數學結構化教學的學理分析與學情調研
——以“分數的意義”的教學為例

陸小蓓

數學結構化教學是在充分了解教材知識體系及學生知識經驗的基礎上，以完善并發展學生原有的認知結構為目的，從整體化、系統化的高度來組織教學內容、設計教學方法、開展教學活動，促進學生在習得知識技能的同時，理解知識之間的邏輯關系，真正做到融會貫通，形成認知結構、方法結構的教學。學理分析貫穿結構化教學始終，學情調研是以學為主的結構化教學的關鍵。本文以蘇教版五下“分數的意義”的教學為例，具體談談如何在數學結構化教學中開展學理分析和學情調研。

一、分析知識結構，明晰教學方向

美國認知心理學家布魯納指出：“學習的實質是把同類事物聯系起來，并把它們組織成賦予它們意義的結構。知識的學習就是在學生的頭腦中形成各學科知識的知識結構。”教學前，教師首先要分析知識結構，掌握教材的編排體系，讀懂教材知識縱向跨年段與橫向跨領域的聯系，引導學生充分感受和把握教材的知識結構、方法結構與思想結構。

1.課時內容與單元內容的關聯結構分析。

如果說課時內容是一個點，那么單元內容就是一條線。點動成線，點線相連。教師要理清課時內容在單元中的前后聯系，充分認識本課時內容在單元中的地位、作用和價值，把握遞進的層次和邏輯關系，形成單元結構塊。“分數的意義”一課是整個單元內容的基礎，在單元學習中起到統領作用，教學時引導學生直觀而深刻地認識分數產生的需求以及分數的本質含義，對其后續學習分數的相關內容至關重要。

2.課時內容與領域內容的關聯結構分析。

如果將課時內容與單元內容看成“點線關系”，課時內容與領域內容則可以看成“點面關系”。“分數的意義”屬于“數與代數”內容領域，從教材的宏觀結構來看，學生有關分數的學習大體要經過如下階段：“感覺”階段（整體上前認感知）→系統概念學習→分數概念的元認知（分數的意義和性質）。教師要注意引領學生在“數與代數”內容領域框架下理解和建構分數的意義，還要注意將分數的意義與整數、小數有機結合，引導學生明晰“分數的意義”的前延后續、縱橫聯系。另外，教師還要看到“分數的意義”與其他內容領域相關知識的聯系，如圖形的分割等“圖形與幾何”內容領域的知識技能。

3.課時內容與學科外內容的關聯結構分析。

教師還要看到課時內容與學科外其他知識結構的關系，即“點體關系”，讓課時內容更加立體、豐盈。如要看到“分數的意義”與物體長度的測量、人民幣的換算等內容之間的關系，其中包含數量的轉換、整體與部分的關系，這些都是學生學習分數的基礎。

二、理解認知結構，把握學習目標

美國認知心理學家奧蘇伯爾指出：“每當我們致力于影響學生的認知結構，以便最大限度提高意義學習和保持時，我們就深入到了教育過程的核心。”從學生認知結構的發展過程來看，學習“分數的意義”，學生在進行“平均分”操作時，會出現無法用現有的自然數來表示平均分的結果，由此產生用“新數”表達的需求；將分數擴充到數系中時，學生能從多個角度理解分數的意義，通過類比、想象等用分數解釋日常生活中的現象，知道有些問題可以用分數的相關知識來解決，能夠理解用實物、圖示、符號表達離散的量和連續的量。另外，學生已經初步認識了分數，擁有平均分的基本經驗，為“分數的意義”的教學奠定了良好的經驗基礎。

三、調研學習情況，啟迪教學智慧

學生學習新知，必與其既有知識經驗發生結構化關聯，在既有知識經驗的基礎上來理解新知，調整、完善認知結構。由于每個學生的現實起點不同，了解其學習的潛在狀態、現實狀態以及發展的可能狀態就十分重要。基于真實學情設計教學、組織學習活動，才能讓學生的“學”真正深遠。因此，我們設計了學情調查問卷（如圖1），第一題旨在考查學生能否回憶起分數的含義以及用多種模型表達同一個分數等相關知識；第二題旨在考查相同模型下表達不同分數的操作能力。調查的對象是我校五（8）班學生，有效問卷48份。

圖1 “分數的意義”學情調查問卷

1.了解學生對知識的理解水平，明確教學目標。

學生對知識的理解往往帶有很多直觀表象的成分。針對第一題，1 名學生無法正確表示；5 名學生能用一種方式（或實物圖，或示意圖）表示；42 名學生能用至少兩種方式表示，占總人數的87.5%，其中，7 名學生嘗試用一句話概括，找到不同模型間的關系，13 名學生用“1”“一個整體”“單位‘1’”這樣的話語來概括分數的意義。分析可知，學生對分數的理解基本正確，且能用多種表征來描述分數的含義，不過對單位“1”的理解比較欠缺。所以，教師在教學時提問要準確、細化，使學生元認知結構中的有關內容與今天學習的內容產生聯結，為其學習新知提供概念上的固著點。

2.了解學生對概念的把握情況，明確知識銜接點。

課堂教學要關注已有學習經驗產生的影響。針對第二題，1 名學生未理解題意；2 名學生把6 個正方形看作整體來表示分數；45 名學生能用6 個正方形表達出多個分數，占總人數的93.7%，其中，4 人畫的6 幅圖有一定關聯。基于上述調研，我們認為，本節課應以分數產生的需求——“測量”作為切入點，尋找、歸納、抽象提煉出分數的本質意義，通過重組和改造，將學生零散的已有經驗提升到數學層面的概念認識。

總之，學理分析、學情調研對數學結構化教學至關重要。基于學理分析、學情調研設計結構化教學，引導學生充分感受和把握數學的知識結構和方法結構，體驗數學知識的發生、發展全過程，有助于學生構造模型、強化認識、形成結構，進而構建有意義的學習歷程。