初中生數(shù)感培養(yǎng)障礙及對策分析

王國強 胡啟山

[摘? 要] 當前許多初中生的數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)脫離生活實際，動手操作、實踐探索、思維創(chuàng)新不足，對數(shù)和量的感悟理解不夠深入，運算和解決問題的能力不強，導(dǎo)致“數(shù)感”薄弱. 為了改變這一現(xiàn)狀，在初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師要重視學(xué)生“數(shù)感”的培養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 初中生;數(shù)感;培養(yǎng);障礙;對策

所謂數(shù)感，就是對數(shù)、數(shù)運算、數(shù)量關(guān)系的一種感知、理解、領(lǐng)悟的能力，具體體現(xiàn)在能夠自覺理解數(shù)的意義，能用多樣化的方法表示數(shù)，能正確進行數(shù)的運算，能對數(shù)進行算法與算理的融合，能靈活運用數(shù)去分析和解決問題等方面. 當前，許多初中生的“數(shù)感”較為薄弱，在初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師要重視學(xué)生“數(shù)感”的培養(yǎng)，注意采取行之有效的策略，不斷激發(fā)、發(fā)展、強化學(xué)生的數(shù)感，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和能力.

初中生“數(shù)感”培養(yǎng)現(xiàn)狀及薄弱成因

數(shù)感是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要組成部分，也是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基石，隨著新課程改革的深入推進，學(xué)生的“數(shù)感”培養(yǎng)越來越受到教師的重視. 然而，在培養(yǎng)學(xué)生“數(shù)感”的過程中，仍存在諸多問題亟待解決，具體體現(xiàn)在以下幾個方面.

1. 數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)脫離生活實際，導(dǎo)致學(xué)生“數(shù)感”薄弱

數(shù)學(xué)概念的掌握是建立“數(shù)感”的重要基礎(chǔ). 良好的數(shù)感，源于現(xiàn)實生活實際，只有將抽象乏味的數(shù)學(xué)概念與生動有趣的生活實例緊密結(jié)合起來，才能更好地促使學(xué)生主動去感知和探究數(shù)學(xué)概念，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)積極性和主動性，為數(shù)感的形成和發(fā)展奠定堅實的基礎(chǔ). 然而，縱觀當前初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，不難發(fā)現(xiàn)，有些教師在教學(xué)數(shù)學(xué)概念時，往往脫離生活實際，過多地讓學(xué)生死記硬背，致使學(xué)生對數(shù)學(xué)概念似懂非懂，概念學(xué)習(xí)的積極性和主動性不高，對于概念的本質(zhì)、內(nèi)涵、價值更是一知半解，稍加追問則明顯底氣不足. 學(xué)生主要憑借自己的直覺去理解運用，機械化、模式化、重復(fù)化地刷題，最終導(dǎo)致“數(shù)感”培養(yǎng)成為無源之水，無本之木.

2. 動手操作和實踐探索不足，導(dǎo)致學(xué)生“數(shù)感”薄弱

數(shù)感是在實踐中發(fā)展起來的，通過實踐探究、動手操作、合作交流，可以調(diào)動學(xué)生多種感官參與學(xué)習(xí)，讓學(xué)生更加深刻地認識數(shù)、理解數(shù)以及掌握數(shù)，體驗數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣，進而促使學(xué)生對數(shù)產(chǎn)生濃厚的親切感和興趣感，不斷提升數(shù)感. 然而當前，受傳統(tǒng)教育思想的束縛，部分教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中仍采用“灌輸式”“填鴨式”教學(xué)模式，課堂上教師面面俱到、不厭其煩地講解知識點，學(xué)生機械被動地接受知識，缺乏獨立思考、動手操作和實踐探索的時間和空間[1].有些教師為了趕進度甚至連基本的活動探索也沒有，直接告訴學(xué)生相關(guān)的數(shù)學(xué)原理、數(shù)學(xué)公式、數(shù)學(xué)法則等，然后就進入大量的強化提升訓(xùn)練，抑制了學(xué)生學(xué)習(xí)自主性、思維創(chuàng)造性以及“數(shù)感”的進一步發(fā)展，導(dǎo)致學(xué)生“數(shù)感”薄弱.

3. 運算和解決問題的能力不強，導(dǎo)致學(xué)生“數(shù)感”薄弱

數(shù)感，既是一種自主的數(shù)學(xué)意識，也是一種重要的數(shù)學(xué)技能. 運算和解決問題的能力是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要掌握的基本技能，運算方法的掌握、運算結(jié)果的估計、運算和解題能力的提高，在很大程度會影響“數(shù)感”的培養(yǎng). 當前，許多學(xué)生運算能力、自主分析和解決問題的能力偏低，不但運算速度慢，運算符號把握不準確，而且運算準確率不高，運算思路與方法混亂，導(dǎo)致學(xué)生失分嚴重. 有些學(xué)生甚至一看到問題，就不知所措、憂心忡忡、自信不足、屢屢出錯，使其對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生畏懼和厭倦心理，形成了學(xué)習(xí)屏障，對數(shù)與量的感知每況愈下，數(shù)感能力發(fā)展不夠理想，極大地增加了學(xué)生“數(shù)感”培養(yǎng)的難度.

初中生“數(shù)感”培養(yǎng)對策

1. 創(chuàng)設(shè)有效情境，夯實概念構(gòu)建，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感

數(shù)學(xué)概念與“數(shù)感”的建立有著十分緊密的關(guān)系，由于數(shù)學(xué)概念本身具有較強的抽象性，在初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師若單純地講解數(shù)學(xué)概念，則顯得枯燥乏味，學(xué)生往往難以理解，且學(xué)習(xí)熱情不高.

若能結(jié)合學(xué)生心理特點，緊扣教學(xué)內(nèi)容，悉心創(chuàng)設(shè)生動有效的學(xué)習(xí)情境，不僅可以吸引學(xué)生注意力，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)能動性，而且可以深化學(xué)生對概念的理解，提高學(xué)生對數(shù)的認識，促進學(xué)生“數(shù)感”的形成.

比如，在教學(xué)“正負數(shù)概念”時，筆者創(chuàng)設(shè)了這樣的學(xué)習(xí)情境：某一足球隊參與比賽，上半場與下半場得分如下，試判斷其比賽結(jié)果：

①上半場贏6個球，下半場輸4個球，結(jié)果是（輸 贏 平）球;

②上半場輸7個球，下半場贏3個球，結(jié)果是（輸 贏 平）球;

③上半場贏5個球，下半場輸5個球，結(jié)果是（輸 贏 平）球.

然后提出問題：倘若贏5個球，記為“+5”，輸4個球記為“-4”，請用“+”“-”表示上述三個情境下贏、輸球的個數(shù). 接著，在此基礎(chǔ)上引入正、負數(shù)的概念：一般地，大于0的數(shù)為正數(shù)，在正數(shù)前加上“-”的數(shù)為負數(shù)，0既不是正數(shù)，也不是負數(shù)，它是正、負數(shù)的分界點. 這樣，結(jié)合實際生活，創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)情境，既喚起了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，又激發(fā)了學(xué)生數(shù)感.

又如，在講解“相反數(shù)的概念”時，為了讓學(xué)生更好地感受相反數(shù)，加深學(xué)生對相反數(shù)的理解和掌握，在教學(xué)過程中，筆者首先出示了如下幾個情境：

①要求兩位同學(xué)背靠背，一人向前走5步，一人向后走5步，若向前為正，向后為負，分別記作什么？

②汽車向南行駛8公里和向北行駛8公里，若向南為正，向北為負，分別記作什么？

③溫度為零上6攝氏度和零下6攝氏度，若零上為正，零下為負，分別記作什么？

④水位下降0.4米，升高0.4米，若升高為正，下降為負，又分別記作什么？

然后讓學(xué)生開動腦筋想一想：上述四個情境中的每一對數(shù)有何共同點？從中你得出了什么？通過分析情境，學(xué)生不難看出上述四對數(shù)，數(shù)字相同，符號不同，每一對均為相反數(shù)，進而得出相反數(shù)的概念：符號不同絕對值相同的兩個數(shù)互為相反數(shù). 這樣，通過生動有趣的情境鋪設(shè)，既深化了學(xué)生對相反數(shù)概念的理解，又在無形中培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)感.

2. 鼓勵動手操作，注重實踐探究，發(fā)展學(xué)生數(shù)感

古人云：“紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行”，我國著名教育家陶行知曾說過“教育要做到知行合一”，實踐出真知，實踐是思維的體操、創(chuàng)新的源泉. 學(xué)生“數(shù)感”的培養(yǎng)和發(fā)展，離不開動手實踐，新課程改革強調(diào)“做中學(xué)”，所以，在初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師在培養(yǎng)學(xué)生“數(shù)感”時，要注意鼓勵學(xué)生大膽動手操作，親身實踐探索，積極碰撞思維，相互交流討論，在動手、動腦、動口中豐富學(xué)生的學(xué)習(xí)體驗，發(fā)展學(xué)生敏銳的數(shù)感，提高學(xué)生學(xué)習(xí)熱情，增強學(xué)生實踐、動手、探究等綜合能力[2].

譬如，在探究“多邊形的對角線條數(shù)”時，筆者首先讓學(xué)生回顧三角形知識：同學(xué)們，三角形有沒有對角線？然后出示問題，引導(dǎo)學(xué)生邊畫圖，邊想一想、算一算多邊形的對角線條數(shù). 首先讓學(xué)生自己任意畫出一個四邊形、五邊形、六邊形……然后分別畫出對角線，接著引導(dǎo)同學(xué)們進行小組研討：對應(yīng)多邊形有多少條對角線？多邊形被分成幾個三角形？歸納總結(jié)出n邊形對應(yīng)的規(guī)律. 最后進一步追問當多邊形的邊數(shù)增加1時，對角線條數(shù)增加多少？從而深化學(xué)生思維，讓學(xué)生在探索歸納中深度感悟，思向遠方.

在探索過程中有學(xué)生說：經(jīng)過四邊形1個頂點能畫1條對角線，可以將四邊形分成2個三角形. 在四邊形中，由于每條對角線重復(fù)畫了2次，所以 = ，則四邊形有2條對角線;過八邊形的一個頂點可以畫5條對角線，它們將八邊形分成6個三角形，由于每條對角線重復(fù)畫了2次，所以 = ，八邊形有20條對角線;過100邊形的一個頂點可以畫97條對角線，它們將100邊形分成了98個三角形，每條對角線重復(fù)畫了2次，所以 =? ，則100邊形有4850條對角線. 最后，總結(jié)出結(jié)論：從n邊形的一個頂點出發(fā)，可以畫（n-3）（n≥3）條對角線，這些對角線可以將n邊形分成（n-2）（n≥3）個三角形，n邊形共有 （n≥3）條對角線，多邊形的邊數(shù)每增加1，對角線就增加 - =n+1條. 這樣，通過動手操作、動腦思考、歸納計算，學(xué)生對數(shù)學(xué)知識有了深刻的認識，不但發(fā)展了學(xué)生的數(shù)感，而且提高了學(xué)生的思維和實踐探索能力.

3. 加強運算訓(xùn)練，自主解決問題，強化學(xué)生數(shù)感

數(shù)感與運算密不可分，運算能力越強，數(shù)感就越強. 在初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師要注重對運算能力的訓(xùn)練、解題能力的訓(xùn)練，在綜合能力訓(xùn)練中發(fā)展學(xué)生的能力素養(yǎng)，提高學(xué)生對數(shù)的敏感度，強化學(xué)生的數(shù)感.

一是通過加強數(shù)的大小比較、估算、化簡、求值等運算訓(xùn)練，增強學(xué)生的數(shù)感.

例如，學(xué)習(xí)完“有理數(shù)和無理數(shù)”后，筆者進行了如下運算訓(xùn)練：①比較 + 與 + 、-3 與-2 的大小;②先化簡，再求值： + ÷ ，其中a，b滿足 +b- =0.

解： ①（利用平方法）（ + ）2=20+2 ，（ + ）2=20+2 ，因為 < ，所以（ + ）< + ;（借助絕對值和移動因式法）因為-3 =3 = ，-2 =2 = ，因為 > ，根據(jù)兩個負數(shù)相比較，絕對值大的反而小，所以-3 <-2 . 這樣，通過有理數(shù)、無理數(shù)的大小比較，既幫助學(xué)生掌握了數(shù)學(xué)方法，提升了學(xué)生的運算能力，又增強了學(xué)生的數(shù)感，激活了學(xué)生數(shù)學(xué)思維.

②該題將化簡求值與非負數(shù)的計算巧妙結(jié)合在一起，求解時只要把握了非負數(shù)不為0，即可使問題迎刃而解. 因為 ≥0，b- ≥0，故要使 +b- =0，則 =0且b- =0，故a=-1，b= .? + ÷ = × = = - =- .

二是通過加強綜合應(yīng)用訓(xùn)練，深化學(xué)生數(shù)感.

比如，執(zhí)教完“一次函數(shù)、一元一次方程、一元一次不等式（組）”的相關(guān)知識后，為了鞏固學(xué)生所學(xué)知識，錘煉學(xué)生的數(shù)感，以及運算能力、解決問題的能力，筆者聯(lián)系生活實際，設(shè)計了如下運算問題：

某校八年級要舉行“最美中國字”比賽，決定去“大潤發(fā)”選購鋼筆作為獎品. 已知該超市的A，B兩種鋼筆的單價分別是12元和8元.

（1）學(xué)校準備選購這兩種鋼筆共30支，如果用300元購買獎品，那么可以選購這兩種鋼筆各多少支？

（2）學(xué)校根據(jù)比賽的設(shè)獎情況，決定所購買的A種鋼筆的數(shù)量要少于B種鋼筆數(shù)量的 ，但又不少于B種鋼筆數(shù)量的 . 如果設(shè)購買A種鋼筆t支，買這兩種鋼筆共花費k元.

①請寫出k（單位：元）關(guān)于t（單位：支）的函數(shù)關(guān)系式，并嘗試求出自變量t的取值范圍;

②請你計算一下，購買這兩種鋼筆各多少支時，所花費用最少，并求出最少花費是多少元.

解：（1）設(shè)A種鋼筆選購x支，則B種鋼筆選購（30-x）支. 根據(jù)題意，得12x+8（30-x）=300，解得x=15. 又30-x=15，所以可以選購A，B兩種鋼筆各15支.

（2）①依據(jù)題意，可得k=12t+8（30-t），即k=4t+240，且有t< （30-t），t≥ （30-t）， 所以k（單位：元）關(guān)于t（單位：支）的函數(shù)關(guān)系式為k=4t+240，自變量t的取值范圍是 ≤t<12，且t為整數(shù).

②對于一次函數(shù)k=4t+240，因為k隨t的增大而增大，且 ≤t<12，t為整數(shù)，所以當t=8時，k有最小值，此時30-t=30-8=22，k=4×8+240=272（元）. 因此，當購買A種鋼筆8支、B種鋼筆22支時，所花費用最少，此時共花費272元.

從上述兩例不難看出，融合各類運算思想方法有助于學(xué)生在自主訓(xùn)練中明晰問題的本質(zhì)，有助于學(xué)生在數(shù)的感悟中深化對問題的理解，有助于學(xué)生在術(shù)與理的共生中把握問題的核心.

總之，初中生“數(shù)感”的培養(yǎng)并非是一蹴而就的，它是一個循序漸進、逐步生長、不斷深化的發(fā)展過程. 在初中數(shù)學(xué)常態(tài)教學(xué)中，教師要予以高度重視，一方面要精心創(chuàng)設(shè)有效情境，夯實概念構(gòu)建，激發(fā)學(xué)生的“數(shù)感”意識，幫助學(xué)生建立數(shù)感;另一方面，要注意加強學(xué)生的運算和解題訓(xùn)練，引領(lǐng)學(xué)生實踐探索、交流探討、創(chuàng)新共生，不斷豐富和強化數(shù)感，從而促進學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升[3].

參考文獻：

[1]張華超. 初中生數(shù)學(xué)探析能力培養(yǎng)之管窺[J]. 數(shù)理化學(xué)習(xí)（初中版），2014（09）：54.

[2] 徐柱柱. 初中生數(shù)學(xué)直觀素養(yǎng)的實證研究與啟示——基于湖南省Z市八年級的數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)監(jiān)測[J]. 教育測量與評價，2019（12）：26-33.

[3]王國強. 初中生數(shù)感培養(yǎng)價值及對策探索[J]. 中學(xué)課程資源，2021（01）：10-12.