基本不等式在解題中的應(yīng)用

摘 要：本文以應(yīng)用的視角，探討基本不等式在求最值、證明不等式、解決恒成立問題、實(shí)際問題以及與其他知識(shí)點(diǎn)交匯的問題中的應(yīng)用.

關(guān)鍵詞：基本不等式;條件;高考;應(yīng)用

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2021）34-0064-03

收稿日期：2021-09-05

作者簡介：廖永福（1962-），男，福建省仙游人，本科，中學(xué)高級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.[FQ）]

基本不等式結(jié)構(gòu)簡單，形式優(yōu)美，它是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是高考數(shù)學(xué)的重要考點(diǎn).應(yīng)用時(shí)要依次滿足條件：一正、二定、三相等，三者缺一不可.基本不等式是解決最值問題的有力工具，在解題中有著廣泛的應(yīng)用.

一、求最值

應(yīng)用基本不等式求最值，關(guān)鍵在于構(gòu)造兩個(gè)正數(shù)之和（積）為定值，常用的方法有拆分法、配湊法、消元法和常數(shù)代換法等.基本不等式常用的變式有：（1）a2+b2≥2ab（a，b∈R）;（2）2（a2+b2）≥（a+b）2（a，b∈R）;

（3）（a+b2）2≥ab（a，b∈R）;（4）2（a+b）≥（a+b）2（a，b∈R+）等，靈活應(yīng)用這些變式，有事半功倍之效.

例1 （2020·江蘇）已知5x2y2+y4=1（x，y∈R），則x2+y2的最小值是.

分析 思路一：由條件等式消去x2，可得x2+y2=15y2+45y2，符合兩個(gè)正數(shù)15y2、45y2之積為定值，應(yīng)用基本不等式可解.

思路二：由條件等式可得4=（5x2+y2）·4y2，它表明兩個(gè)正數(shù)5x2+y2、4y2之積為定值，根據(jù)基本不等式的變式ab≤（a+b2）2（a，b∈R），可知5x2+y2與4y2之和有最小值.解法一（消元法） 由5x2y2+y4=1，得x2=1-y45y2.∵x2≥0，∴y2∈（0，1].

∴x2+y2=1-y45y2+y2=15y2+45y2≥215y2·4y25=45.

當(dāng)且僅當(dāng)15y2=45y2，即y2=12時(shí)，上式取“=”.

這時(shí)x2=1-y45y2=310，x2+y2的最小值為45.

解法二 （配湊法）∵4=（5x2+y2）·4y2≤（5x2+y2+4y22）2=254（x2+y2）2，∴x2+y2≥45.

當(dāng)且僅當(dāng)5x2+y2=4y2=2，即y2=12，x2=310時(shí)，上式取“=”.

∴x2+y2的最小值為45.故答案為45.

點(diǎn)評(píng) 本題考查應(yīng)用基本不等式求最值，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力.解法一思路樸實(shí)，過程直接.解題關(guān)鍵是消元.把目標(biāo)代數(shù)式表示成關(guān)于y的函數(shù)，直接應(yīng)用基本不等式求解;解法二構(gòu)思巧妙，方法靈活，解題關(guān)鍵是由條件等式構(gòu)造出兩個(gè)正數(shù)5x2+y2與4y2之積為定值，進(jìn)而可用基本不等式的變式求解，屬于中檔題.

二、證明不等式

應(yīng)用基本不等式證明不等式，常常與分析法、綜合法、作差（商）法等結(jié)合使用，解題關(guān)鍵依然是構(gòu)造兩個(gè)正數(shù)之和（積）為定值，使之符合基本不等式的三個(gè)條件.

例2 （2020·全國卷Ⅲ（理））設(shè)a，b，c∈R，a+b+c=0，abc=1.

（1）證明：ab+bc+ca<0;

（2）用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，證明：max{a，b，c}≥34.

分析 （1）由（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=0結(jié)合不等式的性質(zhì)，即可得出證明;（2）不妨設(shè)max{a，b，c}=a，由題意得出a>0，b，c<0，由a3=a2·a=b+c2bc=b2+c2+2bcbc，結(jié)合基本不等式，即可得出證明.

解答 （1）∵（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=0，

∴ab+bc+ca=-12a2+b2+c2.

∵abc=1，∴a，b，c均不為0，則a2+b2+c2>0，

∴ab+bc+ca=-12a2+b2+c2<0.

（2）不妨設(shè)max{a，b，c}=a，由a+b+c=0，abc=1可知，a>0，b<0，c<0.

∵a=-b-c，a=1bc，∴a3=a2·a=b+c2bc=b2+c2+2bcbc≥2bc+2bcbc=4.

當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)，上式取“=”，∴a≥34，即max{a，b，c}≥34.

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查不等式的性質(zhì)以及基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題.

三、恒成立問題

對于含參數(shù)的不等式恒成立問題，常常將它轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題求解.常用的結(jié)論有：（1）任意x∈D，f（x）>m恒成立f（x）min>m;（2）對任意x∈D，f（x）

例3 （2017·天津（理））已知函數(shù)f（x）=x2-x+3，x≤1，x+2x，x>1.設(shè)a∈R，若關(guān)于x的不等式f（x）≥|x2+a|在R上恒成立，則a的取值范圍是（）.

A.[-4716，2]B.[-4716，3916]C.[-23，2]D.[-23，3916]

分析 關(guān)于x的不等式f（x）≥x2+a在R上恒成立等價(jià)于-f（x）-x2≤a≤f（x）-x2在R上恒成立，于是問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.

解答 關(guān)于x的不等式f（x）≥x2+a在R上恒成立等價(jià)于-f（x）≤a+x2≤f（x），即-f（x）-x2≤a≤f（x）-x2在R上恒成立.

設(shè)g（x）=-f（x）-x2，h（x）=f（x）-x2，則g（x）max≤a≤h（x）min.

當(dāng)x≤1時(shí)，g（x）=-x2+x2-3=-（x-14）2-4716，當(dāng)x=14時(shí)，g（x）max=-4716;

h（x）=x2-32x+3=（x-34）2+3916，當(dāng)x=34時(shí)，h（x）min=3916.所以-4716≤a≤3916.

當(dāng)x>1時(shí)，g（x）=-32x-2x=-（32x+2x）≤-23，當(dāng)且僅當(dāng)32x=2x，即x=233時(shí)，“=”成立，故

g（x）max=-23;

h（x）=x2+2x≥2x2×2x=2，當(dāng)且僅當(dāng)x2=2x，即x=2時(shí)，“=”成立，故h（x）min=2.

所以-23≤a≤2.

綜上，-4716≤a≤2.故選A.

點(diǎn)評(píng) 本題考查絕對值不等式，考查不等式恒成立問題的解法，考查二次函數(shù)最值的求法，考查利用基本不等式求函數(shù)的最值.解題關(guān)鍵是如何把不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，屬中檔題.

四、實(shí)際問題

應(yīng)用基本不等式解決實(shí)際問題時(shí)，一般把要求最值的變量定義為因變量，根據(jù)實(shí)際問題抽象出函數(shù)的解析式后，利用基本不等式求出函數(shù)的最值，注意檢驗(yàn)解是否在定義域內(nèi).

例4 （2017·江蘇）某公司一年購買某種貨物600噸，每次購買x噸，運(yùn)費(fèi)為6萬元/次，一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為4x萬元.要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，則x的值是.

分析 寫出一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和y=600x×6+4x（0

解答 依題意，一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和y=600x×6+4x（0

∵y=600x×6+4x≥2600x×6×4x=240（萬元），

∴當(dāng)且僅當(dāng)600x×6=4x，即x=30時(shí)，上式取“=”.故答案為30.

點(diǎn)評(píng) 本題考查基本不等式的實(shí)際應(yīng)用，考查推理與運(yùn)算能力，屬中檔題.

五、與其它知識(shí)點(diǎn)交匯的問題

與其它知識(shí)點(diǎn)交匯的問題是高考的熱點(diǎn)，解決這類問題一般從這些知識(shí)點(diǎn)出發(fā)，建立變量之間的等量關(guān)系，再選用適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼?

例5 （2018·江蘇）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D，且BD=1，則4a+c的最小值為.

分析 根據(jù)面積關(guān)系建立a，c的方程，再用基本不等式求解.

解答 由題意可知，S△ABC=S△ABD+S△BCD，由角平分線性質(zhì)和三角形面積公式得12acsin120°=12a×1×sin60°+12c×1×sin60°.

化簡，得ac=a+c，1a+1c=1.

因此4a+c=（4a+c）（1a+1c）=5+ca+4ac≥5+2ca·4ac=9.

當(dāng)且僅當(dāng)ca=4ac，即c=2a=3時(shí)，上式取“=”.所以4a+c的最小值為9.

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形的面積公式，考查基本不等式的應(yīng)用，利用常數(shù)代換法是解決本題的關(guān)鍵，屬中檔題.

例6 （2020·全國卷Ⅱ（理））設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線x=a與雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的兩條漸近線分別交于D，E兩點(diǎn)，若△ODE的面積為8，則C的焦距的最小值為（）.

A.4B.8C.16D.32

分析 根據(jù)雙曲線的漸近線方程求出點(diǎn)D，E的坐標(biāo)，根據(jù)△ODE的面積為8，可得ab的值，再結(jié)合基本不等式，即可求得答案.

解答 由題意可得雙曲線的漸近線方程是y=±bax，分別將x=a代入上式得y=±b，即D（a，b），E（a，-b）.∴△ODE的面積為S△ODE=12a·2b=ab=8.

∴C的焦距2c=2a2+b2≥22ab=8.

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=22時(shí)，上式取“=”.∴C的焦距的最小值為8.故選B.

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查雙曲線的性質(zhì)和漸近線方程，考查基本不等式的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是應(yīng)用a2+b2≥2ab建立雙曲線的焦距與△ODE的面積之間的關(guān)系，屬于中檔題.

從上述例子可以看出，應(yīng)用基本不等式解題要注意以下兩點(diǎn)：一是注意基本不等式成立的條件;二是合理構(gòu)造基本不等式中的和或積.

練習(xí)

1.（2020·海南）已知a>0，b>0，且a+b=1，則（）.

A.a2+b2≥12 B.2a-b>12

C.log2a+log2b≥-2D.a+b≤2

2.（2020·天津）已知a>0，b>0，且ab=1，則12a+12b+8a+b的最小值為.

3.（2013·上海）設(shè)常數(shù)a>0，若9x+a2x≥a+1對一切正實(shí)數(shù)x成立，則a的取值范圍為.

4.（2014·湖北）某項(xiàng)研究表明：在考慮行車安全的情況下，某路段車流量F（單位時(shí)間內(nèi)經(jīng)過測量點(diǎn)的車輛數(shù)，單位：輛/小時(shí)）與車流速度v（假設(shè)車輛以相同速度v行駛，單位：米/秒）、平均車長l（單位：米）的值有關(guān)，其公式為F=76000vv2+18v+20l.

（1）如果不限定車型，l=6.05，則最大車流量為輛/小時(shí);

（2）如果限定車型，l=5，則最大車流量比（1）中的最大車流量增加輛/小時(shí).

5.（2020·全國卷Ⅱ（理））△ABC中，sin2A-sin2B-sin2C=sinBsinC.

（1）求A;（2）若BC=3，求△ABC周長的最大值.

答案：1.ABD 2.4 3.[15，+SymboleB@） 4.1900，100

5.（1）2π3;（2）3+23.

參考文獻(xiàn)：

[1]鄧清.基本不等式解高中數(shù)學(xué)問題探析[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2019（19）：139.

[2]葉珊.基本不等式的應(yīng)用問題例談[J].數(shù)理化解題研究，2019（34）：31-32.

[責(zé)任編輯：李 璟]