變式訓練探究有感

廣東省深圳市南山區(qū)蛇口育才教育集團育才二中 甄微微

現(xiàn)代數(shù)學課程標準指出，數(shù)學教學不僅要使學生獲得數(shù)學基礎知識、基本技能，更要使學生獲得數(shù)學思想和方法，形成良好的數(shù)學思維品質(zhì)，要通過各種途徑，讓學生體會數(shù)學思考和創(chuàng)造的過程，增強數(shù)學學習的興趣和自信心，不斷提高學生自主學習的能力。所以在教學中注重變式訓練，可以促使學生的思維向多層次、多方向發(fā)散，有助于學生在解決問題時尋找類似問題的解決方法，從而培養(yǎng)學生自主分析問題、解決問題的能力。對于初中生而言，其數(shù)學思維的培養(yǎng)主要還是依靠課堂教學，因此，在數(shù)學教學中，一題多解、一題多變是數(shù)學老師在教學過程中常用的方法。

“將軍飲馬”問題是中考專題復習中的熱點問題之一，涉及的知識有：兩點之間線段最短、垂線段最短、三角形三邊關系、軸對稱平移等。問題背景可能為：角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圓、拋物線等。知識比較綜合，也比較難掌握。

【問題背景】

“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，這是唐代詩人李頎《古從軍行》里的一句詩，由此引申出一系列非常有趣的數(shù)學問題，通常稱為“將軍飲馬”。

【問題描述】

如圖1，將軍在圖中點A處，現(xiàn)在他要帶馬去河邊喝水，之后返回軍營B，問：將軍怎么走能使得路程最短？

圖1

【問題簡化】

如圖1，在直線上找一點P使得PA+PB最小。

【問題分析】

這個問題的難點在于PA+PB是折線段，通過觀察圖形很難得出結(jié)果，關于最小值，我們知道“兩點之間，線段最短”“點到直線的連線中，垂線段最短”等，所以此處需轉(zhuǎn)化問題，將折線段變?yōu)橹本€段。

圖2

【問題解決】

如圖2，作點A關于直線的對稱點A'，當A'、P、B三點共線的時候，PA'+PB=A'B，此時為最小值（兩點之間線段最短）。

讓學生體會轉(zhuǎn)化的思路和方法，從“形”的角度找到取得最值時的點，進而就可以從“數(shù)”的角度求值了。

例1：【兩定一動之點點】如圖3，在平面直角坐標系中，點A、B的坐標分別為（1，5）和（4，0），點C是y軸上的一個動點，且A、B、C三點不在同一條直線上，當△ABC的周長最小時，點C的坐標是 。

圖3

變式一：【一定兩動之點點】如圖4，在OA、OB上分別取點M、N，使得△PMN的周長最小。

變式二：【兩定兩動之點點】如圖5，在OA、OB上分別取點M、N，使得四邊形PMNQ的周長最小。

圖5

變式一和變式二分別是兩次作對稱點轉(zhuǎn)化為“兩點之間線段最短”，讓學生在鞏固前面基本模型的同時，又提升了一點難度，符合學生的“最近發(fā)展區(qū)”，易產(chǎn)生成就感。

變式三：【一定兩動之點線】如圖6，在OA、OB上分別取M、N，使得PM+MN最小。

圖6

變式三通過作一次對稱轉(zhuǎn)化為“直線外一點與直線上所有點的連線中，垂線段最短”，模型有變化，提升學生的靈活運用能力。

思考：“將軍飲馬”模型還可以怎樣變式呢？

從以下兩個方面入手：

（1）改變條件。

（2）改變結(jié)論。

小組內(nèi)同學在組長的組織下完成，充分調(diào)動學生的積極性，主動探索、思考、總結(jié)，課上完成不了的課下完成。

每組派代表對上面所思考的問題進行分享，問題背景可以為：平行四邊形、矩形、菱形、正方形以及二次函數(shù)等綜合問題。結(jié)論可以為：線段和最小，三角形、四邊形的周長最小以及求點的坐標等（如圖7）。

圖7

學生在分享的同時加深了對知識的理解和掌握，這也是知識不斷內(nèi)化的過程，同時能調(diào)動學生的積極性和創(chuàng)新精神。

變式四：如圖8，已知將軍在圖中點A處，現(xiàn)要過河去往B點的軍營，橋必須垂直于河岸建造，問橋建在何處能使路程最短？

圖8

圖9

問題分析：考慮MN長度恒為定值，只要求AM+NB的最小值即可，問題在于AM、NB彼此分離，因此可以通過平移使AM與NB連在一起，即將AM向下平移，使得M與N重合，此時A點落在A'位置。顯然，A'、N、B三點共線時路程最短（如圖9），進而可求。

例2：如圖10，已知直線l1//l2，l1、l2之間的距離為8，點P到直線l1的距離為6，點Q到直線l2的距離為4，PQ=4，在直線l1上有一動點A，直線l2上有一動點B，滿足AB⊥l2，且PA+AB+BQ最小，此時PA+BQ= 。

圖10

讓學生體會轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，通過平移將問題轉(zhuǎn)化為我們前面已經(jīng)講過的類型，這是初中數(shù)學學習中非常重要的一種方法。

思考：如圖11，在直線上找一點P使得|PA-PB|最大，這樣的點P是否一定存在？

圖11

【課后反思】

一、通過一題多變，總結(jié)規(guī)律，培養(yǎng)學生思維的深刻性

學習了“將軍飲馬”的基本模型（兩定一動之點點）后，讓學生嘗試通過改變題目的已知條件、結(jié)論的方法，體會“萬變不離其宗”。可通過改變題目的已知條件，轉(zhuǎn)變?yōu)橐越恰⑷切巍⑵叫兴倪呅巍⒕匦巍⒘庑巍⒄叫巍A、拋物線等為背景的問題，總結(jié)規(guī)律，體會轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想；也可以改變結(jié)論，變?yōu)槿切巍⑺倪呅蔚闹荛L最小的問題以及求點的坐標等問題。變式訓練的目的不是解決一個問題，而是解決一類問題，杜絕“題海”。通過原題目延伸出更多具有相關性、相似性的問題，能夠更好地培養(yǎng)學生思維的深刻性，進而觸類旁通。

二、一題多解，通過變式培養(yǎng)學生的發(fā)散思維能力以及思維的嚴謹性

教學中要重視對數(shù)學知識的探究，滿足學生求異心理的需求，發(fā)揮習題的變式功能，提倡解法的多樣性，讓學生能夠感受因創(chuàng)新所帶來的成功的喜悅。這里的一題多解包括一道題目有多個答案以及一道題目有多種解法。

例如：等腰三角形的一個內(nèi)角為100度，那么它的頂角為_。

變式：等腰三角形的一個內(nèi)角為50度，那么它的頂角為_。

類似的變式訓練，不僅有利于根治學生對多種情況題目的漏解問題，也充分激勵了學生，培養(yǎng)了他們的創(chuàng)新探索精神，在提升學生發(fā)散思維能力的同時，也培養(yǎng)了學生數(shù)學思維的嚴謹性。

三、引入小組競爭機制，充分調(diào)動學生的積極性和創(chuàng)造性

對于一題多變，在老師的引導下，充分鼓勵學生通過小組交流、討論的方式，在組長的帶領下對題目的條件、結(jié)論進行變式，改變了單一的方式，同時也極大地調(diào)動了學生的積極性和創(chuàng)新精神。比如上面的“將軍飲馬”模型，引導學生進行討論，進而總結(jié)出改變條件或結(jié)論的題型，增強學生的參與意識。

四、通過課后練習及時反饋學生的知識掌握情況，并及時反思、改進

可通過A、B卷練習的方法，及時反饋學生的掌握情況，發(fā)現(xiàn)問題及時講評。許多數(shù)學習題看似不同，但它們的解題思路、方法是一樣的，這就要求老師在教學中重視對這類問題的收集、比較，引導學生尋求解決這類問題的通法，讓學生在這個過程中自主地感悟問題之間的內(nèi)在聯(lián)系，形成數(shù)學思想方法。

綜上所述，變式訓練是一個很好的載體，通過改變題目的條件、結(jié)論或方法的途徑，加深學生對基礎知識的理解、基本技能及思想方法的掌握，體會“萬變不離其宗”，非常有助于提高學生分析問題、解決問題的能力。在變式訓練的過程中，極大地調(diào)動了學生學習數(shù)學的積極性，學生的解題能力也有所提升。但過程中也存在諸多不足，比如偶爾有個別學生會主動提出一些變式問題，但絕大多數(shù)學生依然是在老師的帶領下被動地進行變式訓練，再比如關于變式題目、例題、練習的選擇，怎樣能更加適合所教學生的實際，達到學生的“最近發(fā)展區(qū)”等問題，還需要在后續(xù)的教學過程中不斷探索。