高中數學數列通項公式的求解技巧

湖南人文科技學院數學與金融學院 曾偉華 龍承星

數列是一種特殊的函數，是反映自然規律的一種基本數學模型,是高中數學教學與高考考查的重要內容。數列通項公式an=f（n）表明了數列中項an與項數n之間的關系，對闡明數列整體結構及每一項的特點具有重要意義。

一、公式法

二、累加法

對形如an=an-1+f（n）型的遞推式，我們能通過移項得到相鄰兩項的差為一個特殊的函數關系an-an-1=f（n），再用代入法將所有式子累加起來相互抵消，就可得到只含有a1、an的式子(在化解過程中，通常要使用等差數列求和、等比數列求和、裂項相消、錯位相減等方法)，最后通過整理得出所求數列的通項公式。

三、累乘法

四、數學歸納法

通過計算數列的前面幾項，再觀察數列中an與項數n的關系，猜想數列通項公式的表達式，最后再利用數學歸納法來證明所猜想的表達式對任意項數n都成立，即所猜想的表達式為所求數列的通項公式。

五、對數變換法

解題分析：關于此類只含有乘法的遞推公式，要想辦法將乘法轉化成加法，就可以運用取對數的思想，由此處理遞推公式更容易構造特殊函數進行求解，該方法體現了算法思想和轉換思想。此類方法的優點是將復雜的運算簡單化，降低推理難度，不足之處是要求遞推式左右兩邊只含有乘法運算，且取值范圍大于零。

六、構造法

運用常用的構造引理構造新的數列求解，將陌生的數列轉換為兩類特殊的數列，再來進行處理。該方法就是不斷地將“未知”轉換成“已知”，極富技巧性和創造性，難度系數很高，難以把控，體現了轉換化歸的數學思想，有利于培養學生的創造性和發散性思維。

七、倒數變換法

對于分子簡單而分母相對復雜的等式分式，可以考慮等式兩邊同時取倒數，再分離常數，構造新的等比數列來過渡，從而得到數列通項公式。要注意的是分母不能為零，遇到特殊的就需要進行說明。

本文總結了七種求解數列通項公式的方法，其中，公式法中體現了分類討論思想，數學歸納法體現了由特殊到一般的思想和歸納總結的數學思想，累加法、累乘法、構造法、對數變換法和倒數變換法則體現了轉化劃歸思想，特征方程法與導數積分法體現了函數與方程思想、轉換思想。由此可以看出數列通項公式的求解考題之靈活多變，所以數學方法的積累和數學思想的培養及其重要，希望老師和學生都能在這方面多下功夫，提高自身的數學素養。