在數學建模中建立知識結構

孫凱

摘要：單元復習教學最重要的是找到合適的“大概念”（主題或線索）組織、串聯因分課時學習而顯得零散、無序、碎片化的單元內容，從而幫助學生建立單元知識結構，獲得深度理解。《一元二次方程》單元復習課的教學，嘗試引導學生經歷完整的數學建模過程，在實際問題的提出和解決中，復習一元二次方程的概念與解法，理解一元二次方程產生與運用，體會一元二次方程是刻畫現實世界數量關系的重要數學模型。這節課更深的教學立意有：追求理解的簡約設計，指向遷移的能力提升。

關鍵詞：單元復習;大概念;數學建模;知識結構;一元二次方程

單元復習，不是對分課時學習的單元內容的簡單回顧和總結，而是一種居高臨下的“再學習”。因此，單元復習教學最重要的不是設計新問題，通過問題解決再現有關知識，而是找到合適的“大概念”（主題或線索）組織、串聯因分課時學習而顯得零散、無序、碎片化的單元內容，從而幫助學生建立單元知識結構，獲得深度理解。

人教版初中數學教材九年級上冊第二十一章《一元二次方程》包括三節——《一元二次方程》《解一元二次方程》《實際問題與一元二次方程》，引導學生分課時學習一元二次方程的概念、表示、解法、根的判別式、根與系數的關系以及實際應用等知識。

設計這一單元的復習課時，筆者通過整體梳理，發現教材的編寫思路是： 從現實情境問題引入，獲得一元二次方程模型;類比一元一次方程概念，形成一元二次方程概念;接著，重點探究一元二次方程的求解方法，包括配方法、公式法、因式分解法等;最后，回到現實情境問題，運用一元二次方程解決。

由此，筆者提煉出“數學建模”這一“大概念”作為教學主題，嘗試引導學生經歷完整的數學建模過程，在實際問題的提出和解決中，復習一元二次方程的概念與解法，理解一元二次方程產生與運用，體會一元二次方程是刻畫現實世界數量關系的重要數學模型，建立單元知識結構。

一、教學設計

（一）創設情境，提出問題

情境某農場要建立一個長方形的養雞場，養雞場的一邊靠長為25 m的墻，另外三邊用木欄圍成，現有木欄長40 m。

問題1養雞場面積能達到180 m2嗎？

先提供一個現實情境，讓學生試著提出問題，培養學生發現問題、提出問題的能力。在學生提出問題的過程中，如有必要，教師可以引導學生考慮現實需求，聚焦所圍養雞場的面積（直接關系到所養雞的活動空間以及生存質量），從而給出預設的問題——問題1。

（二）數學抽象，建構模型

面對問題1，引導學生畫出養雞場圖形（如圖1），思考如何用數學語言表達現實問題中的數量及其關系，從而建構合適的數學模型，經歷現實問題數學化的過程，培養應用意識。由長方形的面積，學生必然想到長方形的長和寬。由于長方形的長和寬均未知，學生必然想到設未知數為x（方程思想的表現）。這時，學生面臨選擇：設長還是設寬？對此，教師可以讓學生嘗試并比較，從運算方便性的角度發現，設寬為x，則長的表達式為40-2x，更簡便一些。由此，學生根據問題中的數量關系，不難得到方程模型x（40-2x）=180和不等式組模型0<40-2x≤25。這時，教師可以追問：這是什么方程？由此，引導學生整理得到一元二次方程的一般形式x2-20x+90=0。

（三）求解模型，解決問題

面對一元二次方程模型x2-20x+90=0，引導學生思考求解方法，同步復習一元二次方程的解法。求解之后，引導學生檢驗。然后，引導學生利用數學模型的解，獲得現實問題的解答。

這樣，從現實問題出發，獲得數學模型，在數學內部計算求解，再把數學模型的解回歸現實檢驗修正，最終解決問題，使學生經歷了完整的數學建模過程，明晰了一元二次方程的來龍去脈。

（四）變式探究

問題2養雞場面積能達到200 m2嗎？

問題3養雞場面積能達到250 m2嗎？

這兩個變式問題引導學生再次經歷完整的數學建模過程，獲得鞏固提升。同時，這兩個現實問題所建構的一元二次方程模型分別有兩個相等的實數根和無實數根，可以幫助學生復習一元二次方程根的不同情況。

（五）查漏補缺

問題4已知關于x的方程kx2-6x+9=0有兩個不相等的實數根，則k的取值范圍是_______________。

問題5已知x=2是方程x2-6x+m=0的一個根，則該方程的另一個根為__________________。

這兩個問題是純數學問題，目的是查漏補缺。問題4幫助學生復習根的判別式知識，強化對一元二次方程二次項系數不能為0的認識。問題5幫助學生復習根與系數的關系，強化對方程的解能使等式成立的認識;教學中，可以鼓勵學生用不同的方法求解，并比較解法的優劣，從而充分體會根與系數的關系是由一元二次方程的解法得到的，知識之間是相互聯系的。

（六）課堂小結

在學生經歷了完整的數學建模過程（復習了本章的所有知識）的基礎上，引導學生繪制本章知識（包括方法）結構圖，最終呈現圖2，從而發展學生的認知水平，提高學生的數學能力。

（七）當堂檢測

練習1怎樣用一條長為40 cm的繩子圍成一個面積為75 cm2的矩形？能圍成一個面積為101 cm2的矩形嗎？如果能，說明圍法;如果不能，說明理由。

練習2已知關于x的方程ax2-x-1=0有兩個不相等的實數根，則a的取值范圍是。

練習3已知x=3是方程x2-nx+6=0的一個根，則該方程的另一個根為。

練習1是對問題1—問題3學習情況的檢測，練習2是對問題4學習情況的檢測，練習3是對問題5學習情況的檢測。當堂檢查學習情況，即時反饋，提高復習效益。

二、教學立意

本節課的設計，除了整理把握教材的編寫思路，利用問題驅動數學建模，在此基礎上聚焦數學內部知識查漏補缺，幫助學生建立單元知識結構之外，還有更深的教學立意。

（一）追求理解的簡約設計

美國學者林恩·埃里克森提出教學目標的三維模式（KUD）：知道（know）、做（do）、理解（understand）。其中，知道的是“事實”，做的是“技能”;而理解的是“概念”，是具有生活價值的反映專家思維方式的觀念或論題。在這個三維模式中，理解是最核心的部分。就本單元的復習而言，讓學生在知識層面知道一元二次方程的定義及一般形式、解法、根的判別式、根與系數的關系等，在技能層面正確求解一元二次方程及優化解法，固然重要，但更重要的是，幫助學生在宏觀概念層面理解更具有一般性的數學建模過程，感受數學來源于生活且服務于生活。

（二）指向遷移的能力提升

有學者指出，遷移是教育的終極目標，學習只有在達到遷移水平時才算完成。所謂遷移，簡而言之，就是把在一個情境中學到的東西運用到另一個情境。就本節課的教學而言，學生經歷了完整的數學建模過程，也就掌握、積累了研究更多數學模型的一般方法、經驗，從而具備了遷移的重要基礎。比如，在后續《二次函數》單元的學習中，學生可以遷移《一元二次方程》單元的學習經驗，從數學建模的視角，嘗試自主建構單元知識（包括方法）結構（如圖3），整體把握單元內容。

本文系江蘇省教育科學“十三五”規劃2020年度重點自籌課題“初中生數學建模能力培養與評價的實踐研究”（編號：Bb/2020/02/104）、江蘇省蘇州市教育科學“十三五”規劃2019年度課題“發展初中生數學建模素養的教學實踐研究”（編號：192010343）的階段性研究成果。

參考文獻：

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