淺談作輔助線的思路

黎建良 張霞

摘要：本文將從順向思路、逆向思路、綜合思路作為分析入手進行探索如何作輔助線。至力于摸索解決作輔助線問題的套路，至以像解方程那樣有它的較清晰的一般解題步驟，讓學生有路可循。

關鍵詞：輔助線的起源、作輔助線的目的、作輔助線的思想方法、作輔助線的原則

首先明白作輔助線有什么作用，什么情況下要作輔助線？作輔助線可以幫助我們思考證明，利于把已知條件與結論之間聯系起來，從而使得思路連通。在證明有困難時，發現需要應用某個基本圖形的某個性質，但題目所給的線條不足，這時應考慮作輔助線構造這個完整的基本圖形。仔細地審查平時作輔助線的思考過程不難發現：輔助線的產生來源于思路的需求或嘗試應用某一性質。幾何證明的思路決定著需要怎么作輔助線，所以探索作輔助線問題必須和幾何證明的思考過程一起分析。根據不同的思維活動路線把思路分成三類：

一、逆向思路：以證明的結論出發，尋找使得結論成立的充分條件，即尋找以本題的求證為結論的相關定理，然后又以剛才所選擇的定理的成立條件作為新的結論，以此模式不斷地逆推，直至所需的條件為已知條件或定理、公理等等。如果在運用在逆推尋找充分條件的過程中，發現題目直接給出的條件不夠以至不能繼續往上推，這時該想到作輔助線了，缺什么條件就補什么條件。它的思路很清晰，但有點繁瑣。例如：如圖：AB∥CD，AD∥BC 求證：AB=CD。（證明平行四邊形對邊相等）

分析：結論→即要證明兩邊相等→（在大腦里搜索可以證明兩邊相等的定理）→其中一個為：“全等三角形對應邊相等” →（這定理成立的條件又為：這兩個三角形為全等三角形）→觀察圖形發現缺乏分別含AB和CD邊的兩全等三角的條件→那就補這個條件，就分別構造含AB和CD邊的兩個全等三角，容易觀察猜到連結AC所造成的三角形為全等三角形，當然連BD也行.

證明：連接AC（或BD）

∵AB∥CD AD∥BC

∴∠1=∠2，∠3=∠4

又AC=AC

∴△ABC≌△CDA （ASA）

∴AB=CD

總結：從這里可以看出輔助線的產生是伴隨思路的需求產生的，它是為了解決某個特定問題而產生，它擔當著橋梁性的作用使得思路能順暢地往上推。所以作輔助線是具有很強的目的性的，指向性是很明確的，并不是隨意畫的。

二、順向思路：采用發散思維，順著思考問題，從已知出發，根據基本圖形的定義、性質、判定定理以及公理等，一步一步往下推直至得出結論。若題目的圖形單一，條件不繁雜，此時可優先考慮順向思考。但在思考過程中若感覺有困難，就要想到可能要作輔助線了，要有作輔助線意識。接著看基本圖形有什么性質就試用什么性質，沒有什么線條的，就補什么線條。單個圖形的性質較少相對應的輔助線最多也就那么幾條，可逐一嘗試，也很快把思路推導下去了。

例如：如圖，已知AB>AD， ∠BAC=∠DAC，CD=BC。求證：∠ADC+∠B=180。。

分析：看完題目后第一感覺證明有困難→這時要有作輔助線意識了→由∠BAC=∠DAC即可知AC為角平分線（或嘗試從翻折角度思考）→角平分線有什么性質？→“角平分線上的點到兩邊距離相等”→為能運用上這個性質，發現缺什么線，就補什么線（作角平分線上一點向角兩邊的垂線），作為一種嘗試性思考。過點C作向∠BAD的兩邊作垂線CN，CM，這時容易發現△BNC、△DMC全等，進而利用轉換手段和平角性質證∠ADC與∠B之和為180度。

證明：作CN⊥AB于點N，CM⊥AE于點M，

∵∠BAC=∠DAC， CN⊥AB于點N，CM⊥AE于點M，

∴CN=CM， ∠BNC=∠DMC=90。

又CD=BC

∴△BCN≌△DCM（HL）

∴∠B=∠CDM

又∠CDM與∠ADC構成平角即∠ADC+∠CDM=180。

∴∠ADC+∠B=180。

總結：采用發散思維來思考雖然屬于嘗試性證明，但作輔助線也不是盲目性的，是具有目的性，有方向性的，是為了應用得上某個基本圖形的某個特定性質而作的。這時要求平時注意積累應用基本圖形的某個性質的輔助線作法的經驗了，會對作起輔助線來方便很多的。例如：在一個三角形中知到一邊的中點，為了運用上三角形的中位線定理這個性質，可以聯想到作它的中位線，作另一邊的中點然后連接起來，也可以過這一點作一條平行第三邊的線段，然后再求所交的點為中點。

三、綜合性思路：往往是從兩頭夾擊，其思維過程是兼顧已知條件和結論以及圖形，運用兩種推理方式不斷地朝著對方靠攏直至把順逆兩種零碎的思路不斷串連接起來。1.若圖形不是單一的，線條多性質較多，再一一嘗試那么花費的時間實在太多了，并容易感到無從下手，常常要采用綜合性思路，它可以減少作輔助線的嘗試次數。2. 如果已知條件繁多，有著過多的可能性，并且與結論聯系跨度大，難以一下知道如何證明這時需從兩頭夾擊推導出更多的新的已知和轉化更多的新的結論來提供分析進一步明朗證明的方向，逐步明白所需的是什么。3.如果已知條件之間分散，往往直接看不出存在什么聯系，需多方分析. 需把各種有用的分散的條件聚合在一起，這時往往需要作一些變換性的輔助線把一些線條聚攏到一個基本的圖形中，以便應用某一性質。下面主要講第三種情況：

例如： 如圖，已知AB>AD， ∠BAC=∠DAC，CD=BC。求證：∠ADC+∠B=180。。

分析：逆向思維要證∠ADC+∠B=180→搜索與角度數有關的，如：平角為180度。→通過把這兩個角進行圖形變換使得它們拼成一個平角或通過轉換方法使之能運用上平角的性質→→再觀察圖形（結合圖形）容易發現∠ADC與∠CDE構成一個平角，朝這個目標思考如何把∠CDE與∠B實行轉換。→→返回已知（順向思維）從已知可知 AC為∠BAD的平分線→聯想到對稱軸性， AC為∠BAD的對稱軸→兼顧多方面根遵循聚攏原則通過變換手段把分散的線條聚攏在一起，由已知BC=CD，自然會想到把BC邊B端翻折到AE邊上（或D點翻折到AB邊上），這樣就把線條BC和CD聚攏在一個基本圖形（等腰三角形）上，且也把∠B聚攏在這個圖形中。→可知∠CDE=∠CMD=∠B，∠ADC與∠B之和為180度。

證明：因為∠BAC=∠DAC，所以設BC沿AC翻折到邊AE與點B重合的點為M ，連結MC則BC=CM，∠CMD=∠B. （或過C點作∠CMD=∠B，再證△BCA≌△MCA，得BC=CM，也是源于翻折變換思想的啟發）

又∵CD=BC

∴CD=CM

∴∠MDC=∠CMD

又∠CMD=∠B

∴∠CDM=∠B

又∠CDM與∠ADC構成平角即∠ADC+∠CDM=180。

∴∠ADC+∠B=180。

如果思考如何遵循聚攏原則通過變換手段把分散的線條聚攏在一起時還想到用旋轉手段（或圓的性質）有會一些不同了。在作輔助線的過程可能會加多圓知識進去進一步明確M點的位置。 如證明：因為∠BAC=∠DAC，所以設BC沿AC翻折到邊AE與點B重合的點為M ，連結MC則BC=CM，∠CMD=∠B.其中M點位置為以C為圓心CB長為半徑作圓與AE的另一交點便是如圖所示。

還可這樣證明：以C為圓心BC長為半徑作圓交AB于N點，交AE于M點，連NC，MC。由于因為∠BAC=∠DAC，圓心在AC上所以AC為∠BAE和圓C的共有的對稱軸，可知點N與D，點B與M為對應點即可知△BCN≌△DCM，繞C點旋轉后∠B與∠CDM重合故有∠ADC+∠B=180。。

（2013年海南省）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD=5，∠B=60°，則BC=________________.

根據聚攏原則線條聚攏的方法把分散的條件AB=CD通過作平行線把CD聚在一個基本圖形中△ABE中這道題就突破了，再應用等邊三角形的性質和平行四邊形的性質后面的問題就迎刃而解。當然可以為了應用等邊三角形的性質和平行四邊形的性質直接通過看出來便知過A點作CD平行線。

總結綜合性思路作輔助線需有一些思想方法和要遵循一些原則：1.遵循聯通原則，作輔助線最終目的是為使得思路聯通起來的。2.遵循聚攏原則，要有方向感，兼顧已知條件和結論兩頭且要和圖形結合起來，要為它們不斷向對方靠攏進行搭橋鋪路，分散的有關聯的線條要聚攏在一起。 3.出現的條件是針對應用某基本圖形中的某一性質而作輔助的。4.線條聚攏的方法一般是通過圖形變換（平移、軸對稱、旋轉）作輔助線把具有某種關系分散的線條聚合在一個基本圖形中。

通三種思路不難發現不同的問題和相同的問題不同的思路，根據要應用的性質是不同的，所需作的輔助線也是不同的，所以添加合適的輔助線決定于問題和對問題的思考。其實作輔助線問題實質是對幾何證明的思考方式的結果，思路上需要就作不需要就不作，并不是問題本身是不是一定要作的問題，理通幾何證明的思路，作輔助線問題也基本解決了。要能夠真正學會作輔助線，第一：要熟記基本幾何圖形的性質和所需的線條。第二：掌握基本作法及表達。第三：要有一些思想方法和作輔助線的一些原則。這三點是相互影響的，缺一不可。本文以簡單的例子來說明是如何思考作輔助線的，希望對有需要人有幫助。

參考文獻：

[1] 人民教育出版社，課程教材研究所，中學數學課程教材研究開發中心.義務教育教科書數學八年級下冊[M].北京：人民教育出版社，2013.8.

[2] 文檔貢獻者，網名：whynot910.談談怎樣添加幾何輔助線.百度文庫：http：//wenku.baidu.com/link？url=rcCK90y7LEJjlKV98EvmkD7YTT9muKz7DPl_n9O8ReQInTIQ05oEEGKOCsc4WLDtWsVekBeNeCe_GheJg2LC8x1a8SXSi5H2h_gLatDdrfu ，2013-03-23.

海南省東方市第二中學 黎建良

海南省東方市民族中學 張霞