函數奇偶性

陜西省咸陽市彬縣范公中學 楊寶年

函數是高中數學的主線，貫穿于高中數學教學的始終。函數的奇偶性是函數最主要的性質之一，是函數對稱性的特殊形式，往往與函數的單調性結合在一起成為函數部分學習的難點，也是高考命題的熱點之一。下面我們就討論函數的這一性質——函數奇偶性。

一、函數奇偶性定義的理解

教材是這樣定義函數奇偶性的：一般地，圖像關于原點對稱的函數叫作奇函數。在奇函數f（x）中，f（x）和f（-x）的絕對值相等，符號相反，即f（-x）=-f（x）；反之，滿足f（-x）=-f（x）的函數y=f（x）一定是奇函數。圖像關于y軸對稱的函數叫作偶函數。在偶函數f（x）中，f（x）和f（-x）的值相等，即f（-x）=f（x）；反之，滿足f（-x）=f（x）的函數y=f（x）一定是偶函數。函數f（x）是奇函數或偶函數，我們就說函數f（x）具有奇偶性。

二、函數奇偶性的性質

（1）奇函數的圖像關于原點對稱，偶函數的圖像關于y軸對稱；（2）奇函數f（x）若在x=0處有定義，則f（0）=0；（3）奇函數在關于原點對稱的兩個區間上有相同的單調性，偶函數在關于原點對稱的兩個區間上有相反的單調性。靈活運用這些性質可以順利解決很多函數問題。

三、函數奇偶性的應用

例1：已知函數f（x）是定義在（-∞，+∞）上的偶函數，當x∈（-∞，0）時，f（x）=x-x4，則當x∈（0，+∞）時，f（x）=_。

解：當x∈（0，+∞）時，因為f（x）是定義在（-∞，+∞）上的偶函數，所以當x∈（0，+∞）時，f（x）=f（-x）=-x-（-x）4=-x-x4。

【點評】利用函數奇偶性確定函數的解析式，其本質是已知函數在一段區間上的解析式，然后利用奇偶性去求另一段區間上的解析式。這樣求出的函數往往是一個分段函數，注意不要寫成兩個函數。

例2：已知函數f（x）是奇函數，定義域是[a-1，1+2a]，則f（a）=_。

解：因為f（x）是奇函數，且定義域是[a-1，1+2a]，所以（a-1）+（1+2a）=0，即a=0，所以f（a）=f（0）=0。

【點評】要注意：①奇函數的定義域關于原點對稱；②奇函數在x=0處有定義，使得f（0）=0。

例3：設函數f（x）對任意實數x，y，都有f（x+y）=f（x）+f（y），若x>0時，f（x）<0，且f（1）=-2，則f（x）在[-3，3]上的最大值和最小值分別為_。

解：令x=y=0，則有f（0）=2f（0），即f（0）=0，

再令y=-x，則有f（x）+f（-x）=f（0）=0，所以f（x）為奇函數。

設x1，x2∈（-∞，∞），且x10。

因為x>0時，f（x）<0，

所以有f（x2-x1）=f（x2）+f（-x1）=f（x2）-f（x1）<0，即f（x1）>f（x2），

所以f（x）在（-∞，∞）上單調遞減，因而f（x）在x=3處取得最小值f（3），在x=-3處取得最大值f（-3）。

又已知f（1）=-2，所以f（2）=2f（1）=-4，

所 以f（3）=f（1+2）=f（1）+f（2）=-6，f（-3）=-f（3）=6，

故f（x）在[-3，3]上的最大值和最小值分別為6和-6。

【點評】賦值法是解該題的必要手段，通過賦值明確了函數的奇偶性，又根據題目條件，用構造法確定了函數的單調性，從而利用函數的單調性求得函數在所求區間上的最值。在求解過程中要會利用題目所給條件進行分析、聯想、構造，這是解決綜合題目的常見思路。