中學時期的找規律題型總結

山東財經大學 馬小丫

關于找數字之間規律的幾點說明：

1.給出數據，問通項公式。在做選擇題時可直接代入檢驗，但往往選項與選項之間的差別較小，代入前幾項很難排除，后幾項的計算量較大。

2.找規律至少是三項，只有兩項具有無數種通項。

3.當遇到圖形問題時，可適當地轉化為數字問題，運用“數形結合”的思想。

4.費馬猜想的錯誤。

猜想：當n為非負整數時，+1是一個質數。

通過驗證n=0，1，2，3，4 這五個事實，得出此猜想。最后被歐拉舉出反例：n=5時，+1=641×6700417,不是質數。

這個事例告訴我們，由個別事實的數量特征，通過歸納得出對所有對象都成立的一般特征時，使用的是不完全歸納法，可能正確，也可能不正確。我們要想說一個定理不成立，只需要舉出一個反例即可；而要說明它成立，則需要嚴格的證明。

當然，在做數字類找規律的題目時，往往只需要前三項即可得出結論。

一、一次型

前后兩項差恒為常數，為等差數列形式。

（一）通用公式為“第一個數+定值（n-1）”。

證明過程：（運用累加法）設第n項為an，任意前后兩項的差為d，則有：

a2-a1=d，

a3-a2=d，

a4-a3=d，

……

an-1-an-2=d，

an-an-1=d。

令各式相加，再用倒序相加法易得：an-a1=(n-1)d，

所以通項公式為an=a1+（n-1）d。

（二）萬能方法（待定系數法）：確定為一次型，可設通項為y=kn+b，將其代入前兩項，即n=1，2時的情形，即可解得k，b。

二、二次型

證明過程：設第n項與第（n-1）項之間的差的通項為an-an-1=nd+b，則有：

a2-a1=2d+b，

a3-a2=3d+b，

……

an-an-1=nd+b。

同樣用累加法可得：

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這是一個二次函數形式的數列。

方法1：通過類似的推導過程，當發現前后兩項差的通項公式為一次函數形式時，可通過累加法，采用倒序相加法進行求和。

例1：求數列1，3，6，10……的通項公式。

解：后一項與前一項的差分別為2，3，4……

第n項與第（n-1）項的差為n，則有：

a2-a1=2，

a3-a2=3，

……

an-an-1=n。

方法2：湊模型法。

模型2：數列1，4，9，16……的通項公式為：n2。

1.首先判斷是否為二次型，即任意兩項之間的差是否為一個等差數列。

2.判斷為哪一種模型的二次型。拿到要求的數列，往模型1或模型2上湊，看與哪個模型形式更接近。大多數二次型可通過項的變換（如向前、向后移項或四則運算得到）轉換為模型1或模型2。

（2）如若是模型1或2進行加減乘除變換，只需要讓模型中的通解進行相應的加減乘除變換，整理后即可得通解。如：2，5，10，17……通過觀察，對其進行加減乘除運算可知為模型2中相應的項+1得到的結果，所以通項為n2+1；又如：3，7，13，21……比較可 知：n=1，a1=3=1+2=n2+n+1；n=2，a2=7=4+3=n2+n+1；n=3，a2=13=9+4=n2+n+1……綜上可得通項公式為n2+n+1。

方法3：如果實在不好湊，可選擇“萬能方法”：利用待定系數法。

由于得知為二次型，故可直接設為an2+bn+c，代入n=1，2，3時的情況即解得系數，但由于計算量較大，不到萬不得已不建議使用。

三、指數型

當前后兩項的差成等比數列或等比數列的加減乘除運算（后一項與前一項的比值為常數）時為指數型，如：3，5，9，17……前后兩項的差分別為2，4，8……是一個等比數列，此時通項仍為指數函數，且底數與差的底數相同。

證明過程：設第k項與第（k-1）項的差為a0·qk，同樣利用“累加法”的思想得到：

各式相加得：

1.基本模型：2，4，8，16，32……其通項公式為2n。

2.同理，當出現對模型進行前后項的平移，如：1，2，4，8，16……即原來的第k項為2k，現在第k項變為2k-1（或判斷出平移后直接代入第一個），所以通項公式為2n-1。

3.如若是該模型進行加減乘除變換，只需要讓模型中的通解進行相應的加減乘除變換，整理后即可得通解。如：2，3，5，9，17……首先，前后兩項的差分別為：1，2，4，8……可判斷為指數型，于是往基本模型上靠攏，先將模型移項，再加1，即得通項：2n-1+1。

另外，由于計算量較大，不建議用“萬能方法”。