基于極值copula和上尾copula的極端事件巨額損失統(tǒng)計(jì)推理研究

孟宜成

(淮南師范學(xué)院 金融與數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 淮南 232001)

0 引言

隨著copula理論的發(fā)展，其應(yīng)用范圍已經(jīng)擴(kuò)展至經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域，如信用風(fēng)險(xiǎn)分析、信用風(fēng)險(xiǎn)評(píng)級(jí)、資產(chǎn)組合風(fēng)險(xiǎn)、金融風(fēng)險(xiǎn)等[1].研究者利用copula理論與波動(dòng)率相結(jié)合的方法總結(jié)出最小風(fēng)險(xiǎn)套期保值評(píng)估方法，并應(yīng)用在部分現(xiàn)貨或期貨數(shù)據(jù)分析中[2].在金融保險(xiǎn)業(yè)務(wù)中出現(xiàn)極端事件時(shí)，對(duì)于高額損失變量相關(guān)性的量化研究至關(guān)重要[3].然而，實(shí)際應(yīng)用過程中往往會(huì)出現(xiàn)極端事件，雖然發(fā)生的概率較低，但也成為了金融保險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)管控中不可忽略的事件[4].例如，洪水、地震等自然災(zāi)害的發(fā)生對(duì)保險(xiǎn)行業(yè)的考驗(yàn)是巨大的，這就需要引入極值理論對(duì)保險(xiǎn)公司的損失進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合，即對(duì)一維隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)分析[5].如果將極值理論推廣至多維隨機(jī)變量的分析中，則可利用極值copula和上尾copula的極端事件巨額損失進(jìn)行統(tǒng)計(jì).本文基于copula函數(shù)擬合多維隨機(jī)向量的聯(lián)合分布，采用極值理論建立損失模型并對(duì)極值copula和上尾copula函數(shù)的隨機(jī)向量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析.利用半?yún)?shù)預(yù)估方法對(duì)一般copula函數(shù)的參數(shù)進(jìn)行預(yù)估并構(gòu)建C-M(Cramer-Von Mises)統(tǒng)計(jì)量實(shí)現(xiàn)擬合優(yōu)度的檢驗(yàn).

1 極值函數(shù)的定義

假定一個(gè)同分布獨(dú)立d維隨機(jī)向量Xi=(Xi1，…，Xid)′，將它的聯(lián)合分布函數(shù)記為F，以CF表示其copula函數(shù).

定義1假定C為一個(gè)任意的copula函數(shù)，在(u1，…，ud)′∈[0，1]d的條件下，如果有

那么C可定義為極值copula函數(shù)，CF即可定義為其吸收范圍.相同條件下，如果

C(u1，…，ud)=(u1/n1，…u1/nd)n，

(1)

那么認(rèn)為C處于最大穩(wěn)定狀態(tài)，同時(shí)可以斷定，處于最大穩(wěn)定狀態(tài)的copula函數(shù)C必然在CF中.這種情況下，C為極值copula函數(shù)，且具有最大穩(wěn)定性是必然的[4-5].

定義2若將式(1)視為一個(gè)漸進(jìn)過程，則可將上尾copula函數(shù)定義為

(2)

如果該式的極限值存在，則有(x1，…，xd)′∈(0，+∞)d.

上尾copula本質(zhì)上并非copula函數(shù)，但其具有表達(dá)極限值的形式，在處理極端事件時(shí)，上尾copula相較于其它c(diǎn)opula函數(shù)具有更好的穩(wěn)定性.

定義3假設(shè)存在兩個(gè)連續(xù)的隨機(jī)變量X1、X2，F(xiàn)1、F2分別為其分布函數(shù)，則(X1，X2)的上尾相依系數(shù)表達(dá)式為

(3)

按照此定義，上尾相依系數(shù)描述了當(dāng)隨機(jī)變量大于某個(gè)分位數(shù)時(shí)，另一個(gè)隨機(jī)變量也大于相應(yīng)分位數(shù)的漸進(jìn)概率.若設(shè)C為兩個(gè)隨機(jī)變量的copula函數(shù)，則(X1，X2)的上尾相依系數(shù)僅與C(t，t)有關(guān)，而C(t，t)作為[0，1]→[0，1]上的一個(gè)函數(shù)，可通過copula函數(shù)中的對(duì)角截面來描述.

定義4對(duì)于任意二維copula函數(shù)C，若

δC(t)=C(t，t)，則稱δC：[0，1]→[0，1]為C的對(duì)角截面.

由此，可用δC(t)替代C(t，t)來表示上尾相依系數(shù).不同copula函數(shù)具有不同的對(duì)角截面，所以在估計(jì)copula函數(shù)時(shí)可以通過對(duì)角截面的對(duì)比進(jìn)行最優(yōu)copula函數(shù)的選取.

2 一般copula函數(shù)的統(tǒng)計(jì)推斷

實(shí)際應(yīng)用中最常見的copula函數(shù)類包括Normal-copula、Student-copula、Clayton-copula、Frank-copula、Gumbel-copula、Plackett-copula等.對(duì)于這些一般copula函數(shù)，在確定參數(shù)θ后即可得到其具體表達(dá)形式，而函數(shù)的點(diǎn)預(yù)估可通過參數(shù)法、半?yún)?shù)法、非參數(shù)法三種方式進(jìn)行.現(xiàn)有研究結(jié)果表明，半?yún)?shù)法不受限于邊際分布，穩(wěn)定性最強(qiáng)，因此本文采用半?yún)?shù)法進(jìn)行點(diǎn)估計(jì)[6-8].

假設(shè)一個(gè)包含于參數(shù)族C(·;θ)的copula函數(shù)C，其連續(xù)密度函數(shù)為C(·;θ)，θ∈Θ?RP，采用半?yún)?shù)法進(jìn)行函數(shù)擬合無需考慮邊際分布，所以可以基于極大化的方式擬合對(duì)數(shù)似然函數(shù)，即

(4)

式中，

由此可獲得函數(shù)的半?yún)?shù)預(yù)估結(jié)果

通過這一過程，能夠?qū)崿F(xiàn)相關(guān)數(shù)據(jù)的擬合，進(jìn)而選出最優(yōu)的copula函數(shù),用以明確變量之間的相依關(guān)系.

利用半?yún)?shù)法得到參數(shù)的預(yù)估結(jié)果后，為了驗(yàn)證結(jié)果的準(zhǔn)確性，本文基于擬合優(yōu)度檢驗(yàn)來證明copula函數(shù)C包含在參數(shù)族C(·;θ)之中，為此，提出如下假設(shè)檢驗(yàn).

H0:C(·)∈{C(·;θ):θ∈Θ}vsH1:C(·)?{C(·;θ):θ∈Θ}.

(5)

通過構(gòu)建C-M統(tǒng)計(jì)量，即能獲得擬合優(yōu)度結(jié)果：

式中，

為二維似然copula.

3 極值copula函數(shù)的統(tǒng)計(jì)推斷

3.1 常規(guī)的極值copula

二維極值copula的另外一種表達(dá)形式為

(6)

式中，A為[0，1]→[1/2，1]上的凸函數(shù)，即為Pickands相依函數(shù).對(duì)于任意t∈[0，1]，max(t，1-t)≤A(t)≤1均成立.對(duì)于極值A(chǔ)(t)=1，則C(u，v)=uv，說明u與v是相互獨(dú)立的；若A(t)=max(t，1-t)，則C(u，v)=min{u，v}，說明u與v是同單調(diào)增減的.

由此，只要設(shè)定相依函數(shù)A的具體形式，那么極值copula函數(shù)也會(huì)得以確定.應(yīng)用最為廣泛的極值copula函數(shù)主要包括：t-EV copula、Tawn-copula、 husler-copula、 calambos-copula、Gumber-copula[2].與一般copula函數(shù)相同，極值copula函數(shù)仍可利用極大似然法的半?yún)?shù)法進(jìn)行點(diǎn)估計(jì)，而對(duì)于擬合優(yōu)度的假設(shè)檢驗(yàn)，則首先應(yīng)結(jié)合經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)copula函數(shù)進(jìn)行預(yù)估，再通過式(5)構(gòu)建C-M統(tǒng)計(jì)量以計(jì)算似然copula與極值copula的差異.

3.2 上尾copula

依據(jù)定義2和定義3能夠總結(jié)出上尾copula與其相依系數(shù)的關(guān)系.各種copule均具有其各自對(duì)應(yīng)的上尾相依系數(shù),應(yīng)用較為廣泛的幾種copula函數(shù)的上尾相依系數(shù)如表1所列.

表1 常用copula函數(shù)的上尾相依系數(shù)

極值copula函數(shù)的上尾相依系數(shù)通過2(1-A(0.5))計(jì)算，即取決于其相依函數(shù).

若設(shè)定(x1，x2)′∈(0，∞)2，由式(2)可以推導(dǎo)出上尾copula的似然函數(shù)為

(7)

式中，m=m(n)→∞，且在n→∞的條件下m/n→0.根據(jù)前文所述，λU=T(1，1)，所以由式(7)可見Tn(1，1；m)可作為λU的一個(gè)預(yù)估值.

4 實(shí)例驗(yàn)證

選取國(guó)外某保險(xiǎn)公司數(shù)據(jù)庫中1980～1990年間自然災(zāi)害保險(xiǎn)理賠的2167組案例數(shù)據(jù)作為研究對(duì)象，將其中l(wèi)osstobuilding和losstocontents兩項(xiàng)作為本次研究的對(duì)象，將其分別記為兩個(gè)損失隨機(jī)變量X1(losstobuilding)、X2(losstotocontents)，其各自對(duì)應(yīng)的分布函數(shù)分別記為F1、F2.本次研究以R軟件為數(shù)據(jù)分析平臺(tái)[8].

4.1 隨機(jī)變量相關(guān)性

為了重點(diǎn)突出對(duì)極端事件下的高額損失的統(tǒng)計(jì)，本次研究選取賠償額度在百萬級(jí)以上的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，共得到數(shù)據(jù)樣本301組，其數(shù)值統(tǒng)計(jì)分析如表2所列.

表2 樣本集數(shù)值統(tǒng)計(jì)分析

按照設(shè)定的數(shù)據(jù)分析目標(biāo)，應(yīng)對(duì)以下條件函數(shù)進(jìn)行研究，

Pr(F1|≥1(X1)≤u1,F2|≥1(X2)≤u2).

上式中的(u1，u2)∈[0，1]2，F(xiàn)i|>1(xi)=Pr(Xi≤xi|Xi≥1),i=1,2.

從理賠數(shù)據(jù)集中可以直接讀取損失數(shù)據(jù)，這些數(shù)據(jù)及取其對(duì)數(shù)后的散點(diǎn)圖如圖1所示.

圖1 損失數(shù)據(jù)及其對(duì)數(shù)化的散點(diǎn)圖

由圖1可見，X1與X2成正相關(guān)性關(guān)系.計(jì)算后可得到兩個(gè)隨機(jī)變量的Kendall秩相關(guān)系數(shù)值為0.211，Pearson相關(guān)系數(shù)值為0.512，由此驗(yàn)證了以上結(jié)論.

4.2 一般copula函數(shù)下的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)推斷

由表3中的數(shù)據(jù)可見，對(duì)于p-值的計(jì)算，在設(shè)定置信水平為0.05的條件下，僅Normal-copula和Gumbel-copula接受了假設(shè)條件，但Gumbel-

表3 一般copula函數(shù)的半?yún)?shù)預(yù)估和假設(shè)檢驗(yàn)結(jié)果

copula所得到的p-值更大.同時(shí)，用以描述似然copula與待選copula之間差異的C-M統(tǒng)計(jì)量值，Gumbel-copula所得到的結(jié)果最小.綜合以上兩點(diǎn)可以確定Gumbel-copula為所有待選函數(shù)中的最優(yōu)函數(shù).為了驗(yàn)證這一結(jié)論，分別繪制了似然copula、Gumbel-copula與Normal-copula的等高線對(duì)比圖和對(duì)角截面對(duì)比圖，具體如圖2所示.

圖2 3種copula的等高線與對(duì)角截面對(duì)比圖

由圖2可見，Gumbel-copula的等高線(左)和對(duì)角截面(右)與似然copula的對(duì)應(yīng)曲線更為接近，從而驗(yàn)證了Gumbel-copula的最優(yōu)性.

4.3 極值copula函數(shù)下的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)推斷

表4 極值copula函數(shù)的半?yún)?shù)預(yù)估和假設(shè)檢驗(yàn)結(jié)果

由表4中的數(shù)據(jù)可見，對(duì)于p-值的計(jì)算，在設(shè)定置信水平為0.05的條件下進(jìn)行擬合優(yōu)度檢驗(yàn)，除Tawn-copula外其它c(diǎn)opula均接受了假設(shè)條件，而相比之下Gumbelcopula與Husler-Reisscopula所得到的p-值最大，進(jìn)一步比較C-M統(tǒng)計(jì)量值，得出Gumbelcopula應(yīng)為最優(yōu)函數(shù).

似然copula、Gumbel-copula與Husler-Reiss-copula的等高線對(duì)比圖和對(duì)角截面對(duì)比圖分別如圖3(a)、(b)圖所示.僅從圖形上看，3種copula的等高線與對(duì)角截面都非常接近，難以準(zhǔn)確驗(yàn)證Gumbel-copula與Husler-Reiss-copula哪個(gè)具有最優(yōu)性，因此，需要確定式(7)中最合適的m值，以對(duì)上尾相依系數(shù)進(jìn)行預(yù)估.不同m值對(duì)應(yīng)的Tn(1，1；m)的函數(shù)圖形如圖4所示.

圖3 3種極值copula的等高線與對(duì)角截面對(duì)比圖

圖4 不同m值所對(duì)應(yīng)的Tn(1，1；m)

5 結(jié)語

為了明確極端事件發(fā)生時(shí)高額損失中各隨機(jī)變量之間的相依關(guān)系，本文對(duì)極值copula與上尾copula進(jìn)行了深度分析.首先介紹了copula函數(shù)的定義，然后將統(tǒng)計(jì)推斷的方法由一般copula函數(shù)延伸至極值copula與上尾copula函數(shù)，最后通過實(shí)際案例對(duì)所研究的方法進(jìn)行了驗(yàn)證，驗(yàn)證結(jié)果表明本文所提出的方法對(duì)于多維隨機(jī)變量的相關(guān)性研究具有重要意義.