退化拋物型方程源項系數(shù)識別反問題

任如霞

(蘭州交通大學(xué) 數(shù)理學(xué)院,甘肅 蘭州 730070)

0 引言

一直以來,大家對經(jīng)典拋物型方程的研究比較深入,而對退化模型的研究比較少.但是,由于實際問題的需要,特別是現(xiàn)代金融的發(fā)展,偏微分方程的退化越來越受到關(guān)注.例如,著名的Black-Scholes方程:

(1)

是期權(quán)定價的基本工具(見[1-4]),其中：U為期權(quán)價格；S為標(biāo)的資產(chǎn)的價值；r為無風(fēng)險利率；q為股票股利收益率；σ是波動函數(shù).

可以看出,當(dāng)S=0時,式(1)退化為常微分方程.

在一般的熱傳導(dǎo)方程中,系數(shù)識別問題已經(jīng)被許多學(xué)者用不同的方法研究過.然而,很少有人考慮過退化的熱傳導(dǎo)方程.在這篇文章中,主要討論了一個退化熱傳導(dǎo)方程的源項反演問題,即利用最終測量數(shù)據(jù)識別退化熱傳導(dǎo)方程中的源系數(shù).這個問題可以用以下形式來表述.

問題P考慮以下二階拋物型方程:

(2)

其中：a(x)、b(x)、c(x)和g(x)是已知的光滑函數(shù),并且a(x)滿足

a>0,a(0)=0,x∈(0,l)；

方程(2)中的源項f(x)是未知的.

假設(shè)給出終端觀測值作為附加條件,即

v|t=T=ψ(x),x∈(0,l),

(3)

其中T(T>0)，ψ(x)是可以通過測量或者實驗得到的已知函數(shù).下面討論如何根據(jù)(2)和(3)確定函數(shù)v(x,t)和f(x).

經(jīng)典偏微分方程與退化偏微分方程的主要區(qū)別在于退化偏微分方程可能缺少邊界條件,這也是退化逆問題的主要難點.對于方程(2),當(dāng)x=0時,退化為一階方程:

vt+b(0)vx+c(0)v=f(0).

事實上,根據(jù)著名的Fichera理論[5],可以很容易地得到在x=0的退化邊界處,不應(yīng)該給出邊界條件.于是這里可以通過簡單的計算看出拋物問題(2)是定義良好的函數(shù).

首先將方程(2)第一個式子左右兩邊同時乘以-1,使得vxx的系數(shù)為正,即

-vt+a(x)vxx-b(x)vx-c(x)v=-f(x),(x,t)∈Q.

(4)

記x1=x,x2=t,有

a11=a(x),a12=a21=a22=0,b1=-b(x),b2=-1.

-b(x)-a′(x),

因此,要使左邊界x=0處不必給出條件,由Fichera定理,只有Fichera函數(shù)的符號在該點處非負(fù),即

(-b(x)-a′(x))|x=0≥0.

在文獻(xiàn)[6]中,作者用變分迭代法研究了具有初邊界條件的類似問題.在文獻(xiàn)[2]中,作者采用Tikhonov正則化方法從終端測量數(shù)據(jù)中求解恢復(fù)方程

vt-?·(a(x)?v)=f(x,t),(x,t)∈Q

擴(kuò)散系數(shù)a(x)的反演問題.

在文獻(xiàn)[7-8]中,作者針對與時間和空間相關(guān)的q=q(x,t)進(jìn)行研究,即確定下式中的未知系數(shù)q(x,t)，

vt-Δv+q(x,t)v=0,(x,t)∈Q.

文獻(xiàn)[9]主要研究了一個恢復(fù)退化拋物方程一階系數(shù)的反問題，

其中k(x)滿足以下退化條件:

k(x)>0,x∈(0,l),k(0)=k(l)=0.

最后,下列擴(kuò)散方程中確定源項p(t)的反問題，

已經(jīng)被許多學(xué)者所研究[10-14].

本文使用最優(yōu)控制框架理論討論問題P.證明了最優(yōu)控制問題的整體適定性,這也是這篇文章的主要貢獻(xiàn).在第1部分中,進(jìn)行了能量估計,以此來證明定解問題解的唯一性和穩(wěn)定性.在第2部分中,將反問題P轉(zhuǎn)化為最優(yōu)控制問題P1,并構(gòu)造了代價泛函最小值的存在性.第3部分給出了控制函數(shù)最小值的存在性和必要條件.第4部分證明了該極小化量的唯一性和穩(wěn)定性.

1 能量估計

在文獻(xiàn)[15]中，利用波動方程的能量模估計,得到定解問題解的唯一性與穩(wěn)定性,這也同樣適用于拋物型方程.

記QT={(x,t)|0

引理1[15](Gronwall不等式)若非負(fù)函數(shù)G(t)在[0,T]上連續(xù)可微,G(0)=0,且對于τ∈[0,T],有

其中：C>0為常數(shù)；F(τ)為[0,T]上不減的非負(fù)可積函數(shù),則

G(τ)≤C-1(eCτ-1)F(τ).

(5)

其中C是依賴于t的常數(shù).

證明在(2)的拋物方程兩邊同乘v,并在Qt上積分,得

(6)

把式(6)左端第一部分的被積函數(shù)寫成散度形式以便計算，得

(7)

式(6)左端第二部分采用同樣的方法，有

(8)

根據(jù)已知條件有

由式(6)～(8),有

(9)

注意到

(10)

得到

(11)

對式(11)第二部分進(jìn)行分部積分,有

(12)

根據(jù)a,b的光滑性,記

則式(12)可以寫成

(13)

由Fichera條件,(a′+b)|x=0≤0,因此有

(14)

結(jié)合式(11)、(13)和(14)以及Gronwall不等式,有

定理證畢.

2 代價泛函的最小值存在性

由于反問題P是不適定的,轉(zhuǎn)而考慮以下最優(yōu)控制問題P1:

(15)

這里

(16)

Α={f(x)|0<α≤f≤β,?f∈L2(0,l)}.

(17)

其中v(x,t;f)是方程(2)對應(yīng)于給定系數(shù)f(x)∈Α的解,N是正則化參數(shù),α,β是兩個給定的正常數(shù).

這里需要最終的觀測結(jié)果ψ(x)滿足:

ψ(x)∈C[0,l].

(18)

假設(shè)c(x)的下界為c0,且c0為正常數(shù).首先介紹兩個基本定義和一些引理.

說明:在本文中,如果沒有特別說明,C表示與T無關(guān)的不同常數(shù).

(19)

v(x,0)=g(x),x∈(0,l),

(20)

那么對于任意t∈(0,T],存在如下微分方程:

(21)

引理2對于任何子序列{fn}∈Α,當(dāng)n→∞,‖fn-f‖L1(0,l)→0,有

(22)

由于引理2的證明類似于文獻(xiàn)[16],所以這里就不再作詳細(xì)證明.

注意到J(fn)≤C,可以推斷

‖?fn‖L2(0,l)≤C,

(23)

這里C與n無關(guān).

根據(jù){fn}與式(23)的邊界,得到

‖fn‖H1(0,l)≤C.

(24)

因此,選取一個{fn}的子序列,同樣表示為{fn},使得

(25)

利用Sobolev嵌入定理,得

易看出{fn(x)}∈Α.因此,當(dāng)n→∞時,在L1(0,l)中有

(26)

此外,根據(jù)式(25)有

(27)

由引理2和{fn}的收斂性知,存在一個{fn}的子序列,仍記為{fn},且滿足

(28)

由式(26)～(28),有

(29)

因此,

定理得證.

3 必要條件

定理3設(shè)f為最優(yōu)控制問題(15)的解,對于任何h∈Α,存在一個三元函數(shù)(v,ξ;f)滿足以下系統(tǒng):

(30)

(31)

以及

(32)

證明對于任何h∈Α,δ∈[0,1],設(shè)

fδ≡(1-δ)f+hδ∈Α.

有

(33)

令vδ為方程(2)中f=fδ時的解，因為f是一個最優(yōu)解,則

(34)

(35)

(36)

聯(lián)立式(19)、(21),得到

(37)

定理1得證.

注1通過拋物型方程的共軛理論,可以得到該必要條件的另一種形式.

令Lξ=ξt-aξxx+bξx+cξ,且假設(shè)η是下面問題的解，

(38)

其中L*是算子L的共軛算子.

根據(jù)式(37)、(38)得到

(39)

由式(39)和式(37),易得

(40)

與必要條件(37)相比,新得出的(40)不利于推導(dǎo)最小值的全局唯一性和穩(wěn)定性.因此,本文在下一步討論中仍將使用條件(37).

4 唯一性和穩(wěn)定性

定理4假設(shè)ψ1(x)和ψ2(x)是兩個給定的滿足(18)的函數(shù).設(shè)f1(x)和f2(x)分別為ψ1(x)與ψ2(x)對應(yīng)的最優(yōu)控制問題P1的最小值.如果存在一點x0∈[0,l],使得

f1(x0)=f2(x0),

有估計:

其中常數(shù)C僅與l和N有關(guān).

證明在式(37)中,當(dāng)f=f1時,令h=f2；當(dāng)f=f2時,令h=f1,有

(41)

和

(42)

其中{vi,ξi}(i=1,2)分別為系統(tǒng)(30)與(31)的解,且f=fi(i=1,2).

設(shè)

V=v1-v2,Ξ=ξ1+ξ2,

則V,Ξ滿足

(43)

(44)

根據(jù)極值原理,知道式(44)只有零解,因此

ξ1(x,t)=-ξ2(x,t),

(45)

且ξ1滿足下式，

(46)

注意到(43)、(46),有

V(x,t)=-ξ1(x,t).

(47)

根據(jù)式(41)、(42)、(45)和(47),得到

(48)

由定理4的假設(shè),以及H?lder不等式,對于0

(49)

從而得出

(50)

聯(lián)立式(48)和(50),得到

(51)

定理4得證.

注2需要指出的是,正則化參數(shù)在不適定問題的數(shù)值模擬中發(fā)揮著重要的作用.由定理4可知,如果存在一個常數(shù)δ,使得

則

‖f1-f2‖C(0,l)→0,

這說明重構(gòu)的最優(yōu)控制解是唯一且穩(wěn)定的,與已有的結(jié)果一致[17].在實際計算中正則化參數(shù)N一般都取很小值,因此得到的是最優(yōu)解的局部唯一性和穩(wěn)定性.一般來說,對于不適定問題,正則化參數(shù)適當(dāng)?shù)匾蕾囉跀?shù)據(jù)誤差趨近于零時,可以得到收斂結(jié)果.此外,在一些附加的假設(shè)下,也可以推導(dǎo)出收斂速度.

5 結(jié)語

基于最優(yōu)控制的框架,解決了下列退化熱方程中重構(gòu)源系數(shù)f(x)的逆問題P:

vt-a(x)vxx+b(x)vx+c(x)v=f(x)

以及最小值的存在性、唯一性和穩(wěn)定性也得以證明.

對于多維情況,本文提出的方法也同樣適用.然而,由于多維域的幾何復(fù)雜性及邊界附近相應(yīng)的簡并,討論過程可能比一維情況要困難得多,這也將是同仁今后的研究工作.