用現(xiàn)象牽引數(shù)學(xué)概念，促進學(xué)生應(yīng)用思維發(fā)展

張振浩

【摘 要】對高一的同學(xué)而言，物體的形狀，大小可以由看到的實物產(chǎn)生聯(lián)想，在課題《空間幾何體的表面積》中，本文就如何引導(dǎo)學(xué)生認識表面積，計算表面積以及如何在學(xué)習(xí)中發(fā)展學(xué)生應(yīng)用意識的思維進行研究和再認識。

【關(guān)鍵詞】現(xiàn)象教學(xué);數(shù)學(xué)概念;應(yīng)用思維

在一次工作室的教學(xué)演示活動學(xué)習(xí)中，筆者與兩位老師同課題“空間幾何體的表面積”開課學(xué)習(xí)。在兩位老師的課堂教學(xué)中，筆者體會到老師的智慧，學(xué)生的反饋，以及對該課題教學(xué)的點滴思考。下面，筆者就該課題如何展開，以及如何激發(fā)學(xué)生應(yīng)用意識，獲得對物體的感官直覺認識進行討論。

一、以學(xué)生的思維做向?qū)б氡砻娣e的概念

首先，對于空間體的引入，兩位老師這樣介紹：

第一位老師這樣引導(dǎo)學(xué)生：

教師A：同學(xué)們，我們校園里有很多美麗的風(fēng)景和難忘的建筑值得大家回憶。這里的電話亭，平時宿舍區(qū)域使用的供熱設(shè)備等。不知道同學(xué)發(fā)現(xiàn)沒有，它們看上去都是那么地和諧、合理，這些物體在我們印象中是叫做什么樣的幾何體啊？（由前面的學(xué)習(xí)，同學(xué)們比較容易想到圓柱，棱柱）

學(xué)生：是長方體，圓柱體。

教師A：下面就讓我們來回憶下柱體、錐體的概念。

第二位老師這樣引導(dǎo)學(xué)生：

教師B：同學(xué)們，請回憶你所學(xué)過的棱柱的形狀，將手中的長方形白紙折疊后，擺在桌面上，使之構(gòu)成棱柱（三棱柱、四棱柱等）的側(cè)面，并進行觀察。請談一談你的發(fā)現(xiàn)。

學(xué)生：有六面體，三棱柱，六棱柱。

教師B：還有沒有什么特征？（通過教師引導(dǎo)，學(xué)生進行辨析）

學(xué)生：是直棱柱，正三棱柱，正六棱柱。

教師B：好的，下面讓我們一起來認識以下這些特殊棱柱，它們還有哪些有趣的地方。

兩位老師能很好地引導(dǎo)學(xué)生觀察事物（不論是實體還是圖片），從觀察中感受特殊幾何體的特性，這為教學(xué)能順利進行提供保障。如果讓學(xué)生從平時的認識中自然產(chǎn)生本節(jié)課表面積的話題，是否可以呢？

概念是對表象的記憶，相關(guān)的表象在人們的活動中反復(fù)出現(xiàn)，這產(chǎn)生了兩個結(jié)果。第一是強化對它的記憶，隨時可以再認或再現(xiàn);第二是人們對它的“反復(fù)出現(xiàn)”本身也形成了記憶，也就是對它的再現(xiàn)有了預(yù)期。在提出立體幾何的表面積時，學(xué)生對表面積已經(jīng)有了相關(guān)的概念，我們可以做的，是對該概念在數(shù)學(xué)教學(xué)中的再現(xiàn)和組合。筆者做了這樣的一個教學(xué)設(shè)計：

教師C：同學(xué)們，表面積是什么，大家知道嗎？

學(xué)生：知道。

教師C： 什么是表面積，相信在每位同學(xué)的心里已經(jīng)有了一個答案，不同的形狀表面積可能相同，因此，本節(jié)課，同學(xué)們來看下面積、表面積是怎么定義的，面積是指物體所占的平面圖形的大小，表面積是指所有立體圖形外面的面積。大家的身邊都有不同形狀的物體，表面隨處可見。

學(xué)生：是的，老師。

教師C：本節(jié)課，我們來找找那些幾何體的表面。

學(xué)生：老師，表面積很好找的！

教師C：你可以舉一些例子，讓同學(xué)們試試嗎？

學(xué)生：你看，鉛筆、茶杯是物體，不都是有表面積的嘛！

（有學(xué)生應(yīng)和道：老師，他這個人也是有表面積的）

教師C：好的，那我們來看看你的茶杯，如何計算出他的表面積？

學(xué)生：不就是個圓柱嘛，兩個底面加側(cè)面就是了。

教師C：好的，這位同學(xué)已經(jīng)把該物體從形狀上判斷為圓柱，那如何求出圓柱的表面積呢？

同學(xué)們發(fā)現(xiàn)沒有，我們這位同學(xué)已經(jīng)把圓柱分成了三個部分，你們知道是哪些嗎？

學(xué)生：上下底面，側(cè)面。

教師C：如何求出側(cè)面面積？

學(xué)生：側(cè)面是一個矩形。

教師C：好的，說到矩形，同學(xué)們可以看到，我們感覺用矩形紙片能圍成一個圓柱形的側(cè)面，大家有沒有探尋過，為什么可以呢？（下面的環(huán)節(jié)可以由同學(xué)們拿出一張紙來，自己做個圓柱體來觀察，并相互印證）

通過同學(xué)們的討論，有的同學(xué)發(fā)現(xiàn)，可以由旋轉(zhuǎn)體的角度觀察發(fā)現(xiàn)，圓柱的側(cè)面相當于是一矩形沿著軸旋轉(zhuǎn)而成，其中的邊（即后來稱為圓柱的母線）始終保持垂直于一個平面位移，因此，所形成的圖形是一個矩形。

通過上述的問題和學(xué)生的回答，我們看到同學(xué)們在實際的問題中對旋轉(zhuǎn)體，空間位置的理解與感悟。同學(xué)們在對圓柱的表面積認識的過程中，不僅理解了形狀，更體會到了對旋轉(zhuǎn)這一概念應(yīng)用的價值。學(xué)生作為思維的主題，可以很好地由教師所提出表面積一說進行思考，有時候教師只要提點

一下學(xué)生，他們就是尋著特征找到最需要的目標。人民教育家陶行知這樣設(shè)想：“讓他們?nèi)ソ佑|大自然中的花草、樹木、青山、綠水、日月、星辰以及大社會中之士、農(nóng)、工、商、三教九流，與萬物為友，自由地對宇宙發(fā)問！”

我們還可以這么來問同學(xué)，如果把一圓柱的側(cè)面沿著下底面一點剪開，到上底面，展開后是什么圖形呢？可以想象得到，同學(xué)們的答案是豐富多彩的，方法也可以是各種各樣。數(shù)學(xué)教育過程中，既應(yīng)該關(guān)注學(xué)生對數(shù)學(xué)基本內(nèi)容的掌握，也應(yīng)該讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，幫助學(xué)生形成一個開闊的視野，學(xué)生要有知識更要有見識。

二、對物體的拆與合是學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用的過程

關(guān)于棱錐和棱臺的表面積，筆者覺得還可以通過以下的方式來進行教學(xué)：

教師C：既然同學(xué)們了解了幾何體，特別是多面體的概念，那么表面怎么求？

學(xué)生：跟剛才一樣，求出各個面即可。

教師C：我們來看下正四面體，如何求表面積？

學(xué)生：每個面都一樣，一個面的面積乘以四就可以得到了。

教師C：那正三棱錐呢？

學(xué)生：四個面算一下。

教師C：每個面形狀如何？

學(xué)生通過這樣的比對，發(fā)現(xiàn)側(cè)面是等腰三角形且全等，底面是正三角形。因此，S正三棱錐=S底面+S側(cè)面1+S側(cè)面2+S側(cè)面3，這時，可以讓學(xué)生繼續(xù)演算下去。S正三棱錐=邊3×斜高3。

教師C：表達式能合并嗎？

學(xué)生：因為側(cè)面是全等的等腰三角形，所以斜高都相等，底邊都相等。

教師C：還能“合并”嗎？

學(xué)生：提取斜高，底面的和可以寫成底面三角形的周長。

教師C：這里我們可以發(fā)現(xiàn)S正三棱錐高。如果我們再去找找別的幾何體，看看哪些也可以用同樣的方式計算出幾何體的側(cè)面面積？注意，抓住該幾何體的特征。

學(xué)生：正多邊形為底邊的正棱錐可以這樣計算，因為各個側(cè)面也是全等的等腰三角形。

教師C：那還有沒有其它的幾何體可以容易計算出側(cè)面面積的？（側(cè)面看作是全等的多邊形）

學(xué)生：正棱臺也可以。

教師C：同學(xué)們可以通過類似的方法學(xué)習(xí)如何計算空間幾何體的表面積。

通過上述教學(xué)活動，學(xué)生可以通過對空間幾何體的認識，結(jié)合已有的平面圖形的認識，對幾何體進行拆分，整合相關(guān)元素，找到共性。學(xué)生在這樣的學(xué)習(xí)中可以提升自我應(yīng)用意識的培養(yǎng)，提高判斷能力和遷移能力。

【參考文獻】

[1]孫四周.思維的起源[M].中國國際廣播出版社，2019.05

[2]陶行知.中國教育改造[M].商務(wù)出版社，2008.12

[3]王尚志，孔啟平.培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識是數(shù)學(xué)課程的重要目標[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2002（02）：43-45