解析幾何中的定點定值問題的策略與方法

廣東省深圳市南頭中學 武文香

解析幾何的解題過程中，需要學生全面地看待問題，尋找題目中條件之間的聯系，并使用發展的觀點來處理這類問題。解析幾何中的定值、定點等問題對學生而言是難點，加上高考對此類題目的重視程度越來越高，因此，教師對此展開教學研究是非常必要的，能夠幫助學生提升數學邏輯思維，鍛煉數學能力，使其在高考中獲得更高的分數。

一、定點解析幾何

定點的解析幾何主要是從橢圓或是圓的性質出發，進一步要求學生掌握圖形與直線的位置關系、平面向量關系等，其中對學生的運算能力有較高的要求，對學生的推理論證能力有一定的考查，涉及的解題思路主要是數形結合、轉化歸化以及函數方程三個方面。

例1：平面直角坐標系xOy中，二次函數f（x）=x2+2x+b（x∈R）與x軸和y軸有三個交點，經過三個交點的圓為C。（1）求實數b的取值范圍；（2）求圓C的方程；（3）圓C是否經過定點（該點的坐標與b無關）？證明此結論。

解析此題時，我們將（1）和（2）問忽略，仔細求解（3）問。這題有兩種解題方法——

一般法：從（2）中能夠知道圓C方程為：x2+y2+2x-（b+1）y+b=0，此時令b=0，則x2+y2+2x-y=0，令b=-1，則x2+y2+2x-1=0，聯立求解得x=0，y=1或x=-2，y=1。因此，圓C必過定點A（0，1）和B（-2，1）。證明過程如下：將點A（0，1）代入方程之中，則左邊=02+12+2×0-（b+1）+b=0，右邊=0，所以圓C過定點（0，1）。同理可證，圓C也會過定點（-2，1）。

形象法：基于圓C必過定點，證明：假設圓C過定點（x0，y0），此時的x0和y0均不依賴于b，將其代入圓C方程中，則++2x0-y0+（1-y0）b=0（即為方程D），方程中所有滿足b＜1（b≠0）都必須要成立，則1-y0=0必須成立。根據方程D得到++2x0-y0=0，解得x0=0，y0=1或x0=-2，y0=1。根據經驗可知，點（0，1）和（-2，1）都在圓C上，所以圓C經過定點。

在解析這類題目時，教師首先要教會學生求解出動曲線的方程，再進一步求定點。方法可選擇一般法或是形象法，一般法可通過取特殊值來確定定點，進一步加以證明；形象法則是根據參數無關的性質，從含有參數的動圓的方程必然成立的角度來證明其必然成立，再根據系數的關系來確定定點。對于這兩種方法，教師可根據學生的理解程度進行教學，這樣才符合因材施教的教學理念。至于具體的教學方法，教師應該根據學生的情況進行必要的強化訓練，使學生能夠掌握這類題目的知識點和難點，再從得分的角度給予解題思路、得分要點、易錯點的引導，最終使學生能夠將這類題目解答出來。

二、定值解析幾何

全國卷或是各地命題的高考試卷、高考模擬卷中運用解析幾何解答實際問題，近年來都表現出對稱性和對等性的問題，運算過程中，這些線索和答案具有一定的對偶性。如果能夠從美學觀點出發，再輔助學生更多的解題策略，整個運算過程和解題過程就更加自然流暢。教學活動中，設而不求、構建坐標是常見的解題思路。

1.設而不求

圖1

解題時，從運算能力、數形結合、函數方程等思維入手教學，建立等量關系時從P、M、N三點的坐標出發，體現設而不求的思想。

2.坐標求解

例3：如圖2所示，圓O：x2+y2=r2（r＞0），M、P是圓O上任意兩點。圓O上的N點與M點關于x軸對稱，直線MP和NP分別與x軸交于A點和B點，求證：A、B兩點橫坐標之積是定值。

圖2

解決這類定值問題首先應假設出動點的坐標，將其作為參數代入條件中，求出相關的變量，建立聯系，再將橢圓上的點的坐標代入滿足橢圓方程，消除參數，最終可獲證。

解析幾何需要學生從整體上把握題目所給的信息，并將其轉化為解題的線索，恰當地利用方程思想、函數思想、轉化歸化思想和數形結合思想進行分類討論，進而得到答案。總的來說，定點是直線過定點或是曲線過定點，定點的坐標就是定值，定值問題則是證明某式為定值。實踐中需要多總結、反思，積累經驗，提高解題能力。