球面距離的向量求解方法及應用

山東省青島第二中學分校 楊慶忠

在計算球面上兩點間的球面距離時，一般的方法是先求出以這兩點為端點的弦長，再求出該弦在大圓中所對圓心角的大小，從而求出這兩點間的球面距離。而當球面上兩點的經緯度各不相同時，用常規的方法求這兩點為端點的弦長是比較麻煩的，而用向量求解就顯得比較簡潔了。

例如：求球面上兩點A(經度為β，緯度為α)，B(經度為β，緯度為α)的球面距離（經度中：東經記為“+”，西經記為“-”；緯度中：北緯記為“+”，南緯記為“-”；球半徑記為R）。

所以球面上兩點A、B的球面距離為：R×∠AOB的弧度數。

這種方法避免了立體幾何方面的線面關系的判斷，簡單易用，在教學中收到了良好的效果。從結論來看，數學的“對稱美”“簡潔美”在結論中也有充分的體現。

當然，對于簡單類型（如同緯度或同經度的問題），還是直接求解更方便一些。

應用實例：假如你要乘坐從廣州直飛洛杉磯的飛機，設想一下，它需要沿著怎樣的航線飛行呢？如果知道兩地的經緯度，據此你能計算出航程嗎？

解析：經查，廣州A的經緯度為：東經113°，北緯23°；洛杉磯B的經緯度為：西經118°，北緯34°。地球半徑R≈6370 km，球心記為O，如上圖，

α1=23°，α2=34°，β1=113°，β2=-118°，

∴cos∠AOB=sinα1sinα2+cosα1cosα2cos（β1-β2）

=sin 23°sin 34°+cos 23°cos 34°cos 231°

≈-0.26176115250823。

∴∠AOB≈1.835弧度，

∴A，B的球面距離≈1.835R≈1.835×6370=11689 km。

答：廣州白云機場到洛杉磯飛行距離約為11689 km。