一種SEIR傳染病模型及其應用

◇成都師范學院數學學院 李 卓 代月紅 楊曉芳

本文將人群分成易感者、暴露者、感染者、康復者四類，建立SEIR模型，并用MATALB進行數據分析和靈敏度探究，得到傳染病分析的幾大著手點，借助模型預測疫情發展趨勢，并提出相應的抑制措施和有力的防控建議。

因其固有的廣泛應用性，傳染病的數學模型一直是研究熱點之一。例如文獻1借助數學模型分別研究了疫苗接種、媒體報道及治療措施對傳染病傳播影響，文獻2分析了一類SIR型傳染病模糊控制數學優化模型。現目前，國際上普遍都遭受新型冠狀病毒肺炎疫情的嚴重打擊，國內也還或多或少受此疫情的影響。這引起了人們對傳染病更空前的研究熱情。例如，文獻3就建立了合適的數學模型，并借助模型對重慶市新型冠狀病毒肺炎（NCP）疫情分析與趨勢進行了早期的一些應用SEIR模型對新型冠狀肺炎的研究，數據在一定程度上有限，本文有效的克服了這一不足。本文先闡述SEIR模型，提出適當的修正，通過應用SEIR模型對四川省內的新冠肺炎疫情進行具體的分析，對國內外一些地區對于新冠肺炎疫情的防控安排、醫療物質分配等的具體措施提供一定的參考價值。

1 模型分析

SEIR模型具有很高的代表性，考慮也比前三個模型全面，此模型主要考慮易感者（S）、暴露者（E）、感染者（I）、康復者（R）這四大人群，這四個量都隨著時間的變化而變化，在達到一定的時間后，各個群體都將趨于一個穩定的數值。

1.1 模型假設

在建立模型前，進行如下假設：

（1）暫時不考慮本地人口的出生和死亡，人口數量在研究時間段內保持不變。

（2）感病者在治愈后的有一定的免疫能力，但是不排除再被感染的情況。

（3）模型中的感染者一經發現，就會進行及時的隔離和治療，沒有與外界人員接觸的能力；

（4）在達到一定的時間后，各個群體都將趨于一個穩定的數值。

1.2 SEIR模型的建立

經典的SEIR模型[4]將人群分為四大類，其中S為易感者（Susceptible），指未得病者，但缺乏免疫能力，與感染者接觸后容易受到感染；E為暴露者（Exposed），指接觸過感染者，但暫無能力傳染給其他人的人，對潛伏期長的傳染病適用；I為感病者（Infective），指染上傳染病的人，可以傳播給S類成員，將其變為E類或I類成員；R為康復者（Recovered），指被隔離或因病愈而具有免疫力的人。如免疫期有限，R類成員可以重新變為S類。隨著時間的推移，所有的人群都將成為康復的人群。表示感染率，為潛伏期的康復率，為患者康復率，為潛伏期的發病率。人群的轉化關系如圖1所示。

圖1

2 實證分析

2.1 新型冠狀病毒疫情簡介

四川省新型冠狀肺炎疫情的相關數據顯示，該省最嚴峻的時間段是2020年1月到4月，但樣本總體不大，后期經過嚴密部署，得到了很好的控制，現階段四川省內疫情逐漸于平穩，隨著復工復產等相關工作的開展，疫情防控工作依舊嚴峻。

2.2 數據來源

本文數據均來自四川省衛生健康委員會，從1月22日至4月30日每日發布的疫情官方數據[4]。

2.3 數值模擬

根據四川省衛生健康委員會每日發布的疫情官方數據，統計感染者、康復者、暴露者的數據，根據實際情況考慮易感者。四川省1月22日至4月30日每日發布的疫情官方數據，包括新冠肺炎確診病例、醫學觀察病例、治愈病例。這些數據均為每日新增加人數，計算累計確診的人數，得出相關的治愈比率。在對四川省新冠肺炎疫情現狀進行簡單的分析之后，對該問題進行數學建模，對比了幾大傳染病的數學模型：SI模型、SIS模型、SIRS模型和SEIR模型，在該模型中初始感染人口占比取0.01，初始健康人口占比取0.98，初始潛伏人口占比0.01，初始治愈人口占比取0，在疫情爆發后的一周內，四川省內暫無治愈病例，而且感染的人數和密切接觸的人數還沒有完全確定，因此初始各項數值占比例皆為暫時取值。根據四川省1月22日至4月30日每日發布的疫情官方數據，可以得到治愈人口占比達到0.99。感染的人口所占比例也在逐步減小，至2月份以來許多城市和地方的采取了一定的措施，封閉小區、暫時關閉超市等商鋪，在一定程度上影響了上述四大群體的變化。SEIR模型在理想環境下會有一個更好的應用效果，理想環境是感染人群和普通群眾充分混合的環境[5]，當下環境及時采取了小區封閉、商鋪停業、區域隔離等相關措施，感染者群體（I）與易感者群體（S）接觸機會較小，因此不能使用全省的人口進行相關數據處理以及數據分析。為了使SEIR模型同樣的達到較好效果，該模型需要估計易感者（S）群體的所占比值 。通過數據分析、靈敏度探究并且考慮到四川省內新冠肺炎疫情防控近狀，將[0 300],[0.01 0.98 0.01 0]帶入，使用MATLAB編寫SEIR模型的微分方程進行求解，最后作出可視化的結果。隨著時間推移感染者（I）群體所占比例越來越小，最終會趨近于零，這是因為在潛伏期內暴露者從康復者在變為感染者群體過程中所占的比例遠小于暴露者變為感染者的比例。

3 結語

本文運用四川省1月22日至4月30日每日發布的疫情官方數據，為了更好地展現SEIR模型的實際價值，將時間擴展到了300天，利用MATLAB進行圖像繪制，能夠更直觀看到易感者（S）、暴露者（E）、感染者（I）、康復者（R）這四大群體所占比例的變化及相關趨勢，從而可以為一些國家和地區提供新冠肺炎疫情防控措施相關的建議。從SEIR模型中，可以限制感染者（I）出行，減少或者隔絕與易感者（S）的接觸；易感者（S）在正常的出行中應當做好相應的防護措施，避免成為暴露者（E）群體；感染者（I）變為康復者（R），醫院可加強對最佳治療方案的探究與論證，提高治愈率，定期對康復者（R）進行回訪和相關檢查；并且加大對疫苗研究的力度，提高核酸檢測準確度，并且采用最佳的檢測方案。在政府的大力倡導下，一段時間居家防控隔離措施，抑制疫情大面積傳播，并且及時對感染者所接觸過的人員進行密切的追蹤和隔離，有效地防止了疫情的迅速增長。現階段四川省內的疫情相對比較穩定，還是應當時刻警惕疫情反復，注意外防輸入、內防擴散，繼續做好相關的疫情防控工作。針對一些國外疫情波動較大的地區，能夠做到以人為本，向中國政府學習，采取有效的疫情防控措施，為構建人類命運共同體作出自己的努力。