不同慣性系下系統機械能守恒相對性問題的再探討

徐 學 尹 華

（江蘇省蘇州中學園區校，江蘇 蘇州 215021）

1 問題提出

涉及機械能守恒與機械能守恒定律的相對性問題一直是大家熱議的話題.《大學物理》雜志多次刊登文章進行討論，《物理教師》與《物理通報》雜志也多次刊登文章進行討論.比如文獻［1］中的例1論證了以相對于地面做勻速運動的小車為參考系滑塊機械能守恒，以地面為參考系滑塊的機械能不守恒，而文獻［2］中的對有相同本質的實例的分析中證明了以地面為參考系和以相對于地面做勻速運動的小車參考系機械能都守恒.顯而易見，對于同本質的實例，不可能兩個結論都是成立的.這其中是什么原因呢？如果真如文獻［1］所說機械能守恒對于不同的慣性參考系具有相對性.而伽利略原理指出對于物理學規律來說：一切慣性系都是等價的.機械能守恒的相對性是否與伽利略相對性原理相違背呢？

下面筆者先從理論上推導具有普遍意義的功能原理及機械能守恒條件的表達式以及在參考系轉換后功能原理及機械能守恒條件表達式.再通過實例討論不同慣性參考系機械能守恒是否具有相對性，然后指出文獻［1］，［2］論證過程中值得探討的地方，最后給出較為完善的結論.

2 理論討論

機械能守恒是指在某一過程中系統在勢力場（保守力場）中運動時，動能與勢能相互轉化，其機械能保持不變.機械能守恒是有條件的，文獻［3］中指出

（1）S系中力場與時間有關的系統的功能定理.

對任一慣性系中各質點的位置和速度分別為ri和i（i=1，…，n）的n質點系統，如果除受到與時間t有關的勢函數分別為Epin和Epout的有勢內力fini和有勢外力fouti的作用外，還受到其他力fothi（i=1，…，n）的作用，則系統的機械能E的變化率為

當慣性系不是慣性參考系時，只需要引入慣性力，然后將慣性力視為其它非保守力，上式還是適用.

（2）力場與時間有關的系統的機械能守恒定律.

式（1）也可以化為

（3）S′系中力場與時間有關的系統的功能定理.

現在將（4）式進行伽利略變換，

對于S′系，真實的力在伽利略變換下是不變量，相互作用內力總是成對出現的，且一對相互作用內力的功之和與參考系變換無關.［4］也就是只要是內力，無論是保守力還是非保守力所做功的值在不同的慣性參考系觀察是一樣的，則

由文獻［3］中定義1可知，在外力場概念下質點的重力勢能就是內力場概念下質點與地球之間相互作用勢能.換句話說如果我們選的研究對象是質點，重力場就是外力場，但我們可把它轉換為質點與地球為系統，兩種情況下重力勢能是相同的.結合內力做功與參考系無關，則可得到，

（13）式是條件部分，（14）式是結論部分.文獻［5］（第73頁）所說對于物理學規律來說，一切慣性系都是等價的.也就是說不存在特殊的優先的慣性系，物理規律在各個慣性系中都有相同的形式.由上面的論證，功能原理表達式在S系與S′中都相同.機械能守恒定律作為功能原理的特例，無論在S系或在S′系，只要滿足條件式（2）和式（13），定有結論（3）或（14）成立.

結論2：機械能守恒定律對所有的慣性系都適用，它滿足伽利略變換不變性，服從力學相對性原理.

也就是系統在S系中滿足機械能守恒，換了另一個相對S系做勻速直線運動的S′系就不一定滿足機械能守恒的條件，從而機械能就不守恒.文獻［4］第74頁表明：“一切慣性系都等價”并不是指人們在不同慣性參考系中所看到現象都一樣，而是指不同慣性參考系中動力學規律都一樣.如勻速行駛的大船上自由下落的水滴，在船上和地面上的人所看到的現象是不同的.但是水滴的運動都遵循牛頓運動定律.因此相對性原理雖然保證機械能守恒定律對于所有的慣性系都成立，但是它不能保證機械能守恒的事實對于所有慣性參考系都成立.［3］

例1.如圖1所示，質量分別為m的小球相對地面做自由下落，一電梯相對于地面以恒速v0下降.地球的質量為Me，研究地面參考系與電梯參考系中物體與地球為系統機械能是否守恒？

圖1

方法1：從機械能的定義角度來討論.

以地面為參考系：小球從A運動到B，顯然機械能守恒

E2-E1=-0·（m2-m1）顯然以電梯為參考系，物體與地球這個系統的機械能不守恒.如何來解釋上述的結果呢？

方法2：從機械能守恒條件來討論.

對于以小球與地球為系統，小球與地球之間的相互作用力是內力，由質心運動定理可知，質心的加速度為0.

因此以質心為參考系可以看作為慣性系.如果以地面為參考系還是慣性系嗎？

如圖2，圖中mg是地球對小球的吸引力，-mg是小球對地球的吸引力，這兩個力是“小球與地球”這個系統的內力，地球由于受到小球吸引力-mg的作用，相對于質心參考系（慣性系）的平動加速度為

圖2

電梯相對于地面做勻速運動，因此這也是電梯相對于質心參考系的平動加速度.

由上可知地面和電梯參考系都不是慣性系，當把地面與電梯作為慣性系研究時，要引入慣性力作為系統的外力.

由此可見以電梯為參考系，系統的機械能將不再守恒，機械能的增量就是地球受的慣性力所做的功.本實例說明不同慣性系的機械能守恒是相對的.

3 有關文獻的說法的探討

（1）文獻［1］中例3的探討.

圖3

由文獻［3］中所述：在外力場（以質點為研究對象）概念下質點的重力勢能就是內力場（以質點與地球為系統）概念下質點與地球之間的相互作用勢能.及約定質點與地面距離為0時質點與地球之間的相互作用勢能即重力勢能為0.

在以電梯為參考系B中重力勢能為

把式（16）代入式（17）

再由小球所受的外力的慣性力的功可以忽略不計.則由式（1）可知

由上式可知，小球以電梯為參考系是機械能不守恒的.機械能不守恒的根源在于外力場的勢函數顯含時間，勢函數顯含時間的關鍵是重力場源地球是相對于電梯運動的.文獻［1］中得出質點在電梯參考系中機械能守恒原因是沒有考慮由于重力場源的運動引起機械能的變化，作者采用的方法是在地面參考系時以地面為重力勢能的零點，而在電梯參考系中又以電梯的底部為重力勢能的零點，在同一問題中，特別是討論轉換參考系的問題時，改變重力勢能零點選取是不合適的.由于在轉換參考系時小球與地球的相對位置是不會因為參考系的變換而變化的，所以對于重力勢能的約定比較合適的是：質點與地面距離為0時質點與地球之間的相互作用勢能（重力勢能）為0.當然如不考慮參考系的轉換時，為了研究方便可以選升降機地板為參考平面，則小球的機械能確實守恒.

（2）文獻［2］中機械能守恒論證的探討.

文獻［2］中實例：如圖4所示，水平地面上固定一個高為h、傾角為θ的光滑斜面.有一質量為m的小滑塊（可視為質點），從斜面頂端由靜止沿斜面自由下滑，同時有一小車相對于地面以速度u向右勻速運動.試討論地面參考系和小車參考系中，滑塊機械能是否守恒.

圖4

圖5

（3）文獻［1］與文獻［2］中結論不一致的解釋.

讀者可能感到疑惑的是，文獻［1］中的例1中證明過程是正確的，得出以小車為參考系滑塊機械能是守恒的，而以地面為參考系機械能是不守恒的.而文獻［2］中實例中證明出在兩個參考系中機械能都是守恒的，如何來解釋呢？

文獻［1］中例1如下.如圖6所示，固定在車廂內的光滑斜面，傾角為θ，車廂以速度v0勻速前進，斜面上質量為m的滑塊從斜面頂端自由滑下，試分析：以地面為參考系，滑塊在下滑過程中機械能是否守恒？

圖6

上式的值就是文獻［1］中推導出機械能的增量.

圖7

文獻［2］中選取的系統是地球和滑塊和斜面三者為系統，因此斜面產生支持力與滑塊對斜面的壓力變為一對內力，這對內力做功的代數和為0，不影響系統的機械能.所以以小車為參考系與以地面參考系機械能都守恒.但只要小車有豎直方向的分速度，則以小車為參考系機械能不守恒.

4 不同慣性參考系機械能守恒問題的綜述

同一實例，討論機械能在不同的參考系中是否都守恒的問題時需考慮4個關鍵詞：① “系統”，選哪些物體為系統，這樣能確定外力與內力.② “過程”，研究的是哪個時間段.③ “參考系”，如果是非慣性系，在受力分析時要注意加上慣性力（和內力相比不可忽略）作為非保守外力處理.④ “重力勢能零點的選取”，考慮參考系的轉換，應當選取質點與地面距離為0時質點與地球之間的相互作用勢能即重力勢能為0.只有這4者都確定了才能討論機械能守恒問題.否則就失去了討論的基礎.

伽利略相對性原理中指的一切慣性系都是等效的是指物理規律在不同的參考系中是相同的，但并不表示不同慣性參考系中所見的現象是一樣的，所以相對性原理能保證在不同參考系中機械能守恒定律都成立，但不能保證不同慣性參考系中同一事件機械能都守恒.因此機械能守恒的相對性并不違背相對性原理.