一元函數(shù)的28類不同的極限定義

◇上海立信會計金融學(xué)院統(tǒng)計與數(shù)學(xué)學(xué)院 張 麗

極限是高等數(shù)學(xué)中最基本、最重要的一個概念，有著多種多樣的形式，是初學(xué)高等數(shù)學(xué)者最難以真正掌握的。本文用鄰域的概念給出了一元函數(shù)極限的一個統(tǒng)一的定義。然后，根據(jù)鄰域的不同表述，給出了一元函數(shù)的28個不同類型的極限的概念。

函數(shù)是高等數(shù)學(xué)的主要研究對象，高等數(shù)學(xué)就是一門研究函數(shù)的性質(zhì)的一門學(xué)科。而極限則是高等數(shù)學(xué)中最基本、最重要的概念，沒有之一。包括函數(shù)的連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)和定積分等諸多性質(zhì)都是通過極限來定義的。同時，極限也是高等數(shù)學(xué)中最難理解和掌握的概念，是學(xué)好高等數(shù)學(xué)的關(guān)鍵。但是，許多初學(xué)者卻不能真正掌握其內(nèi)涵，對各種各樣的極限的定義一籌莫展。

極限的描述性定義為：如果當(dāng) 無限趨近于（可以是無窮大）時，函數(shù)的值無限趨近于常數(shù)（或無窮大），則稱（或無窮大）是 趨于 時函數(shù)的極限。記作

在上述描述中，有兩個問題需要我們?nèi)ソ鉀Q：第一個問題是對兩個“無限趨近于”的模糊表述我們需要給出一個定量的表示；第二個問題是要理清楚這兩個“無限趨近于”之間的邏輯關(guān)系。

為了將“無限趨近于”這個表達(dá)進(jìn)行量化，一代又一代的數(shù)學(xué)家付出了巨大的努力才最終實(shí)現(xiàn)。本文首先給出了鄰域的各種定義，然后由鄰域給出一元函數(shù)的極限的一個統(tǒng)一的概念，最后基于鄰域的不同表達(dá)給出了28個不同的極限的定義。

1 鄰域的定義

2 極限的總的定義

3 28個不同極限的定義

表1