙解2就做了很好的詮釋.

參考文獻(xiàn)：

[1]魏東升.巧用蒙日?qǐng)A，妙解一類題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究（華南師大版），2020（21）：30-31.

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