基于素質(zhì)和能力培養(yǎng)為目標(biāo)的定積分概念教學(xué)設(shè)計
——以石油工程專業(yè)為例

鄭慧軍 宋國亮 郭立豐 馮鳳萍

（東北石油大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 黑龍江·大慶 163318）

定積分是微積分教學(xué)中的一個重點，同時也是一個難點，如何讓本節(jié)內(nèi)容受學(xué)生歡迎呢？如何讓學(xué)生理解定積分的本質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思想，提高解決實際問題的能力呢？

（1）課堂教學(xué)設(shè)計要有針對性，想學(xué)生之所想。

（2）要與學(xué)生互動。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程是一個不斷提出問題和解決問題的過程，有了問題學(xué)生學(xué)習(xí)才會有動力，才能調(diào)動學(xué)生的積極性。

（3）知識能力和素質(zhì)有機融合，培養(yǎng)學(xué)生解決復(fù)雜問題的綜合能力和高級思維。教學(xué)形式要體現(xiàn)先進性和互動性，學(xué)習(xí)結(jié)果要具有探究性和個性化。

（4）以能力培養(yǎng)為核心，挖掘?qū)W生潛力，激發(fā)學(xué)生想象力和創(chuàng)造力，勇于進取。培養(yǎng)學(xué)生“用數(shù)學(xué)”的意識，感知生活，感悟數(shù)學(xué)！

（5）讓知識可視化、形象化、趣味化的同時，傳播正能量，堅持立德樹人，落實課程思政。

1 教學(xué)目的

（1）知識目標(biāo)：理解定積分的概念，掌握利用定積分的思想解決實際問題的步驟。

（2）能力目標(biāo)：①熟練利用定積分的概念，解決非均勻分布的量的求和問題。②培養(yǎng)學(xué)生觀察、比較、分析、總結(jié)和抽象概括的能力。

（3）情感目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維方式觀察和分析實際生活中的問題，滲透化整為零和積零為整的辯證唯物觀。

2 重點、難點

教學(xué)重點：定積分的概念、定積分的幾何意義。

教學(xué)難點：定積分定義中無限細(xì)分和無窮累積的思維方法。

3 教學(xué)方法和教學(xué)手段

教學(xué)方法：講授法、問題驅(qū)動法、啟發(fā)式教學(xué)法和案例式教學(xué)法。

教學(xué)手段：（1）多媒體課件與板書相結(jié)合；

（2）利用“超星學(xué)習(xí)通”在線測試，分享學(xué)習(xí)資料并布置課后作業(yè)題與思考題。

4 教學(xué)內(nèi)容

引課內(nèi)容：多媒體展示幾組圖片，拋出問題如何求這些不規(guī)則圖形的面積呢？引導(dǎo)學(xué)生進入課堂狀態(tài)，讓學(xué)生帶著問題進入學(xué)習(xí)狀態(tài)。

4.1 問題引入

通過實際問題引入，充分調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和興趣。

引例1曲邊梯形的面積。

提出問題：（1）什么是曲邊梯形？能否直接求出面積的精確值？（2）可否用矩形的面積近似代替曲邊梯形的面積？如果能，如何解決誤差問題？

多媒體動畫演示，帶領(lǐng)學(xué)生慢慢地建立起“分割、近似、求和、取極限”的思想。然后引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)為求出該曲邊梯形的面積可以利用分割的思想進行以下步驟：

（1）“大化小”：將區(qū)間[a,b]任意劃分成n個小區(qū)間，a=x0＜x1＜ x2＜…＜ xn-1＜ xn=b；

（2）“以常代變”：以小矩形的面積近似代替小曲邊梯形面積得

（3）“近似和”：利用所有小矩形面積的和近似代替所求曲邊梯形的面積得

引例2變速直線運動的路程。

設(shè)物體作直線運動 已知速度v=v(t)是時間間隔[T1，T2]上t的連續(xù)函數(shù)且v(t)≥0，計算在這段時間內(nèi)物體所經(jīng)過的路程S。

提出問題：“以常代變”的“常”應(yīng)該如何選取？引導(dǎo)學(xué)生自主思考，抓“共性”和“個性”，要求學(xué)生自己寫出求解該問題的具體方法和詳細(xì)步驟。通過學(xué)生自主思考讓學(xué)生進一步建立“分割、近似、求和、取極限”的思想，讓學(xué)生充分理解“化整為零”和“積零為整”的思想，并進一步強調(diào)其思想在后續(xù)學(xué)習(xí)中的重要性。

4.2 探究分析

（1）給出定積分的定義。

引導(dǎo)學(xué)生類比、抽象、歸納上述兩個問題的共性：解決問題的方法步驟相同、所求量極限結(jié)構(gòu)方式相同，由此抽象得到定積分的概念，培養(yǎng)學(xué)生掌握從具體到抽象，從特殊到一般的思維方法。多媒體展示定積分的定義，教師講解定義中各個符號的讀法并強調(diào)在定義應(yīng)注意：兩個“任意性”和一個“確定性”。

（2）給出定積分可積的條件。

①函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)；

②函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上有界，且只有有限個間斷點。

（3）引入課程思政內(nèi)容讓學(xué)生從定積分的思想中感悟人生哲理，樹立正確的價值觀，積極向上的人生態(tài)度。

①求曲邊梯形的面積時，“化整為零”的思想是將復(fù)雜的問題一點點轉(zhuǎn)化為自己熟悉的簡單問題，體現(xiàn)著人生中變通的思想。比如和人交流的時候，學(xué)會用簡潔的語言表達復(fù)雜的事，可以大大提高效率和避免誤會。

②求曲邊梯形的面積“積零為整”的思想體現(xiàn)了“不積跬步，無以至千里，不積小流，無以成江海”的道理。每一份堅持都是成功的累積，不管做什么事情，只要你堅持，腳踏實地，一步一個腳印就一定會取得成功。

③幸福是可積的，有限的間斷點并不影響它的積累。所以我們要忘卻點點不快，不要被生活中的一些小挫折所嚇倒要樂觀地面對人生!

（4）針對定積分的定義和定積分可積的條件在試題庫中抽出兩個簡單的測試題，利用超星學(xué)習(xí)通隨堂練習(xí)功能進行測試互動，通過學(xué)生的測試成績檢測學(xué)生對定積分定義和可積條件的理解情況。

4.3 學(xué)以致用

通過例題的講解，讓學(xué)生掌握利用定積分定義計算定積分和求極限的方法，讓學(xué)生進一步鞏固對定積分概念及思想的理解。

讓學(xué)生自主練習(xí)做題，通過練習(xí)可以檢測學(xué)生對知識的掌握情況，找到差距，有利于學(xué)生養(yǎng)成良好的思考習(xí)慣。

4.4 引申拓展

讓學(xué)生從幾何的角度來看定積分的定義，給出定積分的幾何意義。

（1）f(x)≥0時，表示曲邊梯形的面積（見圖1）。

圖1

（2）f(x)≤0時，表示曲邊梯形的面積的負(fù)值（見圖 2）。

圖2

（3）提出問題：若f(x)在積分區(qū)間上既有正又有負(fù)，其面積該如何表達呢？多媒體演示圖3，引導(dǎo)學(xué)生觀察思考：圖中陰影部分面積如何用定積分表達？

圖3

4.5 鞏固與提升

（1）給出典型例題進行講解和練習(xí)，通過例題可以加深學(xué)生對幾何意義的理解。提高學(xué)生的積極性和獨立思考能力。教師一邊引導(dǎo)分析，一邊講解。

例3：用定積分幾何意義計算。

（2）為滿足學(xué)生的心理需求，感受數(shù)學(xué)的實用價值，給出與專業(yè)相關(guān)的實踐問題，作為本節(jié)掌握定積分思想及應(yīng)用的一個能力檢測。培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和應(yīng)用數(shù)學(xué)思想解決實際問題的能力。

例4：用定積分表示下述所求問題。

①石油總產(chǎn)量問題。經(jīng)濟學(xué)家研究一口新井的原油生產(chǎn)速度R(t（)t的單位：年）為R(t)=10.02tsin(2t)，求開始3年內(nèi)生產(chǎn)的石油總量。

②石油化工廠污染問題。某石油化工廠排放大量廢氣體，造成了嚴(yán)重空氣污染，于是工廠通過減產(chǎn)來控制廢氣的排放量，若第t年廢氣的排放量為，求該工廠在t=0到t=5年間排出的廢氣總量。

引導(dǎo)學(xué)生思路，教師講解如何利用定積分思想表示石油總產(chǎn)量問題。引導(dǎo)學(xué)生類比上述分析方法自己建立石油化工廠污染問題的積分表達式。啟發(fā)學(xué)生思考定積分的思想還可以應(yīng)用于哪些實際問題并給予提示。

4.6 內(nèi)容小結(jié)

提出問題：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你們學(xué)習(xí)到了哪些知識？掌握了哪些思想方法？讓學(xué)生先對本節(jié)內(nèi)容做出總結(jié)，然后多媒體演示歸納本節(jié)重點，便于學(xué)生明確學(xué)習(xí)重點，提高認(rèn)識。

4.7 布置作業(yè)題和思考題，為后續(xù)學(xué)習(xí)進行引導(dǎo)

布置作業(yè)題和思考題讓學(xué)生鞏固所學(xué)知識，養(yǎng)成認(rèn)真思考和預(yù)習(xí)的好習(xí)慣。要求學(xué)生以學(xué)習(xí)小組為單位搜集專業(yè)中或生活中包含定積分思想的例子并整理出解決問題的思想和方法，從而提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性和創(chuàng)新意識，鍛煉學(xué)生的邏輯思維能力和創(chuàng)新思維能力。

以石油工程專業(yè)為例的定積分概念的課堂教學(xué)設(shè)計使學(xué)生達到理解概念、掌握方法、培養(yǎng)能力的目的，真正提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力和解決實際問題的能力。落實課程思政，將思政育人元素融合到課堂教學(xué)，鼓勵學(xué)生做一個厚德載物之人，成為社會主義合格建設(shè)者和可靠接班人。以素質(zhì)和專業(yè)能力培養(yǎng)為導(dǎo)向的教學(xué)設(shè)計適應(yīng)時代要求，充分發(fā)揮了課堂教學(xué)在教育中的重要作用，使學(xué)生真正體會數(shù)學(xué)之美，實現(xiàn)了培養(yǎng)學(xué)生綜合素質(zhì)的目標(biāo)，真正達到應(yīng)用型本科院校人才培養(yǎng)的要求。