數列常考題型及破題思路

揚州大學附屬中學東部分校 高 燕

對學生來說，數列在高中數學學習中是一個重點，也是學生在進入大學后學習高數的基礎知識，所以高考對于數列的考查每年都不會遺漏，而且往往會考得比較全面，將等比數列、等差數列和很多方面的知識相聯系，形成考核學生知識體系的綜合題型。命題往往從三個方面進行，第一個方面是數列本身的相關知識，比如等比數列和等差數列的求和、概念、性質、通項公式等，這類題目言簡意賅，考查學生對數列公式的靈活運用；第二個方面是數列和函數、不等式、三角、幾何等知識的結合，這類題目主要考查學生對知識的綜合應用能力和靈活變換能力；第三個方面是數列的應用問題，這類題目與實際生活中的問題相結合，考查學生對題目的理解是否到位，是否能用學過的數列知識來解決實際問題，有助于提高學生分析問題和解決問題的能力。三類題目歸根到底考查的都是學生對數列知識的整合應用，學生首先要夯實基礎知識，熟練掌握等差數列和等比數列的定義、性質、通項公式、前n項和公式等基礎知識，然后了解數列的常考題型，在做題過程中系統掌握解題的思路，勤加練習之后就可以對數列?？紗栴}做到得心應手。教師在平時的教學中要促進學生系統掌握基礎知識、基本技能、基本方法，善于培養學生綜合運用數學思想方法分析問題與解決問題的能力。本文詳細介紹了數列知識的?？碱}型和解決思路。

一、等比數列、等差數列的基本量問題

等比數列和等差數列中一共有五個基本量：a1，an，d（q），n，Sn，五個基本量我們可以做到“知三求二”，也就是只要知道其中三個，就可以通過列方程或者方程組把另外兩個量求出來。解答這類問題時，首先明確已知基本量、確定量和量之間的關系，根據題目意思列出相應方程或者方程組，同時還要靈活應用等比數列和等差數列的性質，可以在一定程度上降低計算量，從而更快速地解答問題。

例1：記Sn為數列{an}的前n項和，若a4+a5=24，S6=48，則{an}的公差為（ ）

A. 1 B. 2 C. 4 D. 8

二、求數列通項及前n項和

求數列通項及前n項和的問題是數列中的一個考查重點，而且經常出現在大題中，難度跨越很大，常見的幾種方法是利用數列的定義求通項公式、已知遞推公式求通項公式、利用an與Sn的關系來求通項。詳細舉例如下：

1.觀察歸納法或公式法求通項和前n項和

有的看起來較為復雜的數列，如果已知一個數列的某幾項，可以通過計算出前面幾項來猜想出規律，之后用數學歸納法或者反推法來進行證明，這種題目有時難度較大。有時已知數列，需要用公式法來求通項，這就需要牢記等差數列的通項公式：an=a1+(n-1)d以及等比數列的通項公式an=a1·qn-1。

常用的求和方法有以下幾種：公式法求和，倒序相加法，錯位相減法，裂項相消法，分組求和法。

這道題就是求數列通項和前n項和的經典題型，第一問中，利用數列{an}的前n項和an與Sn的關系，根據題意列出方程組，求解該方程組得到一個關于an和an+1的方程，從而得到an和an+1的關系，即求出公差d。第二問中，首先觀察Tn的表達式，表示出Tn的前幾項后可以觀察出Tn為“差比數列”，這就是典型的首選錯位相減法的類型，從而求出Tn。需要注意的是，錯位相減后，等比數列的次數不能搞錯，計算過程中要細心。

2.已知遞推公式求通項公式

已知數列的遞推關系，需要先識別是哪種形式的遞推關系，記住以下幾種常見的遞推公式，然后選擇相應方法進行解決：

①an+1=an+f（n），一般使用累加法；

②an+1=an×f（n），一般使用累乘法或者構造法；

③an+1=p×an+f（n），一般使用構造法（p為常數且不等于1）。

分析：看到題目所給條件，是已知an+1和an的遞推公式，并且是形如an+1=an×f（n），所以想到用累乘法，將an轉化為

3.利用an與Sn的關系來求通項公式

三、數列與函數的綜合問題

數列和函數、不等式、三角、幾何等知識的結合是一種?？碱}型，其中最常見的是數列與函數的綜合問題。以數列為背景求函數的解析式或者用函數解析式表示出數列的遞推關系，然后求數列的通項以及前n項和，用數列表示函數性質，從而求函數的單調性和最值等。

例4：等差數列{an}中，設Sn為其前n項和，且a1＞0，S3=S11，當n為多少時，Sn最大？

分析：這是一道考查數列極值的問題，較為簡單，利用數列中Sn與n的關系構造一個二次函數關系式，根據這個二次函數的性質求出Sn的表達式，從而得到Sn的最大值。

其他常見題型還有數列與不等式的綜合題型，比如判斷數列中的一些不等關系、項與項之間的大小、不等式的恒成立問題等。與數列相關的不等式的證明題往往難度較大，需要靈活選擇證明方法。

四、數列的應用問題

生活中的很多實際問題都與數列有關，比如銀行存款的利率問題、數學史與數列結合等，數列的應用問題往往伴隨大量的文字敘述，在拿到題目時，首先要做到不能被大段的文字嚇到，而是要仔細閱讀題目，在正確理解題意的基礎上，從中抽取出數學模型，將應用問題轉化為數列相關的數學問題，將復雜、不熟悉的事物轉化為已知、熟悉的，從而用常見的數列解決方法來得到正確解答。這類題目有利于學生形成規范化的思考，提高解決實際問題的能力。

例5：某人從2004年初向銀行申請個人住房公積金貸款20萬元用于購房，貸款的月利率為3.375%，并按復利計算，每月等額還貸一次，并從貸款后的次月開始歸還。如果10年還清，那么每月應還貸多少元？對于分期付款，銀行有如下的規定：（1）分期付款按復利計息，每期所付款額相同，且在期末付款；（2）到最后一次付款時，各期所付的款額的本利和等于商品售價的本利和。

分析：設每月應還貸x元，付款次數為120次，則x[1+（1+3.375%）+（1+3.375%）2+…+（1+3.375%）119]= 200000×（1+3.375%）120。

由此解出x≈2029.66，所以每月應還貸2029.66元。

這道題目是關于銀行利率的問題，題目敘述有點長，但是只要仔細閱讀題目，就可以將這個問題簡化為一個等比數列求和問題。

數列問題是一個高考熱點，可以說，數列知識是一個必須掌握的必考知識。學生首先需要夯實基礎，對等差（比）數列的求和、概念、性質、通項公式等做到爛熟于心，定期整理相關知識，掌握每種題型的解決方法，在練習中很快找準方法解題。這就需要學生將老師講的每種題型內化，做到解題過程中運用自如。數列的綜合題目也十分常見，需要學生構建自己的知識體系，明白數列與其他知識之間的關聯，不斷總結和修改自己的思維導圖。另外，數列問題中往往涉及大量的運算，需要學生具有較高的計算能力，做到正確且迅速地計算出答案。