中學數學教學中不可輕視的函數結構

安徽省馬鞍山市第二中學鄭蒲港分校 陶尚明

安徽省馬鞍山市第二中學 劉向兵

在很多次的教學研討或者公開課中，經常聽到教師們稱二次函數為基本初等函數，甚至也有的教師很詫異“為什么指數函數會被稱為超越函數？”本文將結合運算與解析式談函數的分類與這兩者的聯系，給教師備課提供更多的素材，希望能夠促進數學教學。

一、運算與解析式

在研究函數分類之前，很有必要了解一下“代數”這門學科。代數是研究數與字母的關系、性質和運算法則的分支學科，是研究實數和復數以及以它們為系數的多項式的代數運算理論和方法的數學分支學科。解方程就是代數的一部分內容，而初等代數的中心內容就是解代數方程，在中學，我們以研究初等代數為主。要討論代數方程，首先遇到的一個問題是如何把實際問題中的數量關系列成帶有未知數的代數式，然后根據等量關系列出代數方程，所以初等代數的一個重要內容就是代數式。那么，代數式與本文中的函數分類究竟有什么樣的聯系呢？帶著疑問，我們先從運算談起。

1.運算

2.解析式

圖1

二、函數相等

我們一起回顧一下《普通高中數學課程標準實驗教科書·數學》中關于函數的定義：“如果兩個函數的定義域相同，并且對應關系完全一致，我們就稱這兩個函數相等?！睆慕滩牡倪@段敘述來看，函數相等的定義很明確：如果函數的定義域和對應法則相同，那么函數相等。筆者同意第二種觀點，對應法則本質就是自變量與因變量的配對法則，解析式只是一種表示方式，式的形不同，配對的法則不一定不同，如果表達式可以化簡或者等價到同一種形式，那么對應法則就是一樣的，這與代數中的式（也叫解析式）不一樣，其強調的是形，而函數注重對應關系的本質。例子中的兩個函數定義域一樣，定義域中每一個數所對應的函數值都是完全一致，如圖2，因此這兩個函數相等。函數的實際配對沒有區別，像這樣的兩個函數不應該被分成兩類不同的函數。

圖2

三、函數分類

1.基本初等函數與初等函數

關于基本初等函數的提法，各個文獻有所不同，常見的有三種提法。第一種提法：基本初等函數包括常值函數、冪函數、指數函數、對數函數、三角函數與反三角函數六大類函數；第二種提法：基本初等函數包括冪函數、指數函數、對數函數、三角函數與反三角函數五大類函數；第三種提法：基本初等函數包括常值函數y=1、恒等函數y=x、正弦函數y=sinx以及指數函數y=ex這四個函數。先不討論誰更優，那么怎么形成初等函數呢？文獻提出由基本初等函數經過有限次四則運算及有限次復合步驟得到的函數稱為初等函數。而第二種提法下，初等函數是由常數與基本初等函數經過有限次四則運算及有限次復合步驟得到的函數。其實第二種提法與第一種提法差距不大，無本質區別。文獻中指出，如果是第三種提法，那么初等函數則是由基本初等函數經過數乘、有限次四則運算、有限次復合步驟及求反函數而得到的函數。目前主流說法是第一種提法，之所以是第一種提法，筆者認為有多方面因素，如對數的出現是數學歷史上關于數的重大發明，一要突出其地位，二要尊重歷史，三是能夠讓中學生更直接地了解數學中最經典的知識。而且為了給學生減負，很多知識在現有的中學階段已經淡化，如數乘與反函數，中學教材中僅僅是在平面向量中提及數乘運算，且在學習指對函數時簡單提了一下反函數，甚至反三角函數直接不提。以上是筆者自己的觀點，不太成熟，有誤歡迎指正。

2.初等函數與非初等函數

由于函數注重對應關系的本質，根據運算（與對應法則相對應），可以將函數分為初等函數與非初等函數，至于每一種函數的名稱與函數表達式在這里不再詳述，如圖3是函數的結構分類。

圖3

本文有很多是筆者在教學過程中發現的問題，加入了很多自己的觀點，由于水平有限，不當之處，希望專家或讀者批評指正，只求能夠解決疑惑和達成共識。雖然本文中函數的結構分類不是中學數學教學的重點，但是至少能給讀者在中學數學教學時提供更加完整的備課素材，同時科普一下數學文化知識，這就達到了筆者寫這篇論文的初衷了。