在數(shù)學(xué)建模中建立知識結(jié)構(gòu)

孫凱

摘要：單元復(fù)習(xí)教學(xué)最重要的是找到合適的“大概念”（主題或線索）組織、串聯(lián)因分課時學(xué)習(xí)而顯得零散、無序、碎片化的單元內(nèi)容，從而幫助學(xué)生建立單元知識結(jié)構(gòu)，獲得深度理解。《一元二次方程》單元復(fù)習(xí)課的教學(xué)，嘗試引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷完整的數(shù)學(xué)建模過程，在實(shí)際問題的提出和解決中，復(fù)習(xí)一元二次方程的概念與解法，理解一元二次方程產(chǎn)生與運(yùn)用，體會一元二次方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型。這節(jié)課更深的教學(xué)立意有：追求理解的簡約設(shè)計(jì)，指向遷移的能力提升。

關(guān)鍵詞：單元復(fù)習(xí);大概念;數(shù)學(xué)建模;知識結(jié)構(gòu);一元二次方程

單元復(fù)習(xí)，不是對分課時學(xué)習(xí)的單元內(nèi)容的簡單回顧和總結(jié)，而是一種居高臨下的“再學(xué)習(xí)”。因此，單元復(fù)習(xí)教學(xué)最重要的不是設(shè)計(jì)新問題，通過問題解決再現(xiàn)有關(guān)知識，而是找到合適的“大概念”（主題或線索）組織、串聯(lián)因分課時學(xué)習(xí)而顯得零散、無序、碎片化的單元內(nèi)容，從而幫助學(xué)生建立單元知識結(jié)構(gòu)，獲得深度理解。

人教版初中數(shù)學(xué)教材九年級上冊第二十一章《一元二次方程》包括三節(jié)——《一元二次方程》《解一元二次方程》《實(shí)際問題與一元二次方程》，引導(dǎo)學(xué)生分課時學(xué)習(xí)一元二次方程的概念、表示、解法、根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系以及實(shí)際應(yīng)用等知識。

設(shè)計(jì)這一單元的復(fù)習(xí)課時，筆者通過整體梳理，發(fā)現(xiàn)教材的編寫思路是： 從現(xiàn)實(shí)情境問題引入，獲得一元二次方程模型;類比一元一次方程概念，形成一元二次方程概念;接著，重點(diǎn)探究一元二次方程的求解方法，包括配方法、公式法、因式分解法等;最后，回到現(xiàn)實(shí)情境問題，運(yùn)用一元二次方程解決。

由此，筆者提煉出“數(shù)學(xué)建模”這一“大概念”作為教學(xué)主題，嘗試引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷完整的數(shù)學(xué)建模過程，在實(shí)際問題的提出和解決中，復(fù)習(xí)一元二次方程的概念與解法，理解一元二次方程產(chǎn)生與運(yùn)用，體會一元二次方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型，建立單元知識結(jié)構(gòu)。

一、教學(xué)設(shè)計(jì)

（一）創(chuàng)設(shè)情境，提出問題

情境某農(nóng)場要建立一個長方形的養(yǎng)雞場，養(yǎng)雞場的一邊靠長為25 m的墻，另外三邊用木欄圍成，現(xiàn)有木欄長40 m。

問題1養(yǎng)雞場面積能達(dá)到180 m2嗎？

先提供一個現(xiàn)實(shí)情境，讓學(xué)生試著提出問題，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的能力。在學(xué)生提出問題的過程中，如有必要，教師可以引導(dǎo)學(xué)生考慮現(xiàn)實(shí)需求，聚焦所圍養(yǎng)雞場的面積（直接關(guān)系到所養(yǎng)雞的活動空間以及生存質(zhì)量），從而給出預(yù)設(shè)的問題——問題1。

（二）數(shù)學(xué)抽象，建構(gòu)模型

面對問題1，引導(dǎo)學(xué)生畫出養(yǎng)雞場圖形（如圖1），思考如何用數(shù)學(xué)語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)問題中的數(shù)量及其關(guān)系，從而建構(gòu)合適的數(shù)學(xué)模型，經(jīng)歷現(xiàn)實(shí)問題數(shù)學(xué)化的過程，培養(yǎng)應(yīng)用意識。由長方形的面積，學(xué)生必然想到長方形的長和寬。由于長方形的長和寬均未知，學(xué)生必然想到設(shè)未知數(shù)為x（方程思想的表現(xiàn)）。這時，學(xué)生面臨選擇：設(shè)長還是設(shè)寬？對此，教師可以讓學(xué)生嘗試并比較，從運(yùn)算方便性的角度發(fā)現(xiàn)，設(shè)寬為x，則長的表達(dá)式為40-2x，更簡便一些。由此，學(xué)生根據(jù)問題中的數(shù)量關(guān)系，不難得到方程模型x（40-2x）=180和不等式組模型0<40-2x≤25。這時，教師可以追問：這是什么方程？由此，引導(dǎo)學(xué)生整理得到一元二次方程的一般形式x2-20x+90=0。

（三）求解模型，解決問題

面對一元二次方程模型x2-20x+90=0，引導(dǎo)學(xué)生思考求解方法，同步復(fù)習(xí)一元二次方程的解法。求解之后，引導(dǎo)學(xué)生檢驗(yàn)。然后，引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)學(xué)模型的解，獲得現(xiàn)實(shí)問題的解答。

這樣，從現(xiàn)實(shí)問題出發(fā)，獲得數(shù)學(xué)模型，在數(shù)學(xué)內(nèi)部計(jì)算求解，再把數(shù)學(xué)模型的解回歸現(xiàn)實(shí)檢驗(yàn)修正，最終解決問題，使學(xué)生經(jīng)歷了完整的數(shù)學(xué)建模過程，明晰了一元二次方程的來龍去脈。

（四）變式探究

問題2養(yǎng)雞場面積能達(dá)到200 m2嗎？

問題3養(yǎng)雞場面積能達(dá)到250 m2嗎？

這兩個變式問題引導(dǎo)學(xué)生再次經(jīng)歷完整的數(shù)學(xué)建模過程，獲得鞏固提升。同時，這兩個現(xiàn)實(shí)問題所建構(gòu)的一元二次方程模型分別有兩個相等的實(shí)數(shù)根和無實(shí)數(shù)根，可以幫助學(xué)生復(fù)習(xí)一元二次方程根的不同情況。

（五）查漏補(bǔ)缺

問題4已知關(guān)于x的方程kx2-6x+9=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是_______________。

問題5已知x=2是方程x2-6x+m=0的一個根，則該方程的另一個根為__________________。

這兩個問題是純數(shù)學(xué)問題，目的是查漏補(bǔ)缺。問題4幫助學(xué)生復(fù)習(xí)根的判別式知識，強(qiáng)化對一元二次方程二次項(xiàng)系數(shù)不能為0的認(rèn)識。問題5幫助學(xué)生復(fù)習(xí)根與系數(shù)的關(guān)系，強(qiáng)化對方程的解能使等式成立的認(rèn)識;教學(xué)中，可以鼓勵學(xué)生用不同的方法求解，并比較解法的優(yōu)劣，從而充分體會根與系數(shù)的關(guān)系是由一元二次方程的解法得到的，知識之間是相互聯(lián)系的。

（六）課堂小結(jié)

在學(xué)生經(jīng)歷了完整的數(shù)學(xué)建模過程（復(fù)習(xí)了本章的所有知識）的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生繪制本章知識（包括方法）結(jié)構(gòu)圖，最終呈現(xiàn)圖2，從而發(fā)展學(xué)生的認(rèn)知水平，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。

（七）當(dāng)堂檢測

練習(xí)1怎樣用一條長為40 cm的繩子圍成一個面積為75 cm2的矩形？能圍成一個面積為101 cm2的矩形嗎？如果能，說明圍法;如果不能，說明理由。

練習(xí)2已知關(guān)于x的方程ax2-x-1=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是。

練習(xí)3已知x=3是方程x2-nx+6=0的一個根，則該方程的另一個根為。

練習(xí)1是對問題1—問題3學(xué)習(xí)情況的檢測，練習(xí)2是對問題4學(xué)習(xí)情況的檢測，練習(xí)3是對問題5學(xué)習(xí)情況的檢測。當(dāng)堂檢查學(xué)習(xí)情況，即時反饋，提高復(fù)習(xí)效益。

二、教學(xué)立意

本節(jié)課的設(shè)計(jì)，除了整理把握教材的編寫思路，利用問題驅(qū)動數(shù)學(xué)建模，在此基礎(chǔ)上聚焦數(shù)學(xué)內(nèi)部知識查漏補(bǔ)缺，幫助學(xué)生建立單元知識結(jié)構(gòu)之外，還有更深的教學(xué)立意。

（一）追求理解的簡約設(shè)計(jì)

美國學(xué)者林恩·埃里克森提出教學(xué)目標(biāo)的三維模式（KUD）：知道（know）、做（do）、理解（understand）。其中，知道的是“事實(shí)”，做的是“技能”;而理解的是“概念”，是具有生活價值的反映專家思維方式的觀念或論題。在這個三維模式中，理解是最核心的部分。就本單元的復(fù)習(xí)而言，讓學(xué)生在知識層面知道一元二次方程的定義及一般形式、解法、根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系等，在技能層面正確求解一元二次方程及優(yōu)化解法，固然重要，但更重要的是，幫助學(xué)生在宏觀概念層面理解更具有一般性的數(shù)學(xué)建模過程，感受數(shù)學(xué)來源于生活且服務(wù)于生活。

（二）指向遷移的能力提升

有學(xué)者指出，遷移是教育的終極目標(biāo)，學(xué)習(xí)只有在達(dá)到遷移水平時才算完成。所謂遷移，簡而言之，就是把在一個情境中學(xué)到的東西運(yùn)用到另一個情境。就本節(jié)課的教學(xué)而言，學(xué)生經(jīng)歷了完整的數(shù)學(xué)建模過程，也就掌握、積累了研究更多數(shù)學(xué)模型的一般方法、經(jīng)驗(yàn)，從而具備了遷移的重要基礎(chǔ)。比如，在后續(xù)《二次函數(shù)》單元的學(xué)習(xí)中，學(xué)生可以遷移《一元二次方程》單元的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，從數(shù)學(xué)建模的視角，嘗試自主建構(gòu)單元知識（包括方法）結(jié)構(gòu)（如圖3），整體把握單元內(nèi)容。

本文系江蘇省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2020年度重點(diǎn)自籌課題“初中生數(shù)學(xué)建模能力培養(yǎng)與評價的實(shí)踐研究”（編號：Bb/2020/02/104）、江蘇省蘇州市教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2019年度課題“發(fā)展初中生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的教學(xué)實(shí)踐研究”（編號：192010343）的階段性研究成果。

參考文獻(xiàn)：

[1] 劉徽.“大概念”視角下的單元整體教學(xué)構(gòu)型——兼論素養(yǎng)導(dǎo)向的課堂變革[J].教育研究，2020（6）.

[2] 約翰·D.布蘭思福特，等.人是如何學(xué)習(xí)的——大腦、心理、經(jīng)驗(yàn)及學(xué)校（擴(kuò)展版）[M].程可拉，孫亞玲，王旭卿，譯.上海：華東師范大學(xué)出版社，2013.

[3] Fisher，D.，et al.Visible Learning for Literacy，Grades K12：Implementing the Practices that Work Best to Accelerate Student Learning[M].Thousand Oaks，CA：Corwin，2016.