一類分?jǐn)?shù)階發(fā)展方程柯西問題mild解的存在性

陳 燕

(蘭州交通大學(xué) 數(shù)理學(xué)院, 甘肅 蘭州 730070)

0 引言

整數(shù)階微分方程在很多學(xué)科領(lǐng)域中起著非常重要的作用,而相比于整數(shù)階微分方程,分?jǐn)?shù)階微分方程由于它的記憶性和遺傳性能更精確地描述實際問題.近年來,分?jǐn)?shù)階微分方程已被應(yīng)用在很多學(xué)科領(lǐng)域,如粘彈性力學(xué)、分?jǐn)?shù)物理學(xué)、動力系統(tǒng)控制理論、混沌與湍流、反常擴散、信號處理等[1-4].

因此,越來越多數(shù)學(xué)學(xué)者開始研究分?jǐn)?shù)階發(fā)展方程,進而其相關(guān)理論也越來越深厚.各類分?jǐn)?shù)階發(fā)展方程解的存在性和唯一性也受到了廣泛的研究[5-9].

文獻[10]利用預(yù)解算子族{Sα,β(t)}t≥0的性質(zhì)研究了如下一類分?jǐn)?shù)階發(fā)展方程mild解的漸近性及可積性.

(1)

Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)是在1967年由Caputo提出的,參見文獻[11],它的定義如下:

本文將在Banach空間中研究下列分?jǐn)?shù)階發(fā)展方程

(2)

本文運用Laplace變換法、Banach壓縮映射原理以及Shauder不動點定理等方法證明了該類方程mild解的存在性與唯一性.

1 預(yù)備知識

設(shè)(X,‖·‖)是Banach空間,B(X)是由X→X的所有有界線性算子全體構(gòu)成的空間.C(J,X)表示定義在區(qū)間J上取值于X上的連續(xù)函數(shù)全體構(gòu)成的Banach空間,其范數(shù)定義為

‖x‖C=sup{‖x(t)‖,t∈J}.

可測函數(shù)x:J→X稱為Bochner可積,當(dāng)且僅當(dāng)t→‖x(t)‖是Lebesgue可積的.

L1(J,X)表示定義在區(qū)間J上取值于X上的Bochner可積函數(shù)全體構(gòu)成的Banach空間,其范數(shù)定義為

且

則稱A關(guān)于角φ是ω-扇形的.

定義1[10]設(shè)A:D(A)?X→X為閉的線性算子,1≤α≤2,且0<β≤2,如果存在ω≥0及強連續(xù)且指數(shù)有界的算子族

Sα,β:[0,∞)→B(X),

使得

{λα:Reλ>ω}?ρ(A),

對?x∈X,有

(3)

及

(4)

則稱A是(α,β)-預(yù)解族的生成元,稱{Sα,β(t)}t≥0是由A生成的(α,β)-預(yù)解族,其中γ是合適的復(fù)路徑.

引理1[10]設(shè)1≤α,β≤2,Sα,β是由A生成的(α,β)-預(yù)解族,則

(1)對?x∈D(A),t≥0,有

Sα,β(t)x∈D(A),Sα,β(t)Ax=ASα,β(t)x.

(2)如果x∈D(A),t≥0,則

(5)

(3)如果x∈X,t≥0，那么

且

(6)

特別地,Sα,β(0)=gβ(0)I.

(7)

記

(8)

類似于文獻[12],可以得到以下結(jié)論.

引理4設(shè)對于任意t>0,{Sα,β(t)}t≥0按一致算子拓?fù)溥B續(xù),如果Sα,β(t)是緊的,則有

(9)

證明設(shè)‖x‖≤1,t>0以及ε>0.由于Sα,β(t)是緊的,則集

Wt:={Sα,β(t)x:‖x‖≤1}

也是緊的.那么存在一列有限族

{Sα,β(t)x1,Sα,β(t)x2,…,Sα,β(t)xm}?Wt，

使得對?x,有‖x‖≤1,那么存在xi(1≤i≤m)，使得

(10)

由Sα,β(t)的強連續(xù)性,t≥0,知存在0

(11)

另一方面,由于Sα,β(t)按一致算子拓?fù)溥B續(xù),所以存在0

(12)

因此,對0≤k≤min{h1,h2}以及‖x‖≤1,根據(jù)式(10)～(12)即得,

則對?t>0,式(9)成立.

由引理4可以得出如下結(jié)論.

引理5設(shè)對于任意t>0,{Sα,β(t)}t≥0按一致算子拓?fù)溥B續(xù),如果Sα,β(t)是緊的,那么有

(13)

證明設(shè)t>0且00,使得

‖Sα,β(t)-Sα,β(h)Sα,β(t-h)‖≤‖Sα,β(t)-Sα,β(t+h)‖+‖Sα,β(t+h)-Sα,β(h)Sα,β(t)‖+‖Sα,β(h)Sα,β(t)-Sα,β(h)Sα,β(t-h)‖≤‖Sα,β(t)-Sα,β(t+h)‖+‖Sα,β(t+h)-Sα,β(h)Sα,β(t)‖+M‖Sα,β(t)-Sα,β(t-h)‖.

由引理4及Sα,β(t)的連續(xù)性得該式成立.

考慮下面的分?jǐn)?shù)階線性發(fā)展方程

(14)

其中f(t)∈L1(J,X),對此方程兩邊做Laplace變換,左端為

則

整理可得

(15)

將式(4)代入式(15),可得

因此有

其中Sα,α(t)*f(t)表示Sα,α(t)與f(t)的卷積.

定義2如果函數(shù)u∈C(J,X)，對任意t∈J,有

(16)

則稱u是方程(2)的mild解.

本文中,令r>0，為有限常數(shù),記Br={u∈C(J,X):‖u‖C≤r}.

本文主要結(jié)論的證明要用到如下兩個結(jié)論.

定理1(Shauder不動點定理)如果V是Banach空間X的一個有界凸閉子集,如果T:V→V是全連續(xù)算子,則T至少存在一個不動點x*,使得Tx*=x*.

定理2(Banach壓縮射原理)設(shè)V是Banach空間X的有界閉子集,如果T:V→V滿足?0<α<1,?x,y∈V,使得

‖Tx-Ty‖<α‖x-y‖,

那么T在X上存在唯一的不動點.

注:若存在自然數(shù)n使得Tn是X上的壓縮映射,那么T在X上存在唯一的不動點.

2 主要結(jié)論

下面給出幾個假設(shè)條件,以方便定理的敘述和證明:

(Hf)f:J×X→X滿足:

(1)f(t,·):X→X對幾乎處處t∈J連續(xù),f(·,x):J→X對x∈X可測.

(2)存在函數(shù)φ∈L1(J,R+),使得‖f(t,x)‖≤φ(t),t∈J.

(3)f(t,x)關(guān)于x滿足Lipschitz條件,即?L>0,使得

‖f(t,x2)-f(t,x1)‖≤L‖x2-x1‖,?t∈J,x1,x2∈X.

(HS):由A生成的預(yù)解算子族{Sα,β(t)}t≥0是緊的.

定理3假設(shè)條件Hf(3)滿足,則方程(2)在區(qū)間J上存在唯一的mild解.

證明定義算子Q:C(J,X)→C(J,X),滿足

(17)

顯然u是方程(2)的mild解等價于u是算子Q的不動點.

?u1,u2∈C(J,X),由Hf(3)及式(8)可得

累次使用該不等式可得

所以有

(18)

定理4假設(shè)條件Hf(1)、(2),HS都滿足,則方程(2)在區(qū)間J上至少存在一個mild解.

證明如式(17),定義算子Q:C(J,X)→C(J,X).取r>0,滿足

M1‖x‖+M2‖y‖+bMα‖φ‖L1(J,R+)≤r.

(19)

第1步:證明Q(Br)?Br.

對任意u∈Br,t∈J,有

(20)

由Hf(2)及式(8)可得

‖(Qu)(t)‖≤M1‖x‖+M2‖y‖+bMα‖φ‖L1(J,R+).

(21)

所以有

‖Qu‖C≤r.

(22)

第2步:證明Q是連續(xù)算子.

第3步:證明Q是緊算子.

首先證明對任意的t∈J,V(t)={(Qu)(t):u∈Br}是X中的相對緊集.顯然,當(dāng)t=0時,V(0)是X中的相對緊集.當(dāng)t∈(0,b]時,對?ε∈(0,t)及u∈Br,定義算子Qε如下:

(23)

對?δ∈(ε,t),有

由引理5可得,對s∈[0,t-δ],當(dāng)ε→0時,

Sα,α(ε)Sα,α(t-s-ε)-Sα,α(t-s)→0，

且有

(24)

由δ的任意性及控制收斂定理可得

(25)

另一方面,

因此,

(26)

那么,由完全有界性可得

在X中是相對緊的.這意味著存在一族相對緊集{Vε(t)}0<ε

下面證QBr是等度連續(xù)的.

?u∈Br,0≤t1≤t2≤b,有

因此,由預(yù)解算子族{Sα,β(t)}t≥0的強連續(xù)性知,當(dāng)t2-t1→0時,容易驗證‖(Qu)(t2)-(Qu)(t1)‖→0,從而對t∈J,QBr是等度連續(xù)的.由Arzela-Ascoli定理可得Q為緊算子.由Shauder不動點定理知Q至少存在一個不動點,即方程(2)在區(qū)間J上至少存在一個mild解.