淺談數學思維模式及其作用

摘要：數學思維模式是一定的數學知識結構與數學思維方式結合而成的動力系統。以小學數學教材為例，就“數學思維的操作模式——數學方法、數學思維的機理模式——數學原理、數學思維的動態模式——數學思想、數學思維的工具模式——數學意識”四種數學思維模式的操作及作用進行研究，促使學生自覺地學會用“數學的思維方式”思考問題，從而真正學會數學的思維方式。

關鍵詞：數學思維模式;操作模式;機理模式;動態模式;工具模式

中圖分類號：G623.5 文獻標志碼：A 文章編號：1673-9094（2021）04B-0053-04

數學思維模式是指主體在數學思維活動中形成的相對穩定的思維樣式，是數學模式在主體頭腦中概括加工的反映。因此數學思維模式是一定的數學知識結構與數學思維方式結合而成的動力系統。數學思維模式是關于認識數學模式的思維模式，它具有約簡思維過程、降低思維難度、提高思維效率的認識功能。思維模式是相對于模式所使用的思維活動的范圍大小而言的。從大的方面說，數學思維模式有“數學思維的操作模式——數學方法、數學思維的機理模式——數學原理、數學思維的動態模式——數學思想、數學思維的工具模式——數學意識”四大類[1]94。數學思維模式有別于其他學科的思維模式，是數學的精髓部分。筆者就談談這四種數學思維模式的操作方法及作用。

一、數學思維的操作模式：數學方法

操作模式的數學思維表現為有章可循、可以操作的一種程序，如加減乘除的四則運算法則，三角形、梯形、圓的面積公式等。這里講的操作，是一種思維操作。例如，用三角板畫三角形的高，教師歸納了“一放二靠三移四畫五標記”的程序，就是為了便于學生掌握三角形高的畫法。

以蘇教版三年級數學下冊“有趣的乘法”（如圖1）為例：

此處乘積中個、十、百位上的三個數是一個定型的運算，這也是一種運算結構，這種新的操作結構，可記為：兩頭一拉，中間一加。若這兩位數的個位與十位數字相加滿十，可將操作模式進一步完善為：兩頭一拉，中間一加，滿十進一。

我們說思維法則，既是經驗的總結，又是進一步思維的引導。重要法則的反復操練，不僅可以熟悉數學知識，形成技能，也是練就數學基本功的重要手段。法則的靈活運用就是技巧，較常用的技巧就是方法，方法和技巧是操作模式的數學思維中的較高層次。方法的運用提高了法則的效率，有助于對數學的深刻理解。

隨著學生學習年級的升高，還會遇到更多數學思維的操作模式，如中學階段的換元法、待定系數法、消元法、“十字相乘法”等都屬于數學思維操作模式的范疇。操作模式的數學思維有利于熟悉數學知識和形成數學技能，掌握基本的數學方法。

二、數學思維的機理模式：數學原理

機理模式的數學思維，表現為一種適應范圍廣、高層次的方法。它充滿著理性與邏輯性，常以數學原理的形式出現，有時雖然也有操作，但操作只處于從屬地位。如果說操作模式的數學思維表現為“一定要這樣”，那么機理模式的數學思維突出的是“為什么是這樣”[1]97。機理模式的數學思維表現有：分析和綜合原理、等價原理、對稱原理、構造原理、分類原理、抽屜原理、加法原理、乘法原理等。

下面，我們先來看蘇教版五年級數學上冊的一道例題：“南山中心小學舉行小學生足球賽，有4支球隊參加，分別是紅隊、黃隊、綠隊和藍隊。如果每兩支球隊比賽一場，一共要比賽多少場？”此題共有四種解法，讓我們不妨對其中兩種解法進行剖析。

第一種：在紙上寫下紅、黃、綠和藍四支球隊，然后兩兩配對（如圖2），一一數之，可得結果為6場。

這種方法主要是有章可循的操作思維，其實質是兩兩搭配關系的思維操作，它表現出的是“一定要這樣”。

第二種：首先運用一一列舉的方法，列成圖3;然后抽象出算法：4×3÷2=6（場）。

這種方法主要是分類或分解原理的機理思維。其實質是乘法原理的應用。它表現為“為什么是這樣”。

再來看學生在小學階段學習計算，算法是計算的基本程序和方法，應該把算理作為計算的原理和依據。學生提高計算能力，增強計算正確性，不能靠死記算法，而應建立在理解算理的基礎上;也不能靠反復演練，而應巧想活用。不重視算理的理解，單純地訓練算法，充其量也只是獲得了操作技能。計算方法是依據有關的運算性質，將計算過程中的推理系統化和程序化，它是一種先進的邏輯推理形式。

在這里需要指出的是，如果沒有法則和方法的認真操作，就不能形成扎實的基本功;如果沒有上升到數學原理去思維，思考法則和方法的機理，勢必是機械的數學學習。反過來，如果僅僅是從原理上學習數學，而不是在法則訓練的基礎上去提煉，則數學原理就成了無源之水，無本之木。機理模式的數學思維有利于對數學知識的理解和連貫系統的建構。

三、數學思維的動態模式：數學思想

學習數學的基本要求是理解，要將數學知識廣泛地融會貫通，這就是動態模式的數學思維，表現為數學思想，是一種辯證性、運動性、總體性的思維形式，從普遍聯系的視角進行數學思維。如轉化思想、運動思想、數形結合思想、優化思想、集合思想、極限思想、對應思想、變換思想、普遍性和特殊性思想等，都屬于動態思維模式。

動態模式的數學思想是溝通數學知識之間、數學知識與實踐之間內在聯系的思維形式，是深刻的居高臨下式理解知識的思維模式。許多定理、公式、法則在高一級形式都能實現統一。

如小學里學習直線幾何圖形的面積，從蘇教版教材的編排來看，它是按照長方形—正方形—平行四邊形—三角形—梯形的順序，引導學生運用經驗逐個推導這些圖形的面積公式，如圖4：

在單元知識整理課上，教師又設計了以“基本型”（梯形）為基礎，引導學生歸納分析這五種直線平面圖形面積公式的演變過程。同樣地，再可根據梯形動態變化，想象演變成長方形和正方形，用梯形面積公式推出長方形和正方形的面積計算公式。

在動態模式的數學思維下，學生不僅發現五種直線平面圖形之間的聯系，而且抽象的直線平面圖形面積計算公式之間也有著聯系，都可用梯形面積公式來統整。可見，學習知識就是一個不斷由薄到厚和由厚到薄的過程。這里的由厚到薄的“薄”，不是知識少了，而是精了，是知識的理解達到了融會貫通。動態思維反映了思維的發展，沒有動態思維就沒法學習數學。

四、數學思維的工具模式：數學意識

數學家如何創造數學？數學家在處理與數學似乎無關的問題時，他們的技巧為何如此高超？這種創造、這種處理，就是工具模式的數學思維：數學意識。有觀點認為：數學是科學的仆人，數學是科學的語言，甚至數學是宇宙的語言，數學是思維的工具。如笛卡爾提出過的“萬能方法”：把任何問題都劃歸為數學問題;把任何數學問題都劃歸為代數問題;把任何代數問題都劃歸為方程式的求解。雖然“萬能模式”的設想最后并未成功，但仍不失為一種偉大的思想，它從本質上肯定了數學思維對認識世界的工具作用。正如馬克思所說：一門科學，只有當它成功地運用數學時，才是達到真正完善的地步。這就是所謂的數學意識。也就是說，數學的對象是一種邏輯的建構，一般的科學對象可以說是“數學建構”。

課程改革以來，廣大教材編寫者和教師，常常會把“探索性演繹法”滲透于教材和教學中，引導學生進行探究性學習，去發現數學新知識。如，蘇教版五年級數學上冊“釘子板上的多邊形”學生探索學習過程：

1.創設生活中的數學現象，引導學生在點子圖上畫各種多邊形。

2.探索內部只有一個釘子的多邊形面積與它邊上釘子數的關系：S=n÷2。舉例驗證。

3.探索內部有2個釘子的多邊形面積與它邊上釘子數的關系：S=n÷2+1;即a=2，S=n÷2+1;再進行驗證。

接著，向a=3， a=4，……及a=0拓展。

4.引導學生想象：由于a=2， S=n÷2+1，那么：a=3，S=n÷2+2;a=4，S=n÷2+3……

5.引導學生討論：對于a=1， S=n÷2還可以怎樣表達？（寫成S=n÷2+0）

然后，把多點聚成一點（課外延伸思考）。

引導學生把“a=1時，S=n÷2+0;a=2時， S=n ÷2+1;a=3時， S=n÷2+2;a=4時， S=n÷2+3……”這些規律合成一條規律：S=n÷2+（a-1）。

做這樣的探究活動，學生在對數學知識的發現過程中，雖然運用“探索性演繹法”的能力還很稚嫩，對猜想的證明也不是很嚴謹，但是用數學的思維處理問題的順序和抽象化、模型化、符號化等意識從小得到培育，并使數學意識具有的數學創造的品格，及具有用來解決挑戰性問題的能力的品格得到增強。

由此可見，數學意識是一個工作母機，它不僅能解決數學問題，而且是開辟新的數學領域的動力，正因為如此，數學才如此枝繁葉茂，并且深入社會的每一個角落?！读x務教育數學課程標準（2011年版）》中提出的“解決問題”就是為了培養學生數學意識。只有增強了數學意識，工具的數學才能作為數學的工具服務于生產與生活。人們應該學會用數學的思維方式來解決問題。

以上四種數學思維模式的個性特質有著遞進的層次性關系，“它們之間就如自然界由簡單到復雜、由低級到高級、由無序到有序的發展和演化是一樣的，體現著類如階梯樣的序形，每一個階梯都可以看作是一個層次”。在這其中，數學知識是思維的基礎材料，操作模式思維的數學方法是對數學知識的積累與模塊化，機理模式思維的數學原理是對數學知識的消化、理解和系統化，動態模式思維的數學思想是對數學知識的系統掌握，工具模式思維的數學意識是對數學知識的運用。

形成數學意識是數學思維的最高境界，它是學習者走出校門若干年后，什么法則都可能忘記了，什么概念都可能淡忘了，什么公式都可能模糊了，而保留下來的終身受益的東西。自覺地會用“數學的思維方式”思考問題，這才是真正學會了“數學的思維方式”。

參考文獻：

[1]周春荔. 數學思維概論[M]. 北京：北京師范大學出版社，2012.

責任編輯：石萍

*本文系江蘇省教學研究立項課題“基于ELLI框架的多元文化背景下兒童學習力培養研究”（2019JK13-L038）的階段性成果。

收稿日期：2021-01-20

作者簡介：顧麗英，無錫市新洲小學（江蘇無錫，214112），高級教師，研究方向為小學數學教學、教育管理。