數(shù)學(xué)實驗：跨界聯(lián)結(jié)視域下的創(chuàng)新力培養(yǎng)

吳恢鑾 呂瓊?cè)A

【摘 要】“如何估測樹葉的面積”是在人教版數(shù)學(xué)五年級上冊“估測不規(guī)則圖形面積”基礎(chǔ)上設(shè)計的統(tǒng)計概率類數(shù)學(xué)實驗內(nèi)容，旨在讓學(xué)生經(jīng)歷“提出問題—實驗猜想—實驗驗證—實驗反思”跨領(lǐng)域解決問題的過程中，探索隨機數(shù)據(jù)和面積的聯(lián)系，體驗轉(zhuǎn)化、隨機等數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生“跨界研究”問題的創(chuàng)新意識和實驗?zāi)芰Α?/p>

【關(guān)鍵詞】跨界聯(lián)結(jié) 真實性問題 創(chuàng)新力

一.課前慎思

喬布斯曾經(jīng)說過，創(chuàng)新就是把不同的事物聯(lián)系起來。

數(shù)學(xué)家皮埃爾·德利涅曾說過：“在數(shù)學(xué)中，當(dāng)你發(fā)現(xiàn)兩個看似沒有共同之處的東西事實上相互關(guān)聯(lián)是一種樂趣，而在兩個問題之間建立一個支點則是一個強大的工具。”

可見，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中能把不同領(lǐng)域的知識、方法和思想關(guān)聯(lián)融合，讓學(xué)生探索跨領(lǐng)域、跨學(xué)科知識間的內(nèi)在聯(lián)系，不僅可以提升學(xué)生解決真實問題的能力，更是在培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新力。

解決非常規(guī)性數(shù)學(xué)問題作為一種高級的智力活動，從問題的產(chǎn)生到解決，牽涉到許多更高層次的心理活動過程，其中不同知識領(lǐng)域與不同思維方式的“跨界聯(lián)結(jié)”，是學(xué)生實踐能力與創(chuàng)新思維的有力體現(xiàn)。我們?nèi)绾谓柚鷶?shù)學(xué)實驗這種學(xué)習(xí)方式，通過非常規(guī)性數(shù)學(xué)問題的解決，來引領(lǐng)學(xué)生實現(xiàn)不同知識領(lǐng)域的“跨界聯(lián)結(jié)”呢？

“如何估測樹葉的面積”是筆者在人教版數(shù)學(xué)五年級上冊“估測不規(guī)則圖形面積”的基礎(chǔ)上設(shè)計的拓展類數(shù)學(xué)實驗內(nèi)容，旨在讓學(xué)生在經(jīng)歷“提出問題—實驗猜想—實驗驗證—實驗反思”跨領(lǐng)域解決問題的過程中，探索隨機數(shù)據(jù)和面積的關(guān)聯(lián)，體驗轉(zhuǎn)化、隨機等數(shù)學(xué)思想，進而培養(yǎng)學(xué)生“跨界研究”問題的思想意識和創(chuàng)新力。

二、課堂再現(xiàn)

（一）任務(wù)驅(qū)動，提出問題

1.提出問題

師：根據(jù)課件（見圖1），你能提出什么數(shù)學(xué)問題？

學(xué)生提出的問題有：

（1）長方形面積是多少？

（2）樹葉的面積是多少？

（3）樹葉的周長是多少？

（4）長方形面積是樹葉面積的幾倍？

（5）樹葉面積是長方形面積的幾分之幾？

（6）空白部分的面積是多少？

師：請同學(xué)們把這些問題分一分類？

（學(xué)生把問題分成兩類：一類求面積，一類求周長）

2.篩選問題

師：今天這節(jié)課我們先來研究樹葉的面積。有哪些方法可以估計樹葉的面積呢？

生：我將長方形分割成單位面積的小正方形（見圖2），通過數(shù)小正方形的方法估測面積。這里可以把小方格分為兩類：一類是整格的，另一類是不滿一格的。不滿一格的都按半格計算。

師：用數(shù)格子的方法，而且能把格子分成整格和不是整格兩類，再進行統(tǒng)計計算，想法很好。

生：我是把樹葉轉(zhuǎn)化成我們已經(jīng)學(xué)過的正方形來估計面積的。

師：你用轉(zhuǎn)化算，用到轉(zhuǎn)化思想，真不錯。

3.任務(wù)驅(qū)動

師：同學(xué)們想到了分類數(shù)和轉(zhuǎn)化算這兩種方法估測樹葉的面積，很不錯。不過，如果沒有格子圖，只是給你們每個小組提供了一盒綠豆（見圖4），你能想出新的方法來估測樹葉的面積嗎？

（二）探索嘗試，設(shè)計實驗

1.探尋方法

（1）你能利用這些材料創(chuàng)設(shè)出新的方法來求樹葉的面積嗎？

（2）小組交流：玩一玩，議一議。

2.方法交流

方法1：直接鋪設(shè)法。

生：我們小組想先用綠豆填滿樹葉（見圖5），然后數(shù)出綠豆的數(shù)量，估計出一顆綠豆底部的大小，再用一顆綠豆的底面積乘綠豆的數(shù)量來推測樹葉的面積。

師：想一想，用這種方法估測樹葉可能會碰到什么困難？

生：綠豆很難數(shù)，綠豆并不是一個規(guī)則的立體，底面面積很難計算。

方法2：鋪滿轉(zhuǎn)化法。

師：我們小組先將綠豆鋪滿整張樹葉（見圖6），然后把這些綠豆擺成一個長方形，現(xiàn)在只要量出這個長方形的長和寬，就能計算出長方形的面積，也就推測出了樹葉的面積。

師：你們覺得這個辦法怎么樣？

生：我覺得這個方法將不規(guī)則的樹葉轉(zhuǎn)化為規(guī)則的長方形圖形，這樣就解決了估測一粒綠豆底面積不準(zhǔn)的問題，可以更加精確、更加方便地計算出樹葉的面積。

方法3.撒綠豆實驗法。

生：我們組的方法與大家很不同，我們想到在樹葉上空撒下一把綠豆，綠豆就會散布在長方形里，然后我們再數(shù)出長方形里面和樹葉上的綠豆的數(shù)量，看看兩部分?jǐn)?shù)量有怎樣的倍數(shù)關(guān)系，它們的面積也應(yīng)該具有這樣的倍數(shù)關(guān)系。因為長方形的長和寬可以測量，可以計算出長方形的面積，然后就可以根據(jù)倍數(shù)關(guān)系計算出樹葉的面積了。

師：這種方法很特別，大家聽能明白嗎？他們這一組采用的是什么方法？

生：他們想用圖形中綠豆分布的數(shù)量關(guān)系來推測樹葉面積與整個長方形之間的關(guān)系。

師：你們是怎么想到用撒綠豆這種方法的？

生：老師，我們盒子里的綠豆很少，不夠鋪滿整片樹葉，我們只好想到用撒綠豆的方法來粗略地估測樹葉的面積。

師：大家評價一下這種方法到底能不能估測出樹葉的面積呢？

生1：如果只撒一次，撒不均勻，怎么辦？

生2：撒一次可能不夠，可以多撒幾次，每次盡量撒得均勻，我覺得這樣的話，可以試一試。

生3：這種方法我們以前從來沒有遇到過，可以先試一試，做一做實驗，然后再下結(jié)論行還是不行。

師：大家的思考和評估非常理性，不輕易相信一種方法，也不輕易否定一種方法，而是通過嘗試后，用事實說話，很好。我們可以試一試做實驗。想一想，我們在做撒綠豆實驗時可能會遇到什么問題？你們試一試后再來交流。

3.規(guī)范實驗

生1：為了解決撒得不太均衡的問題，我們小組通過實驗后總結(jié)出了一些經(jīng)驗。首先，撒綠豆的高度在10厘米最好，其次，要居中撒下來，力度不能太重，也不能太輕，自然撒落最好。

生2：我還有補充，筐要放平，不能搖動。綠豆要抓一小把，一次性自由撒落。

生3：為了避免出現(xiàn)偶然性，我們組認(rèn)為要多做幾次實驗。

生4：用大數(shù)據(jù)來推測會比較準(zhǔn)確。

師：通過嘗試和實驗，大家從撒綠豆的高度、位置、力度等方面總結(jié)出了怎么撒比較均衡，還領(lǐng)悟到了一個重要思想方法，就是要多撒幾次，把偶然性降低。

（三）實驗實施，檢驗方法

1.實驗要求

師：怎么隨機撒綠豆，怎么統(tǒng)計綠豆，也就是說怎么做一個比較規(guī)范的實驗，大家已經(jīng)清楚了，現(xiàn)在請大家小組合作做實驗。做實驗時，要注意以下幾個問題。

（1）撒豆：四人小組，大家輪流撒綠豆。

（2）記錄：每撒一次，統(tǒng)計員就要記錄數(shù)據(jù)。

（3）計算：最后算出幾次實驗的總數(shù)據(jù)。

2.實驗實施

全班分為10個小組，每人參與實驗過程。

3.實驗數(shù)據(jù)

收集全班數(shù)據(jù)，并利用Excel表格（見表1）把數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為條形統(tǒng)計圖（見圖7）。

4.分析數(shù)據(jù)

師：你有什么發(fā)現(xiàn)？又有什么猜想？

生：長方形內(nèi)綠豆數(shù)量是樹葉圖形內(nèi)綠豆數(shù)量的2倍左右。我猜想，長方形的面積是樹葉面積的2倍左右。

師：我們來測量一下長方形的長和寬，長是15厘米，寬是12厘米，根據(jù)這個猜想，請你推測出樹葉的面積。

生：15×12÷2≈90（平方厘米）。

5.實驗驗證

師：到底猜想是否正確呢？我們還需要去驗證。你打算怎樣驗證？

生：我們可以用以前學(xué)過的分類數(shù)和轉(zhuǎn)化算的方法來驗證。

師生活動后，組織反饋。

生1：我用分類數(shù)的方法得到的面積大約是89平方厘米。

生2：我用轉(zhuǎn)化算的方法，得到面積大約是90平方厘米。

6.實驗結(jié)論

用撒綠豆的實驗方法，獲得實驗數(shù)據(jù)后，計算出長方形和樹葉上綠豆數(shù)量的倍數(shù)關(guān)系，根據(jù)它們數(shù)量的倍數(shù)關(guān)系可以推測出這兩種圖形的面積關(guān)系，從而推算出樹葉的面積。

（四）實驗反思，揭示原理

1.實驗反思

師：為了區(qū)別于分類數(shù)、轉(zhuǎn)化算，今天這個方法可以取什么名稱？

生：可以取名“實驗估”。

師：比較這三種估測樹葉面積的方法，你有什么想說的？

出示圖8。

生1：如果有格子圖的話，轉(zhuǎn)化算比較簡單，但是結(jié)果不一定準(zhǔn)確;分類數(shù)比較準(zhǔn)確，但是數(shù)比較麻煩。

生2：如果沒有格子圖，我們可以用綠豆或者大米、黃豆這些東西，通過做實驗來推測不規(guī)則圖形的面積。但做實驗要注意撒得均勻，做的次數(shù)要多一些。

師：我們已經(jīng)會用分類數(shù)、轉(zhuǎn)化算來估計不規(guī)則圖形的面積了，為什么這節(jié)課還要去發(fā)明“實驗估”這種方法呢？

生1：可能性和幾何圖形的面積聯(lián)系起來，我們以前沒有做過。原來用隨機實驗可以推測出樹葉面積，很神奇。

生2：這節(jié)課我們學(xué)會了解決問題的一種新方法：發(fā)現(xiàn)問題，提出問題，然后做實驗又發(fā)現(xiàn)問題，形成猜想，最后驗證猜想是否正確。

師：蘋果手機的創(chuàng)始人喬布斯曾經(jīng)說過一句話，創(chuàng)新就是把不同的事物聯(lián)系起來。這節(jié)課我們用統(tǒng)計概率的思想去解決面積問題，就是把不同領(lǐng)域的知識與思想方法聯(lián)系起來，這是一種創(chuàng)新，我們在做一件跨界思考的事。

2.揭示原理

師：其實早在幾百年前，就有了這樣的方法。我們來了解一下實驗原理。

閱讀材料：蒙特卡洛法。

考慮平面上一個邊長為1的正方形及其內(nèi)部一個形狀不規(guī)則的“圖形”，如何求出這個“圖形”的面積呢？蒙特卡洛法是這樣一種“隨機化”的方法：向該正方形“隨機地”投擲a個點落于“圖形”內(nèi)，有b個點落入這個不規(guī)則圖形中，則該“圖形”的面積近似為b/a。

師：如果你對這個蒙特卡洛實驗法感興趣，課后可以上網(wǎng)進一步去了解和學(xué)習(xí)，還可以進一步思考，這個實驗法還可以幫助我們解決哪些實際問題？

三、課后再思

如何測量樹葉的面積，學(xué)生在經(jīng)歷了第一段借助方格圖估算樹葉的面積外，面對沒有方格圖，僅借助綠豆，能否想到新的方法去解決?！皩嶒灩馈卑选敖y(tǒng)計概率”與“幾何面積”聯(lián)系了起來，實現(xiàn)了思維的跨界，這種方法的價值不在于是否“實用”，而在于思維方式的創(chuàng)新，像這樣具有探究性、拓展性的實驗內(nèi)容，學(xué)生不僅學(xué)會了問題解決的策略與方法，更是豐富了數(shù)學(xué)經(jīng)驗，發(fā)展了數(shù)學(xué)能力，拓寬了數(shù)學(xué)思想。由此可見，“跨學(xué)科課程”要讓學(xué)生真實地融入問題情境之中，在高認(rèn)知水平的數(shù)學(xué)任務(wù)驅(qū)動下，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性和持久性，使數(shù)學(xué)實驗更多指向創(chuàng)造性和批判性思維。

“跨界聯(lián)結(jié)”視角下的數(shù)學(xué)實驗學(xué)習(xí)要擺脫“一題、一例、一解”的處方化模式，要開放問題的探索空間，讓學(xué)生可以從多角度提出問題，進而讓學(xué)生篩選出有價值的問題。如利用綠豆，有辦法估測出樹葉的面積嗎？這個問題探索空間就非常大，使得學(xué)生有機會經(jīng)歷“直接鋪設(shè)法—密鋪轉(zhuǎn)化法—撒綠豆實驗法”思維不斷創(chuàng)新的過程，知識聯(lián)結(jié)不斷跨界的過程，從定向測量到轉(zhuǎn)化度量，最終想到用統(tǒng)計概率的思想研究面積，使“面積”與“概率”兩個不同領(lǐng)域的內(nèi)容在思考與實踐中實現(xiàn)了完美“跨界聯(lián)結(jié)”，這一“跨界聯(lián)結(jié)”不僅打通了學(xué)生的隨機思想和定量思想的“任脈”，而且實現(xiàn)了思維方式的創(chuàng)新。

教師也不能簡單地將學(xué)生封閉在“知”與“不知”的動態(tài)平衡上，而要延伸到整個實驗活動的“問題”和“解決”空間上，使他們在實驗探索中獲得一次次良好的深度情感體驗。如深度評估與反思“直接鋪設(shè)法”“間接轉(zhuǎn)化法”和“撒綠豆實驗法”三種測量方法，完成實驗探索后再對“分類數(shù)”“轉(zhuǎn)化算”和“實驗估”三種方法的比較體驗，特別是對“實驗估”的看法，有學(xué)生提出：“可能性和幾何圖形的面積聯(lián)系起來，我們以前沒有做過這樣的思考。”這是學(xué)生深度參與學(xué)習(xí)后獲得的深度反思。

總之，“跨界聯(lián)結(jié)”視域下數(shù)學(xué)實驗課要讓學(xué)生的高階認(rèn)知與元認(rèn)知協(xié)同發(fā)展，唯有這樣，學(xué)生的創(chuàng)新力才能不斷迸發(fā)。

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