基于素質(zhì)和能力培養(yǎng)為目標(biāo)的定積分概念教學(xué)設(shè)計(jì)
——以石油工程專業(yè)為例

鄭慧軍 宋國亮 郭立豐 馮鳳萍

（東北石油大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 黑龍江·大慶 163318）

定積分是微積分教學(xué)中的一個(gè)重點(diǎn)，同時(shí)也是一個(gè)難點(diǎn)，如何讓本節(jié)內(nèi)容受學(xué)生歡迎呢？如何讓學(xué)生理解定積分的本質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思想，提高解決實(shí)際問題的能力呢？

（1）課堂教學(xué)設(shè)計(jì)要有針對性，想學(xué)生之所想。

（2）要與學(xué)生互動(dòng)。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程是一個(gè)不斷提出問題和解決問題的過程，有了問題學(xué)生學(xué)習(xí)才會(huì)有動(dòng)力，才能調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性。

（3）知識(shí)能力和素質(zhì)有機(jī)融合，培養(yǎng)學(xué)生解決復(fù)雜問題的綜合能力和高級(jí)思維。教學(xué)形式要體現(xiàn)先進(jìn)性和互動(dòng)性，學(xué)習(xí)結(jié)果要具有探究性和個(gè)性化。

（4）以能力培養(yǎng)為核心，挖掘?qū)W生潛力，激發(fā)學(xué)生想象力和創(chuàng)造力，勇于進(jìn)取。培養(yǎng)學(xué)生“用數(shù)學(xué)”的意識(shí)，感知生活，感悟數(shù)學(xué)！

（5）讓知識(shí)可視化、形象化、趣味化的同時(shí)，傳播正能量，堅(jiān)持立德樹人，落實(shí)課程思政。

1 教學(xué)目的

（1）知識(shí)目標(biāo)：理解定積分的概念，掌握利用定積分的思想解決實(shí)際問題的步驟。

（2）能力目標(biāo)：①熟練利用定積分的概念，解決非均勻分布的量的求和問題。②培養(yǎng)學(xué)生觀察、比較、分析、總結(jié)和抽象概括的能力。

（3）情感目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維方式觀察和分析實(shí)際生活中的問題，滲透化整為零和積零為整的辯證唯物觀。

2 重點(diǎn)、難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：定積分的概念、定積分的幾何意義。

教學(xué)難點(diǎn)：定積分定義中無限細(xì)分和無窮累積的思維方法。

3 教學(xué)方法和教學(xué)手段

教學(xué)方法：講授法、問題驅(qū)動(dòng)法、啟發(fā)式教學(xué)法和案例式教學(xué)法。

教學(xué)手段：（1）多媒體課件與板書相結(jié)合；

（2）利用“超星學(xué)習(xí)通”在線測試，分享學(xué)習(xí)資料并布置課后作業(yè)題與思考題。

4 教學(xué)內(nèi)容

引課內(nèi)容：多媒體展示幾組圖片，拋出問題如何求這些不規(guī)則圖形的面積呢？引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入課堂狀態(tài)，讓學(xué)生帶著問題進(jìn)入學(xué)習(xí)狀態(tài)。

4.1 問題引入

通過實(shí)際問題引入，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和興趣。

引例1曲邊梯形的面積。

提出問題：（1）什么是曲邊梯形？能否直接求出面積的精確值？（2）可否用矩形的面積近似代替曲邊梯形的面積？如果能，如何解決誤差問題？

多媒體動(dòng)畫演示，帶領(lǐng)學(xué)生慢慢地建立起“分割、近似、求和、取極限”的思想。然后引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)為求出該曲邊梯形的面積可以利用分割的思想進(jìn)行以下步驟：

（1）“大化小”：將區(qū)間[a,b]任意劃分成n個(gè)小區(qū)間，a=x0＜x1＜ x2＜…＜ xn-1＜ xn=b；

（2）“以常代變”：以小矩形的面積近似代替小曲邊梯形面積得

（3）“近似和”：利用所有小矩形面積的和近似代替所求曲邊梯形的面積得

引例2變速直線運(yùn)動(dòng)的路程。

設(shè)物體作直線運(yùn)動(dòng) 已知速度v=v(t)是時(shí)間間隔[T1，T2]上t的連續(xù)函數(shù)且v(t)≥0，計(jì)算在這段時(shí)間內(nèi)物體所經(jīng)過的路程S。

提出問題：“以常代變”的“?！睉?yīng)該如何選取？引導(dǎo)學(xué)生自主思考，抓“共性”和“個(gè)性”，要求學(xué)生自己寫出求解該問題的具體方法和詳細(xì)步驟。通過學(xué)生自主思考讓學(xué)生進(jìn)一步建立“分割、近似、求和、取極限”的思想，讓學(xué)生充分理解“化整為零”和“積零為整”的思想，并進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)其思想在后續(xù)學(xué)習(xí)中的重要性。

4.2 探究分析

（1）給出定積分的定義。

引導(dǎo)學(xué)生類比、抽象、歸納上述兩個(gè)問題的共性：解決問題的方法步驟相同、所求量極限結(jié)構(gòu)方式相同，由此抽象得到定積分的概念，培養(yǎng)學(xué)生掌握從具體到抽象，從特殊到一般的思維方法。多媒體展示定積分的定義，教師講解定義中各個(gè)符號(hào)的讀法并強(qiáng)調(diào)在定義應(yīng)注意：兩個(gè)“任意性”和一個(gè)“確定性”。

（2）給出定積分可積的條件。

①函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)；

②函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上有界，且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)。

（3）引入課程思政內(nèi)容讓學(xué)生從定積分的思想中感悟人生哲理，樹立正確的價(jià)值觀，積極向上的人生態(tài)度。

①求曲邊梯形的面積時(shí)，“化整為零”的思想是將復(fù)雜的問題一點(diǎn)點(diǎn)轉(zhuǎn)化為自己熟悉的簡單問題，體現(xiàn)著人生中變通的思想。比如和人交流的時(shí)候，學(xué)會(huì)用簡潔的語言表達(dá)復(fù)雜的事，可以大大提高效率和避免誤會(huì)。

②求曲邊梯形的面積“積零為整”的思想體現(xiàn)了“不積跬步，無以至千里，不積小流，無以成江?！钡牡览?。每一份堅(jiān)持都是成功的累積，不管做什么事情，只要你堅(jiān)持，腳踏實(shí)地，一步一個(gè)腳印就一定會(huì)取得成功。

③幸福是可積的，有限的間斷點(diǎn)并不影響它的積累。所以我們要忘卻點(diǎn)點(diǎn)不快，不要被生活中的一些小挫折所嚇倒要樂觀地面對人生!

（4）針對定積分的定義和定積分可積的條件在試題庫中抽出兩個(gè)簡單的測試題，利用超星學(xué)習(xí)通隨堂練習(xí)功能進(jìn)行測試互動(dòng)，通過學(xué)生的測試成績檢測學(xué)生對定積分定義和可積條件的理解情況。

4.3 學(xué)以致用

通過例題的講解，讓學(xué)生掌握利用定積分定義計(jì)算定積分和求極限的方法，讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固對定積分概念及思想的理解。

讓學(xué)生自主練習(xí)做題，通過練習(xí)可以檢測學(xué)生對知識(shí)的掌握情況，找到差距，有利于學(xué)生養(yǎng)成良好的思考習(xí)慣。

4.4 引申拓展

讓學(xué)生從幾何的角度來看定積分的定義，給出定積分的幾何意義。

（1）f(x)≥0時(shí)，表示曲邊梯形的面積（見圖1）。

圖1

（2）f(x)≤0時(shí)，表示曲邊梯形的面積的負(fù)值（見圖 2）。

圖2

（3）提出問題：若f(x)在積分區(qū)間上既有正又有負(fù)，其面積該如何表達(dá)呢？多媒體演示圖3，引導(dǎo)學(xué)生觀察思考：圖中陰影部分面積如何用定積分表達(dá)？

圖3

4.5 鞏固與提升

（1）給出典型例題進(jìn)行講解和練習(xí)，通過例題可以加深學(xué)生對幾何意義的理解。提高學(xué)生的積極性和獨(dú)立思考能力。教師一邊引導(dǎo)分析，一邊講解。

例3：用定積分幾何意義計(jì)算。

（2）為滿足學(xué)生的心理需求，感受數(shù)學(xué)的實(shí)用價(jià)值，給出與專業(yè)相關(guān)的實(shí)踐問題，作為本節(jié)掌握定積分思想及應(yīng)用的一個(gè)能力檢測。培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和應(yīng)用數(shù)學(xué)思想解決實(shí)際問題的能力。

例4：用定積分表示下述所求問題。

①石油總產(chǎn)量問題。經(jīng)濟(jì)學(xué)家研究一口新井的原油生產(chǎn)速度R(t（)t的單位：年）為R(t)=10.02tsin(2t)，求開始3年內(nèi)生產(chǎn)的石油總量。

②石油化工廠污染問題。某石油化工廠排放大量廢氣體，造成了嚴(yán)重空氣污染，于是工廠通過減產(chǎn)來控制廢氣的排放量，若第t年廢氣的排放量為，求該工廠在t=0到t=5年間排出的廢氣總量。

引導(dǎo)學(xué)生思路，教師講解如何利用定積分思想表示石油總產(chǎn)量問題。引導(dǎo)學(xué)生類比上述分析方法自己建立石油化工廠污染問題的積分表達(dá)式。啟發(fā)學(xué)生思考定積分的思想還可以應(yīng)用于哪些實(shí)際問題并給予提示。

4.6 內(nèi)容小結(jié)

提出問題：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你們學(xué)習(xí)到了哪些知識(shí)？掌握了哪些思想方法？讓學(xué)生先對本節(jié)內(nèi)容做出總結(jié)，然后多媒體演示歸納本節(jié)重點(diǎn)，便于學(xué)生明確學(xué)習(xí)重點(diǎn)，提高認(rèn)識(shí)。

4.7 布置作業(yè)題和思考題，為后續(xù)學(xué)習(xí)進(jìn)行引導(dǎo)

布置作業(yè)題和思考題讓學(xué)生鞏固所學(xué)知識(shí)，養(yǎng)成認(rèn)真思考和預(yù)習(xí)的好習(xí)慣。要求學(xué)生以學(xué)習(xí)小組為單位搜集專業(yè)中或生活中包含定積分思想的例子并整理出解決問題的思想和方法，從而提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性和創(chuàng)新意識(shí)，鍛煉學(xué)生的邏輯思維能力和創(chuàng)新思維能力。

以石油工程專業(yè)為例的定積分概念的課堂教學(xué)設(shè)計(jì)使學(xué)生達(dá)到理解概念、掌握方法、培養(yǎng)能力的目的，真正提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力和解決實(shí)際問題的能力。落實(shí)課程思政，將思政育人元素融合到課堂教學(xué)，鼓勵(lì)學(xué)生做一個(gè)厚德載物之人，成為社會(huì)主義合格建設(shè)者和可靠接班人。以素質(zhì)和專業(yè)能力培養(yǎng)為導(dǎo)向的教學(xué)設(shè)計(jì)適應(yīng)時(shí)代要求，充分發(fā)揮了課堂教學(xué)在教育中的重要作用，使學(xué)生真正體會(huì)數(shù)學(xué)之美，實(shí)現(xiàn)了培養(yǎng)學(xué)生綜合素質(zhì)的目標(biāo)，真正達(dá)到應(yīng)用型本科院校人才培養(yǎng)的要求。