一類約化的 Rosenzweig-MacArthur 隨機捕食者-食餌模型的平穩(wěn)分布

楊亞飛

(西北師范大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院，甘肅 蘭州 730070)

0 引言

捕食者與食餌種群間的相互作用是生態(tài)系統(tǒng)的重要組成部分[1]. 自20世紀20年代Lotka和Volterra首次提出Lotka-Volterra模型以來，越來越多的學者通過構(gòu)建各種模型來研究種群間的相互作用[2-3]，其中之一就是下面的Rosenzweig-MacArthur模型

另一方面，功能反應(yīng)是影響捕食者-食餌模型的重要因素.2013年，Dawes和Souza推導(dǎo)出一個新的三維模型和不同類型的功能反應(yīng)，包括Holling型功能反應(yīng)等[4].根據(jù)他們的方法和文獻[5]的理論，Lax等在文獻[6]中提出了下面的模型：

(1)

其中:S代表休息的捕食者；H代表狩獵的捕食者.所有的參數(shù)均為正數(shù).

對類似于模型(1)的這種常微分方程模型，它并不能捕捉環(huán)境的波動.因此，越來越多的學者將隨機干擾項引入捕食者-食餌模型中[7,8].基于此，本文考慮如下隨機模型：

(2)

其中：σi(i=1,2,3)表示噪聲的強度；Bi(i=1,2,3)是相互獨立的標準布朗運動，其定義在帶有濾子{Ft}t≥0且滿足通常條件的完備概率空間(ω,F，{Ft}t≥0,P)上.

1 預(yù)備知識

為便于證明本文的主要結(jié)論，令

定義[9]如果函數(shù)P(s，x，t+s，A)與s無關(guān)，則轉(zhuǎn)移概率密度函數(shù)P(s，x，t，A)是時間齊次的(且相應(yīng)的Markov過程稱為是時間齊次的)，其中0≤s≤t，x∈Rd，A∈B，B表示Rd中Borel集的σ-代數(shù).

令X(t)是Rd中標準的時間齊次的Markov過程，且滿足

dX(t)=F(X(t))dt+G(X(t))dB(t)，

(3)

其中F(X(t))和G(X(t))分別是n維向量函數(shù)和n×m階矩陣.

定義算子L和X(t)的擴散矩陣A(x)分別為：

引理1[9]假設(shè)X(t)滿足(3)且函數(shù)V(x(t))∈C2，1(Rn×R，R)，則

dV=LV(X(t))dt+VxG(X(t))dB(t)，

其中，

引理2[9]假設(shè)存在有界開集U∈Rd且U帶有正則邊界Γ，若滿足以下兩個條件

(A1)：對任意的x∈U，擴散矩陣A(x)是正定的.

(A2)：在RdU上，存在非負的C2函數(shù)V，使得LV<0.

則Markov過程X(t)存在唯一的平穩(wěn)分布，且分布具有遍歷性.

2 主要結(jié)果

證明顯然，系統(tǒng)(2)的參數(shù)滿足局部Lipschitz條件，由文獻[10]知，當t∈[0，τe]時(τe為爆破時間)，對任意給定的初值(B(0)，S(0)，H(0))，系統(tǒng)(2)存在唯一解.為使定理成立，只需證τe=∞.進一步由文獻[11]，只需證τ∞=∞幾乎必然成立.反設(shè)不真，則存在正常數(shù)T和ε<1，使得

P{τ∞≤T}>ε.

因此，存在整數(shù)n1≥n0，使得對任意的n≥n1，有

P{τ∞≤T}>ε，

其中n0由文獻[11]給出.

其中a將在后續(xù)證明中給出.

由引理1可得

其中

定理的后續(xù)證明與文獻[11]中定理3.1的證明類似，故在此省略，從而定理得證.

c=γ(β+η).

證明系統(tǒng)(2)的擴散矩陣為

下證(A2)成立.通過計算可得

(4)

令

由(4)得

(5)

再令

(6)

定義

由(5)和(6)得

其中

然后定義

則

其中

現(xiàn)定義如下Lyapunov函數(shù)

其中N充分大且滿足:

-Nλ+D1≤-2.

通過計算得

(7)

為了驗證條件(A2)，定義一個有界開集

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

其中

(ⅰ)對任意的(B，S，H)∈U1，注意到xb-bx+b-1≥0，由(8)和(9)得

(ii)對任意的(B，S，H)∈U2，由(9)和(10)得

另一方面，由(7)得

(iii)對任意的(B，S，H)∈U3，由(11)得

LV≤

類似地，對任意(B，S，H)∈Uj(j=4，5，6)，由(12)、(13)和(14)可得LV≤-1.

因此，對任意的(B，S，H)∈Uc，有LV≤-1.這說明條件(A2)成立.定理得證.

3 數(shù)值模擬

本節(jié)將采用文獻[12]中的Milstein高階方法來對理論結(jié)果進行數(shù)值模擬.選取系統(tǒng)(2)的初值為(0.1，0.2，0.2)，其余參數(shù)如表1所列.

表1 系統(tǒng)(2)的各參數(shù)值

利用Milstein高階方法可得到系統(tǒng)(2)的離散化變換為

其中：時間增量Δt>0，εi,j(i=1，2，3)表示互相獨立的高斯隨機變量，遵循分布N(0，1).

通過計算發(fā)現(xiàn)

即定理2的條件成立.因此，由定理2可知，系統(tǒng)(2)存在唯一的平穩(wěn)分布且其具有遍歷性.系統(tǒng)(1)、(2)的解及其種群密度函數(shù)的直方圖如圖1～圖7所示.

圖1 系統(tǒng)(1)和(2)中食餌種群B的解曲線

圖2 系統(tǒng)(2)中休息捕食者種群S的概率密度函數(shù)直方圖

圖3 系統(tǒng)(1)和(2)中捕食者種群H的解曲線

圖4 圖2的局部放大圖

圖5 系統(tǒng)(2)中食餌種群B的概率密度函數(shù)直方圖

圖6 系統(tǒng)(1)和(2)中狩獵捕食者種群H的解曲線

圖7 系統(tǒng)(2)中狩獵捕食者種群H的概率密度函數(shù)直方圖

4 結(jié)論

本文利用隨機微分方程理論，通過構(gòu)造合適的Lyapunov函數(shù)來分析一類約化的Rosenzweig-MacArthur模型整體正解及其平穩(wěn)分布的存在唯一性.定理2表明，當系統(tǒng)(2)的參數(shù)滿足一定條件時，系統(tǒng)(2)會存在唯一的平穩(wěn)分布并具有遍歷性.